例谈一类抽象函数的“周期性”

李超

函数是高中数学的重要知识，也是高考考察的重要内容.抽象函数问题将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图象集于一身，综合考察了函数基本概念、各类性质以及数形结合的数学思想，所以在高考中不断出现.通过调查发现，现阶段对于抽象函数的研究多集中以下几个方面：

1.通过赋值（数值、代数式），求函数在特定点的函数值、最值以及解析式，或判断函数的单调性、奇偶性以及周期性;

2.采取“模型函数”，将抽象函数具体化，并借助“模型函数”猜测函数所具有的性质，来研究函数相应性质;

3.构造可导抽象函数，利用导数来研究抽象函数的单调性，解决抽象不等式问题;

4.通过几类常见的抽象函数模型，研究抽象函数的周期性和对称性.

上述研究基本涵盖了抽象函数的各个知识点.但在今年高考中，出现了一类抽象函数，其表达形式与周期性的抽象表达形式相似但又不同.我们又该如何处理呢？下来我们先欣赏一下题目：

上述变换过程，与我们所熟知的“左加右减”，“上加下减”有所不同.我们“左加右减”，“上加下减”的变换法则是针对于两个不同函数之间的图象关系，而我们上述变换法则针对的是同一个函数之间内部函数值的关系，是函数f（x）在不同的点处的函数值的关系，两者截然不同.

以上通过对一道高考题的深入研究，层层递进，从特殊到一般探究出一类抽象函数“周期性”，综合考察了函数基本的定义域、值域、周期性以及数形结合的数学思想，这也体现出高考试题凝聚了众多专家的心血，其每一道题都有着自己的独特的背景意义.这就要求我们在平时的教学过程中，深入研究，才会有意想不到的收获.

参考文献

[1] 赵春祥. 赋值法在抽象函数中的应用[J].中学数学，2003，10.

[2] 龍志明. 联想 “模型函数 ”破解抽象函数题[J]. 中学数学杂志（高中）， 2007，1.

[3] 虞懿. 例析构造可导抽象函数解题[J]. 中学数学教学， 2016，1.

[4] 严循跃. 例谈抽象函数的周期性[J].中学数学教学， 2015，3.