金字塔型点阵材料夹芯板抗爆性能仿真与优化

亓 昌， 郝鹏程， 舒 剑， 杨 姝

(大连理工大学 汽车工程学院，辽宁 大连 116024)

高孔隙率和变化多样的微结构使得点阵材料具有独特而优良的力学性能，诸如比强度大，比刚度高，以及非常理想的抗冲击性能。常见的点阵材料拓扑结构主要包括四面体型，金字塔型，Kagome和Lattice block构架等[1]。金属点阵材料夹芯板是以点阵金属作为芯体，外加两层较薄的金属面板组成的复合结构，既能充分发挥点阵材料轻质、吸能等优点，又能利用面板提供所需的结构刚度并对芯体形成保护。

随着现代军用装备机动与防护并重的发展需求，金属点阵材料夹芯板在军用装备防护，尤其是爆炸防护方面的应用研究也逐渐增多。相比于其他拓扑结构点阵材料，金字塔型点阵复合材料除轻质、高强特性外,还具有隔热、隔振和电子屏蔽等多功能可设计性,是极具潜力的先进多功能材料[2]。国内外学者对金字塔型点阵夹芯结构在爆炸载荷作用下的力学响应进行了较多研究，Dharmasena等[3-5]结合实验与仿真，分别研究了金字塔型点阵夹芯结构在空气、水下及沙土等介质中的爆炸冲击响应，同时分析了具有不同厚度面板的夹芯板在炸药处于不同距离下的变形及失效模式；Wei等[6]综合采用实验测试、有限元仿真和理论解析等多种方法，研究了多层金字塔点阵夹芯结构在爆炸载荷下的动态响应特性；朱凌雪等[7]提出了芯体截面梯度变化的金字塔型点阵夹芯结构，并通过理论分析和数值仿真证明了该结构面比吸能和压溃载荷率优于传统点阵夹层结构；王同银等[8]提出了面板上薄下厚、芯体层上粗下细的功能梯度金字塔型点阵夹芯结构，并利用数值仿真证实了新结构可进一步提高金字塔型点阵夹芯结构抗爆性能。

在金字塔型点阵夹芯结构性能优化方面，Xue等[9]研究了金字塔型点阵材料、方形蜂窝和波纹板三种芯体夹芯结构的抗爆性能，并以各自的几何参数为设计变量进行了以轻量化为目标的优化；Lee等[10]利用连续变焦遗传算法对金字塔型点阵夹芯结构中内部芯子截面进行了形状优化以增强其压缩性能；Liu等[11]采用均质化方法并结合理论解析，优化了金字塔型点阵夹芯结构在承受弯曲、横向剪切和面内压缩等工况下的机械性能；易建坤等[12]利用ALE方法模拟爆炸载荷加载，分析了几何参数对填充铝泡沫的金字塔型点阵金属夹芯结构抗爆性能的影响，指出了优化设计方向；泮世东等[13]提出了芯体与面板结合强度与芯体强度协调优化的思路，并对面外剪切载荷作用下的金字塔型点阵夹芯结构进行了优化设计，提高了其整体等效剪切强度。截至目前，涉及爆炸载荷下金字塔型点阵夹芯结构多目标优化与可靠性的研究尚不多见。

本文首先建立了用于金字塔型点阵金属夹芯板爆炸冲击响应仿真的详细有限元实体模型和简化梁单元计算模型；其次，基于Dharmasena等研究中的实验数据验证了模型的有效性和准确性；然后，利用仿真计算分析了芯体结构设计变量对夹芯板抗爆性能的影响规律；最后，以背板变形量、吸能特性及轻量化为目标，通过建立径向基函数近似模型，对本文中基准金字塔型点阵夹芯板进行了多目标优化设计与针对不确定载荷的可靠性研究。

1 数值模拟

1.1 物理模型

金字塔型点阵材料夹芯板(Pyramidal Lattice Sandwich Panel，PLSP) 基准物理模型如图1所示。夹芯板由上下面板和金字塔型点阵材料芯体(Pyramidal Lattice Core，PLC)组成。其中，上下面板分别对应结构的迎爆板(Front face)和背板(Back face)。面板与芯体均采用AL6XN不锈钢。面板边长L=420 mm，上下面板厚度tf=tb=1.52 mm，芯体厚度Hc=25 mm，炸药当量设为200 g TNT，炸高h=150 mm。金字塔型芯体单胞构型如图2所示，胞元底边长l=35 mm，其腹杆截面为正方形，截面边长tc×tc=1.9×1.9 mm，腹杆与面板的夹角α=45 °。

