“双轨平行线”破解二次函数面积最值

杨格瑞

摘 要：二次函数是初中数学学习的一个重点，也是一个难点，也是中考数学题位24题压轴的相应题，中考数学必考的一个知识点。特别是在压轴题中，二次函数和几何综合出现的题型，才是最大的区分度。從近几年的各地中考试卷来看，求面积的最值问题在压轴题中比较常见，而且通常与二次函数相结合.使解题具有一定难度，在解决二次函数面积最值方面，“双轨平行线”为常用的方法。本文就具体介绍一下“双轨平行线”破解二次函数面积最值，供同学们在解决这类问题时参考。

关键词：中考二次函数压轴题;二次函数面积最值;“双轨平行线”;数形结合;几何构造

数学是研究现实世界中数与形关系的学科，我国著名数学家华罗庚教授有这么一段名言：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边分。数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非”。多边形的面积往往可以通过割补法求解，往往在割补法的基础上把四边形分解成几个三角形或者规则四边形的面积求解，从而简化计算过程和计算难度。所以多边形求面积实质是求三角形的面积。如果三角形有一条边确定，那么这条边可以作为底，求面积最大，实质是当高最大时，面积会达到最大。当三角形的一边在坐标轴上或与坐标轴平行时，可借助坐标轴或平行于坐标轴的直线上的某一条线段作为三角形的边，第三个点到这条边的距离作为三角形的高，直接利用三角形的面积公式求解。

一、“双轨平行线”

到一直线上的距离等于定长的点在距离这条直线为定长的平行线，叫做“双轨平行线”

二、模型应用

二次函数求面积最值，往往是二次函数压轴题中学生比较难以得分的一种类型题，所以在求四边形，三角形面积最值时，最终都是求三角形面积最值。先建立几何模型，找已知点两个，和未知点一个，两个已知点组成一条线段，作三角形的底，即未知点到底的最大距离，即过未知点做一条平行于底的直线，且与抛物线有且只有一个交点，联立两个函数，使得判别式为0，再解联立的一元二次函数，由两个相等的实数根，即这是此时未知点的坐标，若是求四边形，三角形面积定值时，最终都是求三角形面积定值。先建立几何模型，找已知点两个，和未知点一个，两个已知点组成一条线段，作三角形的底，即未知点到底的距离为定值 ，此时的解题方法涉及到高中点到直线的距离公式，在此不作深入介绍。但是双轨平行线解决二次函数中面积最值十分方便，纯代数方法，使得二次函数压轴题面积最值迎刃而解。

参考文献：

[1]教育部.初中数学教与学.北京：中国人民大学出版社

[2]中学数学教学参考.陕西：陕西师范大学出版社

[3]中国数学教育初中版.辽宁：辽宁北方期刊出版社

[4]中学数学教学.安徽：华东师范大学出版社