想得清，道得明

黄晓勇

平面的基本性质是立体几何中推理论证的理论基础，“共点、共线、共面”问题是立体几何中的一类不可忽视的问题，掌握运用三大公理证明此类问题的思路方法，从中体会将空间问题向平面几何问题转化的“降维”思想，有利于培养解题思维，提高解题能力.

一、共点问题的证明

例1 正方体ABCD-A1BlC1Dl中，E为AB的中点，F为AA1的中点，求证：CE，D1F，DA相交于同一点.

分析 共点问题是指三条或三条以上的直线交于同一点的问题.解决此类问题常用方法是：先证其中的两条直线相交于一点，再证明这点也在其他直線上.本题先由EF与CD，的平行关系得E，F，D1，C四点共面.因CE，D1F构成梯形的两腰，延长后交于一点P，再证P在直线DA上.

证明 因为E为AB的中点，F为AA1的中点，

所以EF∥A1B.

又因为A1B∥D1C，

所以EF∥D1C，

所以E，F，D1，C四点共面.

因为EF

所以DiF与CE的延长线相交于一点，设该点为P.

又因为P∈D1F，DlF （ 面A1 ADD1，

所以P∈面AiADDl，

同理，P∈面ABCD，

所以P为面A1ADD1与面ABCD的公共点.

因为这两个平面的交线为AD，

所以P∈DA，

所以CE，D1F，DA相交于同一点.

评注 证明线共点问题的实质是证明点在直线上的问题，只需将这个点看成是两平面的公共点，而直线看成是这两个平面的交线.往往依据公理，“两平面的交线有且仅有一条”，进而得证.

二、共线问题的证明

例2 如图2，已知P是三角形ABC所在平面外一点，D，E，F分别是PA，PB，PC上的点，FD交CA于M，EF交BC于N，ED交BA于L，求证：M，N，L三点共线.

分析 多点共线问题指若干个点都在同一条直线上的问题.一般证明这些点都是某两个平面的公共点，本题可证M，N，L三点都是平面ABC与面DEF的公共点.

评注 证明多点共线问题常用的两种证法是：①先证明这些点都是某两个平面的公共点，然后根据公理可得它们都在这两个平面的交线上.②先取其中两点确定一条直线，再证明其他点在这条直线上.一般是先确定直线为某两个平面的交线，再证明其他点同时在这两个平面内，由公理知其他点在这两个平面的交线即先确定的直线上.

二、共面问题的证明

例4 求证：两两相交而不通过同一点的四条直线必在同一个平面内，

已知：a，b，d，h四条直线不共点但两两相交，求证：a，b，c，d共面.

分析 共面问题指几个点或多条直线在同一平面内的问题.本题中三线交于一点有两种情形，可分类讨论，先由已知条件中取一组相交直线确定一个平面，再将其他直线一一纳入.

证明 a，b，c，d四条直线或有三条共点，或无三条共点，分两种情形证明：

评注 证明多线共面问题，通常采用“落入法”，即根据已知条件先确定一个平面，然后再由公理证明其他点或直线也在该平面内.

评注 这种证明多线共面的方法称为“同一法”也叫“重合法”，由一部分点线确定一个平面，由另一部分点线确定另一个平面，再应用公理或其推论证明这两个平面重合。