是概率出问题了吗

我曾遇到过这样一题：

在半径为1的圆内任作一条弦，则弦的长度超过该圆的内接等边三角形边长的概率是多少？

这显然是一个几何概率问题，我的解法是这样的：

分析与解

然而，本题的参考答案却给出了完全不同的解法和结果：

法三 如图3，圆内弦的位置被弦的中点唯一确定.在圆内作一同心圆，其半径为大圆的一半.则当弦的中点落在小圆内时，弦长才能大于圆内接正三角形的边长，

并且参考答案中说，这是一个贝特朗问题，答案并不唯一，

这令我疑惑不解！老师告诉我们，概率是随机事件本身固有的属性，不會随着试验次数、计算方法等因素而有所改变，在这个问题中，同一事件的概率，为何会因为计算的角度不同而得到不同的答案呢？难道是概率本身出了问题？

通过认真思考和查阅资料，我终于发现不是概率出了问题，而是“人”出了问题.数学是一门严谨的学科，问题的求解方法可以有多种，但结果应该一致，贝特朗问题之所以会出现不同的答案，是因为人们观察随机试验的基本结果的角度不同，同时对结果的等可能性假设也有不同的理解，

例如我的解法1中，当弦的一端A固定后，我所认为的等可能结果是：弦的另一端点P在圆弧上是等可能出现的.问题转化为点P落在圆周的某段弧上的概率问题，结合解法3，如果也以弧的中点来考虑问题：当点P从点A出发沿圆周运动一周时，弦PA的中点M的运动轨迹是一个以OA的中点为圆心，半径为1/2的圆（如图4，此处证明略）.当点P落人劣弧BC内时，对应的中点M的轨迹为DE.而DE的度数为2π/3，所以所求的事件概率为

而不等于解法3中的结果1/4.

也就是说，同样以弦的中点来考虑问题，当假定弦的一端固定时，本题中随机事件对应的几何量为一维的曲线长度;而若不固定弦的端点，在区域内随机作弦时，事件所对应的几何量则为二维的图形面积，并且所得的结果不同，看来并不是概率出了问题，而是我们思考问题的角度发生了变化，是我们的“假设”出了问题.

（赵秋雨，山东省济宁市第一中学）