带着理性的思维去想象

孙福明

同学们，你们将开始学习高中数学义一个新的章节——《立体几何初步>了！其实本章内容对我们来说并不陌生，它研究的对象就是抽象于我们生活的真实世界——三维空间.本章内容概括说就是三个字：想、算、证.

想——主要表现为识图、画图等空间想象能力.同学们要能观察研究所给图形中几何元素之间的相互關系，正确将文字语言、符号语言和图形语言融为一体，能根据问题添加辅助图形或对图形进行必要的变换.

算——同学们要会计算一些特殊几何体的表面积和体积，它们是空间图形大小的量化.

证——主要是培养大家的演绎推理能力，就是会正确利用演绎推理规则（三段论）进行推理，并能结合图形使用规范、清晰、简明的符号语言加以表达.

那么如何学好本章内容呢？我提几点建议，供同学们在学习中参考.

一、突破思维瓶颈，树立正确的空间观念

从二维平面进入三维空间，同学们首先要克服平面几何带来的负面惯性，尽快养成在三维空间中读图、识图和想象的良好习惯.

第一，要重视平面这个基本元素在空间中的重要地位.原来的平面几何知识都是在一个平面中进行的，只不过这个平面是默认的，没有把它画出来而已.现在进入三维空间了，为了凸显三维的特征，通常需要一个平面作为基准，比如常画一个水平面.因此平面几何中的正方形ABCD，其实是画在竖直平面内的（图1），而如果画在水平面上就不再是方方正正的了，而是看起来像平行四边形（图2）

在观察空间图形或研究元素之间位置关系时，要养成正确的看图习惯，例如要把点、线放在某个平面内，结合平面的位置来全面而正确地理解基本元素之间的关系.观察图形或作图时，首先从面与面的关系着手，再过渡到直线及点.例如在图3的长方体中，当延长两中点M，N连成的线段时，应该把直线MN置于平面BCClB1内，这样判断直线MN的位置时，就能正确判断出它与B1C1，B1B的延长线相交.这样的问题在立体几何学习中几乎处处能遇到，因此更一般的做法是“还原平面法”，即把空间图形的平面还原成平面几何中的形态，回到我们习惯的平面几何的视图位置中去，如图4.这样就避免空间其他不相干元素的干扰，更能准确地利用平面几何知识解决问题.

为了增强空间观念，同学们学习之初，还应特别注意作图中的实线与虚线的区别.根据作图规则，平面几何中辅助线是虚线，立体几何中凡是看不见的都画成虚线，看得见的都是实线，与是否辅助线无关.同一空间图形，由于观察位置的不同，实线和虚线会变化，大家可以多加练习，这是提高空间想象能力的有效手段.

第二，勤直观感知，多画图比较，体会数学中的研究对象与实际生活中具体图形的联系和差异，借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律.例如图5的空间图形，有几种位置差异？如何判断点P是“凸在外”还是“凹在内”？你的现实生活中有这样的具体模型吗？再比如问题“A，B，C，D四点不共面，且A，B，C，D到平面a的距离相等，则这样的平面a共有多少个？”可以培养同学们全面而深刻的空间观念.四个点可以构造三棱锥——构造熟悉的图形帮助解题是重要的策略——其次根据平面特征，四个点只能分布在平面a的两侧，从而进行分类讨论：一类是两侧分别是1个点和3个点;一类是两侧分别是2个点和2个点.

第三，注意平面几何与立体几何的区别与联系.首先当然是两者的区别.从二维平面进入到三维空间，从运动的角度来说，点、线运动的空间增加了，带来了更多的位置变化，因此“四边相等的四边形是菱形”等一些命题就不再正确了，因为首先这四点就可能不在一个平面内了.命题“从直线外一点作直线的垂线有且只有一条”也不成立了，同学们能从现实生活中举出反例吗？其次，也要注意平面几何是立体几何的一部分，如果空间的一些元素都在一个平面内，那么在这个平面内依然可以运用平面几何的知识和方法来解决问题.同时在解决一些立体几何问题时，常常还要类比平面几何中的一些知识，需要把空间问题转化为平面几何问题，例如展开问题.因此可以说两者之间是辩证统一的关系，

例如，如图6，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=√2，BBi=2，∠ABC=90°，E，F分别为AA1，C1B1的中点，求沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度，

解决这个问题就需要把棱柱的有关侧面和底面展开，转化为平面上两点之间距离最短的问题，体现立体几何与平面几何相互转化的思想.