图1 爆炸载荷下的金字塔型点阵材料夹芯板物理模型Fig.1 Physical model of PLSP under blast loading

图2 金字塔芯体单胞结构及尺寸Fig.2 Unit cell structure and size

1.2 有限元模型

基于显式动力学分析软件LS-DYNA，在前处理软件Hypermesh中建立有限元分析模型。考虑结构对称性，为节约计算时间，采用1/4模型并设置对称约束边界条件。面板采用4节点Belytschko_Wong_Chiang壳单元，芯体腹杆则分别采用六面体型实体单元(Element_Solid)与三维梁单元(Element_ Beam)划分网格。对芯体定义自动单面接触，面板和芯体间采用Contact_Tied_Surface_To_Surface接触模型模拟焊接。考虑到文献实验中未发生焊点失效现象，仿真模型中不考虑焊点失效。Dharmasena等研究中金字塔型夹芯板爆炸实验中板四边采用螺栓固定，并支承在工字型支架上。相应地，有限元模型中采用周边全约束，即将夹芯板四周各节点的3个平移和3个转动自由度均设为零。爆炸载荷采用CONWEP算法模拟，并通过设置关键字Load_Shell加载到上面板上。仿真时间设为3 ms。夹层板材料AL6XN不锈钢的主要性能参数总结于表1，采用分段线性塑性材料本构模型(Mat_Piecewise_Linear_ Plasticity)，失效塑性应变设为0.4。材料在不同应变率下的真实应力—应变曲线如图3所示。

表1 夹芯板材料主要性能参数Tab.1 Mechanical properties of sandwich material

图3 不同应变率下AL6XN不锈钢应力-应变曲线Fig.3 Stress-strain curves of AL6XN under different strain rates

1.3 仿真模型简化

在点阵材料夹芯结构有限元模型中，芯体一般采用实体单元建模以仿真详细变形过程[14]。采用详细实体单元模型的单次仿真计算时间一般尚可接受，但若涉及优化设计，实体单元模型的计算规模和计算时间往往难以接受。此外，实体单元对模型的参数化要求更高，不利于开展优化设计。考虑到三维梁单元能很好地反映截面属性且易于实现模型参数化，因此，采用简化梁单元替代实体单元对芯体腹杆进行建模，如图4所示。两种模型的节点数、单元数以及在4核英特尔xeon处理器上的单次仿真求解时间对比于表2。与实体单元模型相比，梁单元简化模型规模仅为前者的3.8%，仿真计算时间不到前者的1%，计算效率大大提高，为点阵夹芯结构抗爆性优化设计提供了可能性和便利条件。简化模型的等效性和仿真精度将在后文做进一步分析。

图4 实体单元和简化梁单元芯体有限元模型Fig.4 Solid element and beam element FE model of lattice core

模型类型节点数单元数计算时间/min1/4实体单元模型113 24890 8644061/4梁单元简化模型4 3323 4564

1.4 抗爆性能评价指标

夹芯板被用作爆炸防护结构时，背板一侧倘若变形过大，会对与之接触的被保护的人或物造成损害。因此，选取背板最大瞬时位移量MaxD作为夹芯结构抗爆性能关键评价指标。另外，作为装甲车辆、舰船等的防爆结构时，夹芯板的吸能特性和轻量化水平也要重点考虑。面比吸能(Areal Specific Energy Absorption，ASEA)定义为单位面积质量结构吸收的能量[15]，这一指标一方面体现了结构吸能能力；另一方面也将重量考虑在内，可作为夹芯结构抗爆性能的另一个重要评价指标。ASEA可表示为

ASEA=En/MA

(1)

