高中数学恒成立问题方法解析

☉江苏省如皋市搬经高级中学 洪小银

在高中数学内容体系中，恒成立是一类综合性较强的问题，涉及的知识内容、数学思想与解决方法较多，因此对于学生而言具有较大的难度，也是考试的重点和难点之一.在实际教学过程中，部分学生的解题思路与方法主观性较强，缺乏系统的、科学的思维方式与解题策略.在此背景下，本文系统的探讨了常见的恒成立问题，并研究了相应的解题思路与方法，以提高学生的学习效益.

一、恒成立问题概述

高中阶段的恒成立问题的一般形式是以求解不等式、等式成立的值为前提，有时候会和几何问题相结合，也可以转化为代数问题.在解决这一类问题时，最常见的解题思路就是转化为函数问题，通过函数的周期性、奇偶性等性质，并结合已知信息来求解函数的恒成立问题.从本质上来说，恒成立问题就是求解等式（不等式）成立的前提条件.由于涉及函数的性质，因此在解题过程中要充分利用函数的图像，借助函数的奇偶性、周期性等性质直观地反映函数的最值及值域的分布情况.

二、解题方法解析

1.参变分离法

参变分离是指将参数与变量分开考虑，后续可以借助函数图像、性质等来求解出参数的范围，进而简化表达式，降低求解难度.在实际教学与考试过程中，运用好这种方法可以帮助学生有效地规避繁杂的代数运算，既节省了宝贵的答题时间，又能大幅度提升答题的准确率.

【案例1】已知函数f（x）=（x+1）lnx-a（x-1），若x∈（2，+∞）时，函数f（x）＞0恒成立，试求解实数a的取值范围.

解析：由已知条件可知，若函数f（x）＞0，即（x+1）lnx＞a（x-1）.

因为a＜m（x）恒成立，所以a小于m（x）在x∈（2，+∞）上的最小值.

因为x∈（2，+∞），所以x（x-1）2恒大于0.

令n（x）=x2-2xlnx-1，则n′（x）=2（x-lnx-1）.

所以h（x）=2（x-lnx-1）在x∈（2，+∞）上单调递增.

所以h（x）=2（x-lnx-1）＞h（2）=2（1-ln2）＞0，即h（x）恒大于0.

所以n（x）=x2-2xlnx-1在x∈（2，+∞）上单调递增.

所以n（x）=x2-2xlnx-1＞n（2）=3-4ln2＞0，即n（x）恒大于0.

所以m（x）min＞m（2）=3ln2.

所以当a≤3ln2时，f（x）＞0恒成立.

总结：这道题同时含有参数和变量，若一并考虑的话则具有难度，因此采用参变分离的解题思路可以有效地梳理已知信息，将求参数范围问题转化成函数的最值问题，进而求解出最终的结果.

2.数形结合法

在解决恒成立问题时，有一部分问题若单纯从代数角度考虑则较难入手，计算量比较大或者是很难求解出结果.这时就需要仔细观察代数式的形式，将其与几何概念相结合，通过直观的几何图形来辅助求解，从而得出代数和图形之间的关系，进而求解出参数的取值范围.

【案例2】已知函数f（x）=，g（x）=ax+2a.若存在数量关系f（x）≤g（x）恒成立，试求解实数a的取值范围.

解析：根据f（x）≤g（x）恒成立，可知≤ax+2a恒成立.

若a＜0，则y2表示的是与y轴的负半轴相交且斜率为负的直线，不满足恒成立，因此排除；

若a＞0，则y2表示的是与y轴的正半轴相交且斜率为正的直线，易知临界值为直线与半圆相切，借助点到直线的距离公式可得，解得或.因为a＞0，所以

总结：数形结合的数学思想方法可以将纯代数的问题转化成几何图形问题，将抽象的问题具体化.当然，数形结合的方法并不是通用的，使用的前提是通过移项、变形等可以将原代数式转化成常见的几何概念式，常见的几何图形有直线、圆、半圆等.

3.构造函数法

在一类最值问题的求解过程中，可以借助完全平方公式，将最值问题转化为二次函数问题，通过构造函数，借助函数的图像以及性质来求解特定的值，而不是机械地进行代数运算.同时，如果已知表达式中包含不止一个变量，就需要结合题目要求与已知信息，将变量与参数区分开来，在此基础上确定最终的表达式，并对题目进行简化.一般情况下，需要借助具备明确范围的变量来求解未知范围的变量的值.

【案例3】若不等式2x-1＞m（x2-1）对任意m∈［-2，2］恒成立，试求解x的取值范围.

解析：对已知表达式2x-1＞m（x2-1）进行变形，可得m（x2-1）-（2x-1）＜0.由于在已知信息中，给出的是“任意m∈［-2，2］”这一条件，而需要求解的是x的取值范围，因此在解决这道问题时，我们需要转换思维，改变“x为变量”的既有思维，将这一表达式看成是关于m的一次函数，即f（m）=（x2-1）m-（2x-1），其几何形式为线段.若想该线段在［-2，2］的区间内函数值恒小于0，只需要保证两端点的函数值恒小于0即可，因此可以得到以下两个不等式：

化简可得：

总结：在解决这一类恒成立问题时，多数学生往往会纠结于参数、变量的区分与选择，甚至有部分同学认为字母“x”就一定代表着变量，而除此之外的字母，如“a”、“m”、“n”等就一定是参数，进而将求解的重点混淆，使得题目复杂化甚至出现错误.因此，在解题之前就需要认真审题，明确题目要求，梳理题目中的已知信息与已知量，转换思维，简化或转化已知信息中的表达式，最终就能快速且准确地求解出答案.

三、结语

恒成立问题综合性较强，仅通过单一的思路与方法很难有效地解决.因此在教学过程中，需要注重对学生的思维进行训练，教师不仅要引导学生掌握正确的解题方法，更要纠正学生的思维方式，寻找恒成立问题与特定数学思想方法之间的联系，真正做到举一反三.