无限滞后测度泛函微分方程的解关于参数的可微性

李宝麟, 徐志燕

(西北师范大学 数学与统计学院, 甘肃 兰州 730070)

1 预备知识

Slavík[1]研究了一类无限滞后测度泛函微分方程

(1)

并且证明在一定条件下此方程与广义常微分方程的等价关系.在文献[2]中,方程(1)是测度微分方程的积分形式:

Dx=G(s,xs)Dg,

(2)

其中,g(s)是不减函数,Dx、Dg是函数x和g的分布导数.方程(1)右端是Kurzweil-Stieltjes积分.文献[3]研究了无限滞后测度泛函微分方程的解关于初值条件的可微性.

文献[4]研究了广义常微分方程的解关于初值条件和参数的可微性.

本文在文献[1,4]的基础上,借助无限滞后测度泛函微分方程与广义常微分方程的等价关系,考虑如下方程

(3)

的解关于参数的可微性.

方程(3)等价于积分方程

(4)

其中,x是取值在Rn上的函数,符号xs:(-∞,0]→Rn,xs(τ)=x(s+τ)表示滞后的长度,λ0∈Rl,ρ>0,Λ={λ∈Rl;‖λ-λ0‖<ρ}.

无限滞后测度泛函微分方程满足的相空间H0⊂G((-∞,0],Rn)是赋范线性空间,其中的范数为‖·‖*,假设赋范线性空间H0满足下列条件[1]:

(H1)H0是完备的;

(H2) 如果x∈H0且t<0,则xt∈H0;

(H3) 存在有界函数k1:(-∞,0]→R+使得如果x∈H0且t≤0,则‖x(t)‖≤k1(t)‖x‖*;

(H4) 存在一个函数k2:(0,∞)→[1,∞)使得如果σ>0,x(t)∈H0且t∈[-σ,0],则

(H5) 存在有界函数k3:(-∞,0]→R+使得如果x∈H0且t≤0,则

‖xt‖*≤k3(t)‖x‖*;

例 1.1[1]对于赋范线性空间H0满足条件(H1)～(H6)的最简单的例子是有界正则函数空间BG((-∞,0],Rn),它包含了(-∞,0]上的全体有界正则函数,并且赋予上确界范数

y∈BG((-∞,0],Rn).

可以直接验证条件(H1)～(H5)是满足的;特别地,对任意的t≤0,k1(t)=k3(t)=1且对任意的σ>0,k2(σ)=1时,条件(H3)～(H5)是成立的.由文献[1]中引理2.3可知,条件(H6)成立.

设X是Banach空间,O⊂X是一个开子集.f:P×[t0,t0+σ]×Λ→Rn满足如下条件:

(A2) 存在1个关于g的Kurzweil-Stieltjies可积函数M:[t0,t0+σ]→R+,满足

其中(x,λ)∈O×Λ,[a,b]⊆[t0,t0+σ];

(A3) 存在1个关于g的Kurzweil-Stieltjies可积函数L:[t0,t0+σ]→R+,满足

其中,(x,λ1),(y,λ2)∈O×Λ,[a,b]⊆[t0,t0+σ](假设右端积分是存在的).g:[t0,t0+σ]→R是不减函数,P={xt:x∈O,t∈[t0,t0+σ]}⊂H0,H0⊂G((-∞,0],Rn),H0是满足条件(H1)～(H6)的Banach空间,G((-∞,0],Rn)是正则函数f:(-∞,0]→Rn构成的空间,称1个函数f:[a,b]→Rn是正则函数,即极限

均存在.

本文利用广义常微分方程的解关于参数的可微性讨论无限滞后测度泛函微分方程(3)的解关于参数的可微性.

2 预备知识

τi∈[αi-1,αi]⊂(τi-δ(τi),τi+δ(τi)),

定义 2.1[4]1个矩阵值函数F:[a,b]×[a,b]→Rn×m称为在[a,b]上Kurzweil可积的,如果存在1个矩阵I∈Rn×m,使得对任意的ε>0,存在定义在[a,b]上的正值函数δ,使得对[a,b]上的任何δ-精细分化D,有

(5)

特别地,当f:[a,b]→Rn且g:[a,b]→R,F(τ,t)=f(τ)g(t)时,记作

定义 2.2[4]设Ω⊂X×R,(x,t)∈Ω,称函数x:[a,b]→X为广义常微分方程

(6)

在区间[a,b]⊂R上的解,是指对所有的(x(t),t)∈Ω,且对每个s1,s2∈[a,b],有

成立.

