提升数学例题教学实效性的实践和思考

☉江苏省溧阳市光华高级中学 偰维国

数学概念的形成、规律的揭示、技能的训练、学生智能的培养都需要例题教学作为有力支撑.很多学生在传统教学的课堂上往往能认真听取教师的讲解与分析，但在解决具体问题时却又表现得懵懂慌乱.现代认知学派的理论认为学生的主动参与往往能使其更好地建构新知结构.教师在例题教学中应积极渗透数学思想方法并引导学生借助原有的认知结构获得新的发现、理解与创造.以例导思、由例及类是例题教学中惯用的教学手段，教师在实际教学中应做到以下五点并由此实现例题教学的优化.

一、温故引新并实现知识迁移

数学新知是在旧知基础上的拓展与延伸，往往会生成更多新的例题，这些例题的教学必须从新旧知识的连接点与新知识的生长点上进行知识与方法的迁移，优化相关旧知并引导学生因此展开新知的探索.

案例1 问题1：已知函数f（x）=x2+ax+3-a，有f（x）≥0恒成立，试求a的取值范围.

问题2：已知函数f（x）=x2+ax+3-a，若x∈［-2，2］时，有f（x）≥0恒成立，试求a的取值范围.笔者引导学生在问题1的复习基础上对问题2进行了探究以实现知识的迁移.有学生利用判别式很快得出了问题1的答案，但在解决问题2时仍旧运用了这一思路，教师应及时指出学生的错误并引导学生思考错误的原因，然后请学生进行自主纠正，学生很快就会发现建立不等式Δ≤0对任意x∈（-∞，+∞）均成立，但在问题2中，题设为任意的x∈［-2，2］，这是必要条件被当成了充分条件进行运用.也有学生画出了函数f（x）=x2+ax+3-a的草图并发现了二次函数的对称轴和区间之间的关系，运用分类讨论进行了解题.由此可见，知识迁移的解题教学带给了学生更多的探究欲望并获得了学生情感与知识上的共鸣.

布鲁纳早就提出过探索是数学教学的生命线这一著名的观点，教师在教学中应积极创设探究氛围并为学生创造出更多的思维活动的平台.

二、指导分析并获得解题思路

学生“听得懂、不会做”的现象在例题教学之后是普遍存在的，教师没有引导学生参与分析和思考的过程是产生这一现象的主要原因，教师应扮演好“引导者”、“组织者”的角色并教会学生学会解题思考.

案例2设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=证明数列｝为等比数列.

以下是笔者的教学过程：

师：题目要求的是什么？

师：证明某数列为等比数列时是怎样做的？

生：用等比数列的定义.

师：怎样用符号或式子来表达要证明的结果？

师：可否将其适当变形？

生：可变形为nSn+1=q（n+1）Sn.①

师：已知条件是什么？

师：条件②和目标①之间应该怎样建立联系呢？an+1和Sn+1、Sn之间又有怎样的联系？

生：an+1=Sn+1-Sn.

师：不错，解题目标现在能实现了吗？

学生在上述启发中很快获得了以下解题思路：

在例题教学中引导学生合作学习能使其在相互交流中获得解题思路的优化，以及思维境界的升华和解题能力的提高.

三、回顾深化并实现触类旁通

解题回顾是解题过程中不可缺少的一个步骤，不仅如此，解题者还应对不同的解题方法、解题结果在其他题中的运用进行新的思考.

案例3运用构造法求递推数列的通项公式：求形如an+1=pan+qn（p、q均为常数，p≠1，p≠0，q≠0）的通项公式.

复习：已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+3，求an.

方法：在数列{an}中，已知递推关系形如an+1=pan+qn（p、q均为常数且p≠1，p≠0，q≠0），求an.可运用待定系数法将原递推公式转化成：an+1-x=p（an-x），其中然后将其转化成等比数列进行解题.

回顾上述解法之后提出变式：已知在数列{an}中，a1=1，an+1=3an+2n+1（n∈N*），求an.

引导思考：两边除以2n+1，可将递推关系转化成形如an+1=pan+qn（p、q均为常数p≠1，p≠0，q≠0）的形式吗？然后再运用构造法对其进行求解？

方法：一般应先在an+1=pan+qn两边同除以qn+1，得引入辅助数列{bn}（其中），得，然后运用待定系数法解题.

问题拓展：已知在数列{an}中，a1=1，an+1=3an+2n+1（n∈N*），求an.可有不同解法？

引导思考：是否可以把递推关系变形为an+1+2n+2=3（an+2n+1），则数列{an+2n+1}是等比数列，再求解？或者两边同除以3n+1，化成最后再用迭加法来解题？

先复习回顾后变式深化的教学将情境变化完全凸显出来，在有效训练学生思维迁移的同时也令学生更好地捋清了解题思路，学生的思维迁移能力也因此得到了很好的锻炼.学生在一题多解、多题一解的训练与合理变式中学会了知识的灵活运用，在举一反三的解题思考与实践中实现了解题的触类旁通，学生在解题灵感得到有力激发的同时也获得了思维能力与创新意识的大力提升.

四、相互渗透并形成解题策略

对数学知识、方法、规律进行本质认识与提炼即为数学思想，数学方法这一解题的策略与程序实际上正是数学思想的具体反映，数学思想方法的体现往往需要数学知识这一载体才能实现.因此，教师在设计教学时应注意渗透意识的增强并把握好尺度，使数学知识、方法与思想能做到有机结合与自然渗透.

案例4已知a＞0，函数f（x）=（x2-2ax）ex，设f（x）在［-1，1］上为单调函数，试求a的取值范围.

解：f′（x）=ex［x2+2（1-a）x-2a］.由f（x）在［-1，1］上为单调函数，可知g（x）=x2+2（1-a）x-2a在［-1，1］上有g（x）≥0恒成立，或g（x）≤0恒成立.

（1）如图1，g（x）≥0恒成立时（x∈［-1，1］），有以下三种情况：

图1

图2

（2）如图2，g（x）≤0恒成立时（x∈［-1，1］），有综上所述可得

这是函数、导数、不等式相互渗透融合的例题，数形结合和分类讨论在此题的求解过程中相得益彰.借助直观的图形进行解题有效地避免了繁琐的计算，且思想方法得到提升的同时也形成了清晰的解题策略，抽象问题也因此变得更加直观易解.

五、突出重点并提升自学能力

很多数学例题都是以题组的形式出现，弄清例题之间的关系与例题编排的意图能使例题教学的重点更为突出，合理取舍可讲与可不讲、重点讲与粗略讲并因此提升教学效率.

总之，教师如果能在以上五个方面进行例题教学的优化，必然能更好地发挥学生的主体作用并使学生学会探究性思考，使学生在合作学习与共同交流中不断优化解题的思路与策略，不断发展学生解题的应变能力，同时获得课堂教学实效的提升.