在“慢数学”中发展学生核心素养——以《平行四边形的定义和性质》为例

东北师范大学史宁中教授指出，数学学科的核心素养可以表达为：用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界。如何在数学教学中落实数学学科的核心素养？我主张“慢数学”：重视过程，注重学生对数学基础知识、基本技能的理解和掌握，同时感悟数学思想，积累数学活动经验，努力把情感态度目标融合在数学过程之中，实现数学学科的育人功能。“慢”是对快节奏、大容量的“速成课堂”的一种扬弃，其核心是注重“过程”，落实数学核心素养。下面，笔者以“平行四边形的定义和性质”为例，阐述“慢数学”的做法。

一、内容解析

“平行四边形的定义和性质”选自人教版八年级下册第十八章第一节，主要内容为平行四边形的定义和性质。这节课的教学目标是：明确平行四边形的概念，知道“对边平行”是平行四边形的本质属性；在观察、猜想、证明的过程中研究平行四边形边、角、对角线的性质，体会平行四边形问题转化为三角形问题的“化归”思想。这节课的重点是，让学生理解并掌握平行四边形的概念和性质，难点是在探究性质的过程中形成解决四边形问题的一般策略。

二、主要教学环节解析

【活动1】创设情境，引入新课

师：这是生活中常见的场景（图略）

小区的伸缩门、庭院的竹篱笆、汽车的防护栏，在这些图片中，有哪些是我们熟悉的几何图形呢？

生1：有平行四边形，长方形。

从这节课开始，我们一起研究平行四边形的定义和性质。

演示生活中的平行四边形图片，并从中抽象出几何基本图形，使学生回顾平行四边形是生活中常见的图形，研究它的性质具有重要的意义。

【活动2】抽象观察，形成概念

师：同学们，学习几何图形，一定要明确概念，我们先要定义一下什么是平行四边形，有没有同学能试一下做一个定义呢？

生2：我认为对边相等的就叫平行四边形。

生3：我觉得一组边平行一组边相等的四边形。

师：（在黑板上画一个等腰梯形）你看看，这是平行四边形吗？

她立刻摇头，说不对。

生4：两组边平行的四边形是平行四边形。

师：这位同学回答非常正确。（板书）有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。“平行”是这个概念的本质含义。几何定义有两层含义，既可以作为平行四边形的一个性质，又可以是平行四边形的判定方法。（板书）用几何语言表述为：

∵四边形ABCD是平行四边形（已知），

∴ AB∥CD，AD∥BC（平行四边形的定义）。

∵ AB∥CD，AD∥BC（已知），

∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的定义）。

让学生猜测平行四边形定义，可以加强学生对平行四边形概念本质属性的认识，并清楚平行四边形概念的本质、最重要的属性“平行”。通过对定义本质属性的探索，让学生明确几何定义既包含了性质，又是判定的重要依据，为后面学习特殊的平行四边形打下良好基础。强调了平行四边形定义的文字语言、图形语言、符号语言。

【活动3】实验探索，探究新知

师：请同学们独立完成下列学习任务：

根据定义画一个平行四边形ABCD，观察它，除了“两组对边分别平行”外，它的边还有什么性质？它的角之间有什么关系？连接AC、BD，设它们交于点O，量一量，你能发现对角线有什么性质？猜一猜：平行四边形有哪些性质？

先独立完成，然后以小组为单位，相互比较各自的画图效果，并把你们发现的结果用简洁的语言描述出来。最后请各小组把归纳得到的结论与同学们分享。

学生画图、测量、讨论，老师巡堂指导。

生5：在小学期间，我们就知道平行四边形的对边是相等的，对角也是相等的，刚才我们小组的同学又测量了一次，结论都是这样的。所以我们组认为平行四边形的对边相等，对角相等。

师：还有补充的吗？

生6：我们组还发现，对角线的长度并不相等。不过，虽然对角线的总长度不相等，但是通过测量发现OA=0C，点O是AC的中点，OB=OD，点O也是BD的中点呢！

师：观察真敏锐！其他组是不是也有这种情况呢？你们试试看！

同学们纷纷测量，最后归纳总结出结论：点O既是AC的中点，也是BD的中点。

师：像这种点O既是AC的中点，也是BD的中点，用准确的数学语言来描述就是“互相平分”。

在这个环节中，学生可以发现平行四边形的大小不尽相同，但都具有相同的特点：它们的对边既平行又相等，它们的对角都相等，对角线互相平分。

“互相平分”是学生第一次接触，理解有困难。设计这个环节的目的，是让学生亲自测量，理解“平行四边形对角线互相平分”这句话的真正含义。同时，也经历发现和探究几何图形性质的前面几步：在观察、度量的基础上提出猜想。

师：同学们通过观察和测量，猜想出了所有的平行四边形都对边相等、对角相等、对角线互相平分，但这仅仅是猜想，我们还必须证明才行。请大家先思考这个问题：我们常常用什么方法证明线段相等或证明角相等？