定义 2.3[1]设X是1个Banach空间,O⊂X,称F:O×[t0,t0+σ]→X属于F(O×[t0,t0+σ],h,k),如果F满足下列条件:

(F1) 存在1个不减函数h:[t0,t0+σ]→R,使得F:O×[t0,t0+σ]→X满足对任意的x∈O,s1,s2∈[t0,t0+σ]有

‖F(x,s2)-F(x,s1)‖≤

|h(s2)-h(s1)|.

(7)

(F2) 存在1个不减函数k:[t0,t0+σ]→R,使得F:O×[t0,t0+σ]→X满足对任意的x,y∈O,s1,s2∈[t0,t0+σ]有

‖F(x,s2)-F(x,s1)-F(y,s2)+F(y,s1)‖≤

‖x-y‖·|k(s2)-k(s1)|.

(8)

引理 2.2[4]设函数U:[a,b]×[a,b]→Rn×n是Kurzweil可积函数,假设存在函数f:[a,b]→Rn和g:[a,b]→R,满足f是正则的,g是不减的,且

‖U(τ,t)-U(τ,s)‖≤

f(τ)|g(t)-g(s)|,τ,t,s∈[a,b],

(9)

则

引理 2.3[5]设U:[a,b]×[a,b]→Rn×m是Kurzweil可积的,u:[a,b]→Rn×m可表示为

s∈[a,b].

(10)

如果U关于第二个变元是正则的,则u也是正则的,且满足

u(τ+)=u(τ)+U(τ,τ+)-U(τ,τ),

τ∈[a,b),

u(τ-)=u(τ)+U(τ,τ-)-U(τ,τ),

τ∈(a,b].

此外,如果存在1个不减函数h:[a,b]→R使得

‖U(τ,t)-U(τ,s)‖≤|h(t)-h(s)|,

τ,t,s∈[a,b],

则

‖u(t)-u(s)‖≤|h(t)-h(s)|,

t,s∈[a,b].

引理 2.4[5]设h:[a,b]→[0,+∞)是不减的左连续函数,k>0,l≥0,如果ψ:[a,b]→[0,+∞)是有界的且满足

则对任意的ξ∈[a,b],有ψ(ξ)≤kel(h(ξ)-h(a)).

引理 2.5[4]设F:[a,b]×[a,b]→Rn×n满足(7)式,令y,z:[a,b]→Rn使得

s∈[a,b],

则z在[a,b]上是正则的.

引理 2.6[4]设F:[a,b]×[a,b]→Rn×n是Kurzweil可积的,且存在一个左连续函数h,使得F满足(7)式,则对任意的z0∈Rn,初值问题

(11)

有唯一解z:[a,b]→Rn.

引理 2.7[1]如果空间H0⊂G((-∞,0],Rn)满足条件(H1)～(H6),则对于任意的a∈R,下列条件成立:

1)Ha是完备的;

2) 如果x∈Ha且t≤a,则xt∈H0;

3) 如果t≤a且x∈Ha,则‖x(t)‖≤k1(t-a)‖x‖*;

4) 如果σ>0,且函数x∈Ha+σ在[a,a+σ]中取值,则

5) 如果x∈Ha+σ且t≤a+σ,则‖xt‖*≤k3(t-a-σ)‖x‖*;

设B=O×Λ,且赋予L1范数.当(x,λ)∈B,则

‖x‖+‖λ‖,

因此定义2.3可重新叙述为定义2.4.

定义 2.4[6]设X是1个Banach空间,O⊂X,称F:O×[t0,t0+σ]×Λ→X属于F(O×[t0,t0+σ]×Λ,h,k),如果满足下列条件:

(F1) 存在1个不减函数h:[t0,t0+σ]→R,使得F:O×[t0,t0+σ]×Λ→X满足对任意的(x,λ)∈B,s1,s2∈[t0,t0+σ]有

‖F(x,s2,λ)-F(x,s1,λ)‖≤

|h(s2)-h(s1)|.

(12)

(F2) 存在1个不减函数k:[t0,t0+σ]→R,使得F:O×[t0,t0+σ]×Λ→X满足对任意的(x,λ1),(y,λ2)∈B,s1,s2∈[t0,t0+σ]有

‖F(x,s2,λ1)-F(x,s1,λ1)-

F(y,s2,λ2)+F(y,s1,λ2)‖≤(‖x-y‖+

‖λ1-λ2‖)·|k(s2)-k(s1)|.