式中：MA为单位面积内的质量；En为结构的总吸能量。

2 仿真结果分析

2.1 有限元模型验证

为验证本文的有限元建模方法，提升仿真结果的可信度，依据Dharmasena等研究中给出的实验条件建立有限元验证模型。模型中各参数值与图1所示基准模型均相同。仿真150 g C4炸药在炸高分别为75 mm，150 mm和200 mm时的金字塔型点阵金属夹芯板爆炸响应。图5为炸高150 mm时两种仿真模型预测的夹芯板在t=3 ms时刻的最终变形与实验结果的对比。由图5可知，最大变形均出现在板心，两种仿真模型中芯体腹杆的变形模式也与实验结果吻合良好。不同炸高下的背板最终变形量总结于表3；仿真值与实验结果相对误差均在6%以内。上述结果验证了本文有限元建模方法的正确性和有效性。本例中，炸高为75 mm和150 mm时，与实体单元模型相比，梁单元简化模型对背板最终变形量的预测值更接近实验数据，说明在一定范围内简化模型也能够准确地预测夹芯板爆炸响应，可以替代实体单元模型用于结构优化设计。在不影响仿真精度的前提下，简化模型的仿真计算时间减少了99%(见表1)，对后续优化中的试验设计提供了很大便利。

表3 仿真结果与实验结果对比Tab.3 Comparison of simulation and experimental results

图5 仿真与实验结果对比Fig.5 Comparison of simulation and experimental results

2.2 芯体相对密度

点阵夹芯层的相对密度为点阵材料密度与制造点阵材料的基体材料密度之比，也即点阵夹芯材料腹杆体积与芯体所占空间总体积之比。参考图2所示金字塔型点阵材料胞元，对于腹杆截面为正方形 (tc×tc)，腹杆和面板间夹角为α的点阵材料芯体层，其相对密度ρ*可表示为

(2)

2.3 胞元结构参数对抗爆性能的影响分析

芯体相对密度对夹芯结构抗爆性能影响显著。由式(2)可知，胞元结构参数Hc，tc和l均会影响芯体相对密度。以下在基准模型尺寸基础上，基于梁单元简化模型仿真结果，采用单一变量法分别考察胞元各结构参数对夹芯板抗爆性能的影响。

首先，保持tc和l不变，研究芯体厚度Hc的影响。图6为芯体厚度从20 mm增加到30 mm过程中背板最大变形量MaxD和面比吸能ASEA的变化过程拟合曲线。由图可知，MaxD随芯体厚度增加非线性增大，当芯体厚度从20 mm增加到30 mm时，MaxD从15.8 mm单调上升到17.0 mm，增加了7.6%。与此同时，面比吸能基本呈线性上升，变化范围为3.614～3.803kJ/(kg·m2)，增加了5.2%。这是由于芯体厚度增加使得腹杆与面板夹角变大，芯体层密度增加(见式(2))，刚度增强，传递到背板的爆炸波能量增加，从而导致背板变形量增加；另一方面，厚度增加使得芯体腹杆变长，腹杆压缩距离增大，吸能更多。

图6 芯体厚度对PLSP抗爆性能指标的影响Fig.6 Effects of core thickness on blast-resistant indices of PLSP

其次，保持Hc和l不变，改变芯体腹杆截面边长tc，研究其对抗爆性能的影响，结果如图7所示。随着芯体腹杆变粗，ASEA基本呈线性下降。这是由于芯体腹杆较粗，上面板厚度相对较小时，芯体腹杆不能被充分压缩吸能。另一方面，腹杆变粗导致芯体相对密度增加，也会降低ASEA。此外，芯体腹杆过粗时面板成为主要吸能部件，易造成面板失效。与ASEA不同，MaxD随tc增大呈现先增大后减小的趋势，其原因在于当tc<2.1 mm时，背板主要呈现整体变形，随腹杆强度增加，芯体层刚度增加导致吸能减少，传递到背板的爆炸波能量增加，背板最大变形量增加；当tc>2.1 mm后，由于腹杆强度过大，在爆炸冲击下，芯体层并没有起到足够的缓冲作用，而是向下挤压与背板连接的节点处，导致背板出现局部变形，最大变形量反而减小。

图7 腹杆截面边长对PLSP抗爆性能指标的影响Fig.7 Effects of side length of lattice bar cross section on blast-resistant indices of PLSP