二、注重三种语言形式，即文字语言、符号语言、图形语言 的转化训练

语言是思维的载体.立体几何这部分涉及三种数学常用的语言，那就是文字语言、符号语言、图形语言.同学们在学习中要把三者紧密结合起来，做到互通有无，通过符号语言、文字语言能正确想象出空间图形，根据空间图形的位置能用符号语言正确表述.例如“直线l￠a”的含义就包括两种位置关系，一是直线l∥a，直线与平面平行，另一种是l∩a=P，直线与平面相交，

在书写证明的过程中，要尽可能使用符号语言，这样表达形式更简洁，解题过程中的逻辑关系也更清晰.

本章尽管涉及的空间图形千变万化，但是总离不开一些基本图形，关于这些基本图形的结论是值得我们记住的，是解题的基础.例如，如图7，正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在正四棱锥的表面上运动，并且总保持PE上AC，则动点P的轨迹的周长为 ___

.

本题一看到正四棱锥图形，应立即联想到它的性质，特别是与垂直有关的重要结论，如AC上平面SBD，这样直线PE应该在与平面SBD平行的平面内，进而得到轨迹是△GEF.问题就迎刃而解了.

三、合情推理与演绎推理并重，提升逻辑推理的数学素养

立体几何学习最重要的目标之一就是培养同学们逻辑推理的核心素养，也就是通过对空间图形的位置关系的观察、想象、分析，依据大前提（定义、定理和性质），组织小前提的思维过程，如演绎推理，具体来说就是在几何证明过程中要做到：有理有据，规范书写.

立体几何的证明需要言之有理，下笔有据，那么“理”“据”是什么？除了教材中的概念、公理、定理和特别标明的命题（一般用粗体字显示）之外，一般命题都不能作为证明的依据.尤其是涉及概念时，要特别注意概念的性质，哪些能直接使用，哪些需要证明？例如“直棱柱的侧面与底面垂直”能否直接用？建议同学们用概念的最直接的定义，尽量少用衍生的性质.

本章证明主要围绕平行和垂直关系进行，需要特别提醒的是，一是要养成在元素之间相互转化的意识，例如“线线平行（垂直）一线面平行（垂直）一面面垂直”，通过转化，常常会达到“柳暗花明义一村”的效果.二是要认识判定定理与性质定理之间的内在联系，性质定理通常为判定定理提供思路，例如在利用线线平行证明线面平行时，须在平面内找一条直线与已知直线平行，通常的具体操作是：假设线面平行，然后过已知直线构造平面与已知平面相交，则根据线面平行的性质定理知该交线即为所要找的直线，然后再来证明该交线与已知直线平行即可.证明面面平行也是如此，请看下例：

如图8，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，G和H分别是CE和CF的中点.求证：平面BDGH∥平面AEF.

用面面平行的性质定理分析.假设题中平面BDGH∥平面AEF，它们同时被第三个平面CEF所截，交线是GH，EF，那么可以肯定一定有GH∥EF.接下来只要在构造的辅助平面CEF内证明这两条直线平行就行，证明方法：三角形中位线定理.

设BD∩ AC=0.

同样的思路，辅助平面ACF，与欲证的两个平行平面的交线是AF，OH，用三角形中位线定理，可以证明在△ACF中，AF∥OH;

辅助平面ACE，与欲证的两个平行平面的交线是AE，OG，用三角形中位线定理，可以证明在△ACE中，AE∥OG.

所以根据给出的图形，两个欲证的平行平面中至少可以找到三组线线平行.

总之，立体几何作为高中数学重要的一部分知识，它独特的教育功能对同学们的空间想象素养和逻辑推理素养发挥着重要的作用，同学们只要注意这部分独特的学习方法，一定会取得优秀成绩！