(13)

3 主要结果

定理 3.1设O是Ht0+σ的1个子集,t≥t0,P={xt:x∈O,t∈[t0,t0+σ]},φ∈P×Λ,g:[t0,t0+σ]→R是不减函数,f:P×[t0,t0+σ]×Λ→Rn满足条件(A1)～(A3),F:O×[t0,t0+σ]×Λ→G((-∞,t0+σ],Rn)由(16)式给出且在Ht0+σ中取值.如果(y,λ)∈O×Λ是测度泛函微分方程

的一个解,则如下形式的函数(x,λ):[t0,t0+σ]×Rl→O×Λ,

(x(t,λ),λ)(v)=

是广义常微分方程

t∈[t0,t0+σ],λ∈Λ

(15)

的一个解,其中x∈O,t∈[t0,t0+σ],λ∈Λ,F:O×[t0,t0+σ]×Λ→G((-∞,t0+σ],Rn)有

F(x,t,λ)(v)=

的一个解.

是广义常微分方程

的一个解(详细证明过程见文献[1]中定理3.6),即定理得证.

定理 3.2设f:P×[t0,t0+σ]×Λ→Rn是连续函数,其导数fx、fλ存在且在P×[t0,t0+σ]×Λ上连续,并且满足条件(A1)～(A3),其中P={xt:x∈O,t∈[t0,t0+σ]}⊂H0,H0⊂G((-∞,0],Rn)是满足条件(H1)～(H6)的Banach空间,t0∈R,σ>0,O⊂Ht0+σ.如果g:[t0,t0+σ]→R是一个不减函数,且对于任意的λ∈Λ,λ0∈Rl,ρ>0,Λ={λ∈Rl;‖λ-λ0‖<ρ},x0:Λ→O,初值问题(3)等价于广义常微分方程

λ∈Λ,x(t0)=x0(λ),

(17)

且(17)式在[t0,t0+σ]×Λ上存在唯一解.令x(t,λ)是(17)式的解在t∈[t0,t0+σ]上的值.

进一步,如果下列条件成立:

2) 函数x0在λ0处可微.

Fλ(x(τ,λ0),t,λ)],s∈[t0,t0+σ]

(18)

的唯一解.

证明根据假设,对于任意的x,y∈O,t∈[t0,t0+σ],t0≤t1

‖fx(xt,t,λ)‖≤A1,

‖fx(xt,t)-fx(yt,t)‖≤A2(‖x-y‖*)×

‖fλ(xt,t,λ)‖≤B1,

‖fλ(xt,t)-fλ(yt,t)‖≤B2(‖x-y‖*)×

Fx(x,t2,λ)(τ)-Fx(x,t1,λ)(τ)=

对于任意的x∈O,由引理2.7的第四条可得:

‖Fx(x,t2,λ)-Fx(x,t1,λ)‖*≤

Fx(x,t1,λ)(τ)‖=

同理可得

‖Fλ(x,t2,λ)-Fλ(x,t1,λ)‖*≤

另外,设z1=(x,λ1),z2=(y,λ2),且z1,z2∈O×Λ,则

‖Fx(x,t2,λ1)-Fx(x,t1,λ1)-

Fx(y,t2,λ2)+Fx(y,t1,λ2)‖*=

‖Fx(z1,t2)-Fx(z1,t1)-

Fx(z2,t2)+Fx(z2,t1)‖*≤

Fx(z1,t1)(τ)-Fx(z2,t2)(τ)+

Fx(z2,t1)(τ)‖=

由引理2.7的第五条可得,上式等于

(k(t2)-k(t1))(‖x-y‖*+‖λ1-λ2‖*).

同理有

‖Fλ(x,t2,λ1)-Fλ(x,t1,λ1)-

Fλ(y,t2,λ2)+Fλ(y,t1,λ2)‖*≤

(k(t2)-k(t1))(‖x-y‖*+‖λ1-λ2‖*),

其中

L(s)=max(A2,B2),

即证明了

Fx,Fλ∈F(O×[t0,t0+σ]×Λ,h,k).

由于O×[t0,t0+σ]×Λ是闭的,根据向量值函数的平均值定理[4],且Fx,Fλ∈F(O×[t0,t0+σ]×Λ,h,k),可得

‖F(x,t2,λ1)-F(x,t1,λ1)-

F(y,t2,λ2)+F(y,t1,λ2)‖=

|h(t2)-h(t1)|·

(‖x-y‖+‖λ1-λ2‖),

(19)

其中,z1=(x,λ1),z2=(y,λ2)且z1,z2∈O×Λ.

根据假设有

(x(s,λ),λ)=(x0(λ),λ)+

λ∈Λ,s∈[t0,t0+σ].

由引理2.3可知,在区间[t0,t0+σ]上,每个解x都是正则的左连续函数.如果Δλ∈Rl使得‖Δλ‖<ρ,则

‖x(s,λ0+Δλ)-x(s,λ0)‖+‖λ1-λ2‖≤

(‖x0(λ0+Δλ)-x0(λ0)‖+

其中

J(τ,t,λ)=F(x(τ,λ0+Δλ),t,λ)-

F(x(τ,λ0),t,λ).