最后，保持Hc和tc不变，研究胞元底边长l的影响。为保证单胞结构完整性，设定l分别为42 mm，35 mm和30 mm，对应整个面板中单胞阵列数分别为10，12及14，腹杆与面板的夹角α则分别为40 °，45 °和50 °。仿真得到的各夹芯板变形模式近似，三种构型夹芯板的吸能和背板最大变形量时程曲线对比,如图8所示。从图8可知，胞元底边长度对夹芯板抗爆性能影响明显，一定范围内，胞元底边长减小，夹角α增大，单胞数量增加，芯体变“密”，阻碍芯体腹杆充分压缩，吸能量减小；同时，腹杆与背板连接处节点数量增多，背板局部变形增大，导致背板整体变形减小，从而减小了背板最大变形量。当胞元底边长l=35 mm，芯体腹杆与面板的角度为45 °，阵列数为12时，背板变形量与结构吸能均居中，综合抗爆性能较好，可以此为基础进行夹芯板优化设计。

图8 芯体胞元底边长度对PLSP抗爆性能的影响Fig.8 Effects of bottom surface side length of unit cell on blast-resistance of PLSP

3 夹芯板抗爆性能多目标与可靠性优化

3.1 优化问题定义

考虑将PLSP应用于工程实际，对其进行优化设计。以军车防雷应用为例，夹芯板附加于乘员舱底部，保护车内乘员不受地雷爆炸伤害。由于夹芯板背板厚度主要取决于车体底板，优化时将背板厚度设为定值tb=2 mm。在l=35 mm时的结构排布基础上，以上面板厚度tf，芯体腹杆截面尺寸tc和芯体厚度Hc为设计变量，以面比吸能ASEA和背板最大变形量MaxD为目标函数，并且以夹芯板总重量为约束条件，定义PLSP多目标优化设计问题，其数学模型为

(3)

现实中，夹芯板所承受的爆炸载荷往往是不确定的，不同爆炸载荷下夹芯板响应差异很大。设计时如果忽略载荷不确定性，可能导致结构失效，降低夹芯板防爆性能设计的可靠性。为此，本文基于加权方法对夹芯板抗爆性能进行可靠性优化设计，通过给不同载荷赋予一个概率值，计算综合各种设定载荷的目标函数期望值，其他约束条件不变。通过加权计算的面比吸能和背板最大变形量的期望值分别为[16]

(4)

(5)

式中：ASEAc和MaxDc分别为多种爆炸载荷下结构ASEA和MaxD的综合加权值；ASEAi和MaxDi则分别代表第i种载荷下夹芯板的面比吸能和背板最大变形量；Wi为第i种载荷的发生概率，且有如下关系式

(6)

为方便讨论，指定W1=W2=W3=1/3，寻求该概率分配下的设计最优解，其中W1,W2，W3分别代表200 g，300 g和400 g TNT当量爆炸载荷发生的概率。值得说明的是，此处的概率虽由人为设定，但不影响本文所提出的优化设计方法的一般性。

3.2 多目标优化结果

采用Sobol试验设计(Design of Experiments,DOE)方法在设计域中抽取200个设计点，利用ANSYS APDL语言建立参数化仿真模型，并通过优化软件集成流程自动完成不同载荷下200个DOE点的有限元分析，得到背板最大变形量MaxD和结构面比吸能ASEA，组成各载荷下的夹芯板优化初始DOE表。用于可靠性设计的初始种群抗爆性能指标是各种设定载荷下MaxD和ASEA的期望值，由式(4)、式(5)计算得到。建立径向基函数(Radial Basis Function，RBF)响应面[17]，并预先在初始DOE点中留出5个测试点，进行响应面精度测试。表4为5个测试点的MaxD与ASEA仿真值与响应面预测值，以及预测值相对误差。最大相对误差仅为1.6%，说明所建立的响应面模型预测精度较高，可用于夹芯板的抗爆性多目标优化设计。

表4 5个测试点的仿真值、响应面预测值以及预测值相对误差Tab.4 FEA and RBF response surface results of 5 testing points

基于RBF响应面，采用改进的非支配排序遗传算法(NSGA-II)分别对三种爆炸当量(200 g，300 g和400 g TNT)下的PLSP进行优化设计，遗传代数设为100，变异系数0.9，优化流程如图9所示。计算得到对应不同载荷的式(3)中多目标优化问题的Pareto前沿，如图10所示。提供了满足不同设计需求的非受控最优解集。由图10可知，三种载荷下夹芯板的两个抗爆性能指标MaxD和ASEA无法兼顾，一个指标改善(恶化)的同时会导致另一个指标恶化(改善)。另外，对比三条Pareto前沿曲线可以看出，爆炸当量的增加会导致ASEA和MaxD同时增大，从而使相应的Pareto前沿向性能空间(-ASEAvs.MaxD)右下方移动。

