常文武
在灯影下,我们的影子会嚴重扭曲.数学上看,光线在我们的“身”与“影”之间建立了一个“变换”.Sergio Aragones的漫画就告诉我们这种变换多么不靠谱!
图1的漫画里,四人纸牌游戏鏖战正酣,大赢家面前堆满了赢来的钱,输钱的另外三位面露笑容貌似祝贺赢家有好运,墙上的影子却将三人的想法揭示无遗:等会儿拿刀追杀你,看你哪里逃?
的确,投影几何的“变数”非常大:线段的中点投影后不再是影子的中点;圆甚至变成了抛物线或双曲线!不过,再离奇的变换也有其不变的量——交比.
什么是交比?简言之,交比就是两个比的商,确切地说,当线段AB上有两个分点:C和D(可以不管先后),它们分线段为两个比AC:CB和AD:DB,那么这两个比再作商AC:CB/AD:DB 或化简为(AC×DB)/(AD×CB)就叫这四点的交比,记作(A,B;C,D).
也可以这么说,任何共线的4点可以看作3段线段a,b,c首尾相连的整体.第一段和后两段的比是以:(b+c),第一、二段和第三段的比是(a+b):c,那么比之比(交比)就是ac/(b +c)(a+b).前文所断言的就是在投影变换(数学上严格来说叫射影变换)下这个比是不变的(图2).交比不变性是射影几何学的核心概念,可以用初等平面几何来证明这一性质.
漫画家和数学家分别看到了影子的两重性,影子对原物扭曲变化的同时,保留了内蕴的一个不变量——交比.
数学与艺术在人类文明的形成和发展过程中有着密切的联系,它们都是构成人类文明不可或缺的一部分.谈及数学与艺术,不得不提及将数学思想融于艺术设计的大师埃舍尔.他有些什么作品呢?让我们一起来看一看.