生7：常常通过证明它们所在的三角形全等来证明。

师：对！下面，请用你们的经验来证明你们的刚才的猜想。还是先独立思考，再小组讨论，最后请各组派代表展示你们组的探索成果。

生8：我们组作了辅助线，连接AC，然后证明ΔABC≌ΔCAD， 这样就证明了 AB=CD，BC=AD，∠B=∠D，从而证明了平行四边形的了对边相等，对角相等。

师：非常好！还有其他证明方法吗？

生9：我们组的做法差不多，连接的辅助线是BD。

生10：我们组做了两条辅助线，连接AC、BD，它们交于点O，可以证明ΔAOD≌ΔCOB，进而得到OA=0C，OB=OD，从而证明了平行四边形的对角线是互相平分的。

师：给同学们分享一下，你们想到这种证明方法的原因吧！

生11：要证明OA=0C，OB=OD，也就是要证明线段相等，我们就需要证明三角形全等。图中没有三角形，因此就想到连接对角线，当我们把两条对角线都连接了，我们就观察到出现了全等的三角形，于是就通过证明这两个三角形全等证明出结论。

师：非常好！在这个问题中，连接对角线后，四边形中就出现了三角形，这样研究四边形的问题就转化成了研究三角形的问题，这种把未知转化为已知的思想，我们曾经遇到过，这是数学上重要的数学思想：转化。

要给学生充足的时间去经历从猜想到论证的过程。引导学生证明猜想，经历领悟证明线段相等或角相等通常采用三角形全等的方法，在这个问题中，由于只有四边形没有三角形，因此需要添加辅助线来构造全等三角形，四边形问题转化为三角形问题来研究，这也是研究几何图形的基本思想：转化。同时，强化了在数学研究中，可以用合情推理发现结论，必须用演绎推理进行证明。

三、“慢数学”思想的运用

（一）慢——用数学的眼光观察世界

这节课我首先引导学生观察生活中的图片，让学生识别出其中的平行四边形，一方面让学生感受到平行四边形与生活的密切联系，知道数学知识常常来源于生活，更重要的是让学会从现实世界中抽象出数学元素。我们不关心小区的伸缩门、庭院的竹篱笆、汽车的防护栏的颜色、质量，不去讨论他们在生活中的实际用途，而是从这些现实图形中自然地抽象出平行四边形的模型，也就是从图形的角度来认识世界。学生经历将实物抽象为图形的过程，并在这些丰富的感性材料的基础上，得到对平行四边形本质属性的认识，从而发展学生“用数学的眼光观察世界”的核心素养。

（二）慢——用数学的语言描述世界

小学阶段，学生已经学习了平行四边形，对平行四边形有了初步了解，但是他们不清楚平行四边形的概念，因此在“平行四边形定义”的这个活动中，学生的回答是多种多样的。有学生认为“对边相等就是平行四边形”，有的学生认为“对角相等就是平行四边形”，还有学生认为“对边平行又相等才是平行四边形”等等，分不清平行四边形概念的本质和非本质属性，这是初学几何学生的通病，属于正常现象。在老师的不断引导下，学生们渐渐明晰了平行四边形概念的本质属性“平行”，学会用准确的数学语言来描述定义：“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，然后再从文字语言、图形语言、符号语言三方面对这个定义进行详细分析，完善了学生在认识图形方面之间的认知结构，培养了学生的符号意识和几何直观，发展学生“用数学的语言描述世界”的核心素养。

（三）慢——用数学的思维思考世界

这节课的另一个重点是探究并掌握平行四边形的性质。教学中常常会看到“讲性质+练性质”模式。这种忽视探究过程，追求知识结果，用大量题目巩固的“快节奏大容量”模式，这会使数学中最重要的“营养”成分被丢弃。平行四边形“对边相等，对角相等”的性质，在小学已经学过并应用它进行计算，课本第41页的探究活动属于没有意义的“假探究”和“假猜想”活动，由于学生是第一次接触“互相平分”这种表述方法，通常不能准确理解，于是我设计了“画一画、量一量、猜一猜”的数学探究活动，让学生在观察、测量的操作活动中，经历由观察度量、实验操作等方式发现平行四边形对角线的性质，理解平行四边形的对角线互相平分的真正含义：OA=OC,OB=OD,点O既是AC的中点，还是BD的中点。只有经历了平行四边形性质的发现过程，了解性质的来龙去脉，才能对平行四边形的性质有深切的了解和认识，真正的理解其性质。在这节课中，通过设计合适的数学活动，再用演绎推理的方式加以证明的研究几何图形的一般方法，发展“用数学的思维思考现实世界”的核心素养。

在这节课的教学中，我放慢节奏，通过列举典型、丰富的例子，让学生经历抽象平行四边形概念的过程，让学生经历平行四边形性质的探究过程，感受研究几何问题的一般方法，并发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养，力求让“用数学的眼光观察现实世界”“用数学的语言描述世界”“用数学的思维思考现实世界”的核心素养在课堂教学中落地生根。