由(19)式可得

‖J(τ,t1,λ1)-J(τ,t2,λ2)‖=

‖F(x(τ,λ0+Δλ),t1,λ1)-

F(x(τ,λ0),t1,λ2)-

F(x(τ,λ0+Δλ),t2,λ1)+

F(x(τ,λ0),t2,λ2)‖≤(‖x(τ,λ0+Δλ)-

x(τ,λ0)‖+‖λ1-λ2‖)|h(t1)-h(t2)|.

由引理2.2,对于任意的s∈[t0,t0+σ],λ1,λ2∈Λ有

‖x(s,λ0+Δλ)-x(s,λ0)‖+

‖λ1-λ2‖≤

(‖x0(λ0+Δλ)-x0(λ0)‖+

‖λ1-λ2‖)+

‖λ1-λ2‖)dh(τ).

因此,利用引理2.4,可得

‖x(s,λ0+Δλ)-x(s,λ0)‖+

‖λ1-λ2‖≤

(‖x0(λ0+Δλ)-x0(λ0)‖+

‖λ1-λ2‖)eh(t0+σ)-h(t0),

s∈[t0,t0+σ].

从而,对所有的s∈[t0,t0+σ],λ1,λ2∈Λ.当Δλ→0,‖λ1-λ2‖→0时,(x(s,λ0+Δλ),λ1)→(x(s,λ0),λ2).

令A(τ,t,λ)=(Fx(x(τ,λ0),t,λ),Fλ(x(τ,λ0),t,λ)),因为Fx,Fλ∈F(O×[t0,t0+σ]×Λ,h,k),则A(τ,t,λ)满足(19)式.由引理2.6可知,(18)式存在唯一解Z:O×Λ→Rn(详细证明见文献[4]中定理4.4).由引理2.5可知,解Z是正则的,因此存在一个M>0,对于任意的t∈[t0,t0+σ],满足‖Z(t)‖≤M.

对于任意的Δλ∈Rl当‖Δλ‖<ρ,设

φ(r,Δλ)=

r∈[t0,t0+σ],λ1,λ2∈Λ.

下面证明对所有的r∈[t0,t0+σ],λ∈Λ,若Δλ→0,‖λ1-λ2‖→0,则φ(r,Δλ)→0.

对于任意的ε>0,存在δ>0使得如果Δλ∈Rl,‖Δλ‖<ρ,则

‖(x(t,λ0+Δλ),λ1)-(x(t,λ0),λ2)‖<

ε,t∈[t0,t0+σ]

及

从而

φ(t0,Δλ)=

φ(r,Δλ)-φ(t0,Δλ)=

其中

W(τ,t,λ)=

W(τ,t,λ1)-W(τ,s,λ2)=

令

F(1)=

(Fx(x(τ,λ0),t,λ0),Fλ(x(τ,λ0),t,λ0)),

F(2)=

(Fx(x(τ,λ0),s,λ0),Fλ(x(τ,λ0),s,λ0)),

则

‖W(τ,t,λ1)-W(τ,s,λ2)‖≤

因为函数F(x,t,λ)在O×[t0,t0+σ]×Λ上相对于(x,λ)是连续可微的,并且定义φ(r,Δλ),对于任意的ε>0,t,s∈[t0,t0+σ],可得

‖W(τ,t,λ1)-W(τ,s,λ2)‖≤2ε×

‖F(1)-F(2)‖‖φ(τ,Δλ)‖≤2ε×

因此有(利用Fx,Fλ∈F(O×[t0,t0+σ]×Λ,h,k))

‖W(τ,t,λ1)-W(τ,s,λ2)‖≤

2ε(‖φ(τ,Δλ)‖+M)+

2|h(t)-h(s)|‖φ(τ,Δλ)‖≤

2ε(‖φ(τ,Δλ)‖+M)+

2|h(t0+σ)-h(t0)|‖φ(τ,Δλ)‖,

从而,利用三角不等式得

‖φ(r,Δλ)‖≤‖φ(r,Δλ)-φ(t0,Δλ)‖+

2|h(t0+σ)-h(t0)|‖φ(τ,Δλ)‖)dτ≤

ε(2Mσ+1)+2(ε+(h(t0+σ)-

由引理2.4可得

‖φ(r,Δλ)‖≤ε(2Mσ+1)e2(ε+(h(t0+σ)-h(t0)))σ.

对于任意的r∈[t0,t0+σ],λ∈Λ.当ε→0+,如果Δλ→0,‖λ1-λ2‖→0,则φ(r,Δλ)→0.证毕.