图9 夹芯板抗爆性能多目标优化流程图Fig.9 Flowchart of multi-objective optimization of PLSP

图10 不同爆炸当量下PLSP的多目标优化Pareto前沿Fig.10 Pareto fronts for MDO of PLSP under blast loads with three intensities

表5列出了三种爆炸当量下PLSP的单目标理想最优解，即使得MaxD最小的解和使ASEA最大的解。可以看出，对应MaxD最小和ASEA最大的最优构型不同。三种载荷下最大ASEA对应的芯体厚度Hc和上面板厚度tf分别为各自取值范围的上限(Hc=30 mm)和下限(tf=1 mm)。前者是由于芯体腹杆最长时压缩空间最大，吸能增加；后者是由于上面板与芯体是主要的吸能组件，上面板“软”有利于两者均变形吸能。而对应不同载荷的腹杆截面边长大致相同，说明tc和tf之间存在一个与外载荷无关的合理比值，使得夹芯板总体吸能水平最高，本例中，此比值约为1.1。另一方面，最小MaxD对应tf上限值，说明上面板“硬”有利于减小变形量；此外，tf与tc随载荷强度的不同变化较大，说明载荷变化对最优解影响较大，即最优解的可靠性较差。

表5 三种爆炸载荷下PLSP的单目标理想最优解Tab.5 Single objective ideal optimal solution of PLSP under three explosive loads

3.3 可靠性优化结果

考虑载荷不确定性对夹芯板进行可靠性优化。如前所述，根据三种设定爆炸载荷下200个DOE点的仿真结果，按照W1=W2=W3=1/3计算得到考虑载荷不确定性的优化目标期望值ASEAc和MaxDc，并以此为训练样本建立RBF响应面模型。进而，以DOE设计作为初始种群，采用NSGA-II算法完成夹芯板抗爆性能可靠性优化，遗传代数设为100，变异系数设为0.9。

夹芯板可靠性优化设计的Pareto前沿如图11所示。由图可知，MaxDc和ASEAc之间仍存在无法协同的矛盾，但Pareto前沿提供了考虑载荷不确定性的非受控(Non-dominated)解集。表6列出了考虑载荷不确定性的防爆性能单目标理想最优解。与单一载荷下的单目标最优设计对比可以看出，考虑载荷不确定性的可靠性设计中变量最优值和性能函数值没有取到上下限和极值，这意味着设计结果为了抗爆性能的可靠性而选择了妥协和折衷。

图11 考虑载荷不确定性的PLSP多目标优化Pareto前沿Fig.11 Pareto front for MDO of PLSP under blast load uncertainty

表6 考虑载荷不确定性的PLSP的单目标理想最优解Tab.6 Single objective ideal optimal solution of the PLSP under uncertain blast load

4 结 论

(1)在保证计算精度的前提下合理使用简化模型能大幅度减小仿真规模，缩短计算时间，为结构优化设计提供便利；在PLSP抗爆性能分析与优化中采用芯体梁单元简化模型可达到上述目的。

(2)PLSP芯体关键几何参数，包括：芯体厚度、腹杆截面边长和胞元底边长对其抗爆性能影响很大；其中，芯体厚度和腹杆截面边长对ASEA的影响是线性单调的，但对MaxD的影响是非线性的。

(3)以关键结构尺寸为设计变量，以MaxD和ASEA为目标函数，基于RBF响应面模型和NSGA-II可以实现PLSP抗爆性多目标优化设计，得到Pareto最优解集，为设计方案选择提供基础。不同爆炸载荷下夹芯板Pareto前沿不同，但两个抗爆性评价指标MaxD和ASEA均无法兼顾。

(4)通过设定不同载荷的发生概率，利用加权方法定义夹芯板MaxD和ASEA的期望值，可以实现考虑载荷不确定性的PLSP抗爆性能可靠性优化。可靠性最优设计有别于确定性载荷下的最优设计，一定程度上选择了折衷方案。

值得说明的是，本文设定的载荷权重系数主要为说明可靠性优化方法，工程实际中应根据爆炸载荷强度概率分布研究确定。