波导法测量材料的电容率和磁导率

付全红,庞述先,樊元成,张富利

(西北工业大学 a.理学院 应用物理系;b.物理实验教学中心，陕西 西安 710129)

电容率ε和磁导率μ是描述材料电磁性质的基本参量，其中ε描述材料在电场中的极化性质，而μ描述材料在磁场中的磁化性质，它们共同决定了电磁波与材料的相互作用，因而，获取材料的ε和μ(尤其是通过实验测量获取)在科学研究和工程应用中具有重要意义. Smith等人为了获得“超构材料”(metamaterials)的等效电容率ε和磁导率μ，提出了“散射参量提取法”(S-parameter retrieval method)，通过等效介质板的散射参量S11和S21反推出ε和μ[1-2]. 为了避免数值计算或实验测量误差对多值函数分支选择的影响，Chen等人发展了稳健的“散射参量提取法”[3]；此外，他们还提出了适用于双各向异性(bianisotropic)超构材料的“散射参量提取法”，除了能够提取电容率和磁导率张量外，还能够提取电磁耦合系数[4]. 但是，这些“散射参量提取法”属于自由空间测量，即平面波垂直入射到无限大介质板上. 为了实现平面波入射，需要使用喇叭天线，而且需要将样品放置在喇叭天线后面一定距离之外；为了避免衍射效应，样品的几何尺寸需要远大于波长；此外，为了消除杂散波的影响，需要在微波暗室中进行测量. 由于测量系统是开放系统，易受到外界电磁环境的干扰，产生测量误差. 矩形波导管是一种封闭系统，其中传播的波导模为2个斜入射平面波的叠加，而且不同频率的波导模对应不同的入射角[5]. 与自由空间情形类似，本文通过求解电磁场的边值问题，推导矩形波导管中介质板的反射系数r和透射系数t，以及由介质板的r和t确定材料的ε和μ的公式. 利用这种方法(即波导法)测量材料的ε和μ，由于在封闭的矩形波导管中进行，不受外界电磁环境的干扰，因而实验操作简便，所需样品面积小，测量误差小.

1 测量原理

如图1所示，矩形波导管中，角频率为ω的基模TE10沿z方向垂直入射到介质板上. 假设矩形波导管的横截面尺寸为a×b，介质板的厚度为d.

图1 波导管和介质板示意图

在区域Ⅰ(z<0)，电容率为ε1，磁导率为μ1，因此有

E1,y=E1+,y+E1-,y=

A1+sin (kxx)eiβ1z+A1-sin (kxx)e-iβ1z，

式中,

在区域Ⅱ(0

E2,y=E2+,y+E2-,y=

A2+sin (kxx)eiβ2z+A2-sin (kxx)e-iβ2z，

式中,

在区域Ⅲ(z>d)，电容率为ε3，磁导率为μ3，因此有

E3,y=A3sin (kxx)eiβ3z,

在边界z=0处，由电磁场的边值关系得

(1)

即

(2)

将式(2)写成矩阵形式

(3)

在边界z=d处，由电磁场的边值关系得

(4)

即

(5)

将式(5)写成矩阵形式

(6)

(7)

将式(7)化简得

(8)

若已知介质板的电容率ε和磁导率μ，则可由方程组(8)求得反射系数r和透射系数t：

(9)

若已知介质板的反射系数r和透射系数t，则由方程组(8)求得介质板的电容率ε和磁导率μ：

(10)

或

(11)

通常，ε1=ε3，μ1=μ3，因而β1=β3，n1=n3，z1=z3，则式(9)～(11)分别可简化为

(12)

(13)

(14)

由式(14)可求得介质板的折射率n2和归一化波阻抗z2，然后根据ε2,μ2与n2,z2之间的关系，即ε2/ε0=n2/z2，μ2/μ0=n2z2，可求得介质板的电容率ε2和磁导率μ2.

由式(14)的第1式得

式中，m为整数. 对于薄介质板，厚度远小于波长，因而m=0，即

(15)

在求解过程中，n2和z2的符号由Im (n2)>0和Re (z2)>0来确定.

2 相位修正

在测量原理中，介质板的反射系数和透射系数的参考面分别为介质板的前、后表面. 在实验测量过程中，如果参考面的位置不满足测量原理的要求，应先对反射系数和透射系数的相位进行修正，然后才能代入公式求解.

假设反射系数和透射系数的参考面分别与介质板的前、后表面相距u和v，反射系数和透射系数分别为r′和t′，则修正公式为

3 举例验证

假设矩形波导管为BJ9，其横截面尺寸为a×b=247.65 mm×123.82 mm，考察的频率范围为0.8～1.1 GHz，介质板的厚度为d=30 mm，电容率和磁导率分别为

式中，ωe=2π×1.2×109rad/s，γe=0.015ωe，ωm=2π×1.3×109rad/s，γm=0.005ωm. 介质板两侧为空气.

利用三维全波电磁场仿真软件CST微波工作室对介质板的反射系数和透射系数进行仿真，结果如图2所示.

(a) 模

(b) 辐角图2 介质板的反射系数r和透射系数t

利用式(15)和式(14)的第2式，由介质板的反射系数r和透射系数t，求得介质板的折射率n和归一化波阻抗z，进而求得介质板的电容率ε和磁导率μ，结果如图3所示.

(a)电容率ε

(b)磁导率μ图3 介质板的电容率ε和磁导率μ

从图3中可以看出，利用波导法由介质板的反射系数和透射系数求得的电容率和磁导率，即反演值，与理论值一致，表明波导法测量材料的电容率和磁导率正确有效.

4 结束语

通过求解电磁场的边值问题，推导出矩形波导管中，介质板的反射系数r和透射系数t，进而确定材料的电容率ε和磁导率μ的公式，并以具有Drude电色散和磁色散的介质为例，利用“波导法”由介质板的r和t求得材料的ε和μ，结果与理论值完全一致，实验表明“波导法”测量材料的电容率和磁导率正确有效. 该工作是本科电动力学知识在科学研究中的典型应用，有利于加强学生对基本电磁理论的理解和应用. 该实验具有实验操作简便、所需样品面积小、测量误差小等优势，对于电磁材料和电磁器件的设计和研究具有广泛应用价值.