高等数学在运筹学中的应用

王健

1 引言

现如今运筹学作为一门独立学科与高等数学同为数学专业中的重要分支，高等数学为运筹学的发展提供了理论基础与方法论，而运筹学也为高等数学的具体应用提供了有效平台。对于经济类专业人才来说，将高等数学知识应用在运筹学中可以更加深入、透彻地理解运筹学方法，为重要决策的制定提供辅助支持。

2 高等数学与运筹学的相关性分析

高等数学与运筹学均为高等教育体系下的独立学科，也是数学专业领域中的重要分支之一。高等数学是运筹学的重要理论来源与方法论基础，其高等代数、数学分析、几何学、概率论与数理统计等知识均可用于深化对运筹学方法的理解与掌握，用以将运筹学中的具体问题进行抽象概括、应用与表达，提升运筹学的实际应用价值。而运筹学为高等数学的具体应用搭建了良好的平台，将运筹学知识应用于经济管理中实现对人力、物力等资源的统筹管理与调配，为重要决策的制定提供辅助支持，提升管理的针对性与实际效果。二者的关系可以总结为：高等数学是运筹学的基础，运筹学是高等数学的具体应用。

3 高等数学在运筹学中的具体应用策略探讨

3.1 线性代数的具体应用

3.1.1 方程组

数学建模在运筹学中具有重要应用价值，通过调查问题、收集数据，掌握问题的本质特征及其内在规律，进而围绕问题的主要矛盾作为切入点提出大胆合理的假设，经由抽象转化后构建用以表示问题的数量关系，进而利用数学技巧与方法解决实际问题。在此过程中，方程组是这类数学模型的主要呈现形式，通过将实际问题抽象、简化成为数学模型，可以进一步提高问题研究的严谨性、便于问题的解决。在运筹学中，由可控决策变量或不可控决策变量构成数学模型，借助相关条件、目标实现对三者关系的度量，数学模型能否正确被认知是求解运筹学问题的重要基础，因此务必要注重加强方程组知识的运用，依托线性方程组实现对运筹学中的动态规划、对策论、排队论等问题的有效解决。

3.1.2 矩阵

通常解答运筹学问题所涉及到的方程组数量较多，利用矩阵的性质与方法能够使数学模型得以直观、简明呈现出来。例如当运筹学中的数学模型涵盖了线性规划知识时，利用矩阵可以更好地求取最优解;当数学模型涉及到分配问题时，可以通过矩阵的行列变化求得答案;倘若数学模型涉及到图论问题，恰好迎合了矩阵中的求解最短距离方法。具体来说，其一可以应用分块矩阵知识求取线性规划问题的最优解，将矩阵标准形转化为分块矩阵，利用单纯形表求得最优解;其二可以利用矩阵的初等变换知识，先将矩阵转化为单纯形表，求得方程基础解系，继而获取到可行解、最优解，利用迭代方法完成矩阵行的初等变换。

3.2 几何学在描述具体问题中的应用

高等数学中的几何学知识用以表示空间中的几何形式与数量关系，借助坐标描述图形形状与特点，将其应用于运筹学中主要描述内容并求解。以下题为例：某住宅商开发商拟定在一块区域内选择开发位置，共有三处地点可供其进行选择，分别为城区内a1、城区外a2以及城区交界处a3，且在开发过程中还有可能面临修建地铁的情况，分别为修建地铁策略b1和不修建地铁策略b2，求解开发商的最优策略。其中开发商的利益矩阵表示为：

其中y1代指开发商的收入。进而将以上三个表达式转化为图形，采取对策法求得最优解为a3，即开发商应将开发选址设在城区交界处，可以獲取到收益的最大值。

3.3 概率论与数理统计在随机运筹学中的运用

随机运筹学是运筹学的主要分支，由对策论、系统可靠理论、排队论、不确定决策理论等多项内容组成，这些内容的学习与高等数学中的概率论、数理统计之间存在密切的关联，奠定了随机运筹学的重要基础。以排队论为例，这类问题在现实生活中普遍存在，诸如医院中缴费窗口设置的数量、超市中收银台设置的数量等，在解答此类问题时需要预先做出合理假设，假设顾客到达的间隔时间的分布类型，将其假定为负指数分布，随即利用高等数学中的概率论、数理统计中的分布检验知识进行判断，评判其是否属于负指数分布，并得出具体数值结果。具体来说，可以从以下两个角度进行概率论与数理统计的应用：

其一是期望问题，例如针对动态规划知识中的随机采购问题进行求解，假设在单位时间段内某商品的价格分别为a、b、c，其被选中的概率分别为x、y、z，进而获取到采购商的期望价格。诸如此类问题还包含储存策略等，可通过计算收益的期望最大或损失的期望最小获取到求解结果。

其二是利用概率论与数理统计的性质进行求解，以最经典的报童问题为例，该问题被划归到储存论范畴当中，假设报童每天卖出x份报纸，已知r的性质为一个离散的随机变量，其概率为P（r），且满足概率论中的点击并拖拽以移动这一性质，并假设报童每天准备报纸的总数量为Q。在解答这道问题时，需要从两个角度进行思考，其一是报纸畅销的情况，当市场上供不应求时，采取失去销售机会、少赚钱的方式进行相应求解;其二是报纸陷入滞销局面，当市场上供过于求时，应采取损失期望最小的方式进行求解。此外，在针对连续随机变量问题进行求解时，也可以利用高等数学中概率论的知识进行求解。

3.4 数学分析在运筹学中的运用

最值问题在运筹学中的应用范畴最广，当求解最短距离问题、最大收益问题、最低资源消耗等问题时便涉及到最值问题的求解，对此可以利用高等数学中的数学分析问题进行解答。通常应将被求解的问题转化为函数问题，通过求取函数的最值得出最优策略。还可以利用导数方法求取最值问题，将被求解函数转化为一阶导数性质，设求导后的等式值为0，即可求得该函数的极大值与极小值，随后通过针对一阶求导后的函数进行二阶导数的求解，将极值代入二阶导数函数内，便可以针对极值的正确与否进行判断，在此过程中需特别考虑到自变量取值范围问题，保证求取结果的准确性。此外，还可以利用数学模型作为辅助工具，将运筹学问题转化为高等数学中的最值问题，进而求得最终解;倘若该数学模型内涵盖多个自变量，还可以利用高等数学中的多元函数知识，借助偏导数的方式进行求解。

由此便可以判断拉格朗日乘子点击并拖拽以移动为该线性规划问题对偶规划的最优解。将其应用在经济领域主要表现为“影子价格”，用以衡量市场经济条件下的资源状况，倘若影子价格高于资源市场价格，企业应实施买进策略;当影子价格低于资源市场价格时，则应将现有资源卖出，用以发挥对市场的调节作用。

4 结论

在当前的高校教育体系下，高等数学作为一门基础性学科能够为大学生的后续专业课程学习与未来发展打下良好基础，也为运筹学的实践应用提供重要理论与方法论支持。因此我们务必要强化高等数学与运筹学知识的融汇贯通，利用高等数学知识与思维解决运筹学问题，进一步强化学科应用价值。

（作者单位：上海师范大学奉贤校区）