加权空间中带乘性噪声的随机分数阶非自治Ginzburg-Landau方程

王云肖, 舒 级, 杨 袁, 李 倩, 汪春江

(四川师范大学 数学科学学院, 四川 成都 610066)

1 引言及预备知识

近年来,在物理、生物、化学等领域关于分数阶偏微分方程已被广泛研究与应用,例如分数阶Schrödinger方程[1-3]、分数阶Landau-Lifshitz方程、分数阶Landau-Lifshitz-Maxwell方程和分数阶Ginzburg-Landau方程[4-7].

分数阶Ginzburg-Landau方程能在分形色散的介质中描述动力过程.文献[8-12]讨论了关于确定性的Ginzburg-Landau方程,并讨论了其长时间行为以及分数阶Ginzburg-Landau方程的适定性和动力学行为.对于随机分数阶Ginzburg-Landau方程,文献[13-18]讨论了其渐近动力学和随机吸引子的存在性.无界区域中以及非自治的情况在文献[19-21]中有所介绍.由于L2和L2×L2空间具有平移不变性,得到的解不包含行波解,从而就遗漏了一些解.因此,选取更大的相空间使其包含行波解等其他重要的解,同时又要保证吸引子的存在性,其中一个难点就是得到解的渐近紧性,渐近紧性可以用来得到紧吸收集的存在性.因此,需要在加权空间中讨论其随机吸引子[22-23].

本文考虑如下加权空间中带乘性噪声的随机分数阶非自治Ginzburg-Landau方程

du=[-(λ+iβ1)(-Δ)αu-

(κ+iβ2)|u|2σu+δu+g(x,t)]dt+

uεh(x)dW(t),x∈Rn,t>τ,

(1)

具有初始条件

u(x,τ)=uτ(x),x∈Rn,

t>τ,τ∈R,

(2)

首先给出随机动力系统的一些相关知识.若(Ω,F,P)是一个概率空间,{θ:Ω→Ω},t∈R+是一簇保测度变换,并且映射(t,ω)|→θtω是可测的,θ0=IX,θt+s=θt·θs,其中,s,t∈R,则(θt)t∈T是一个流,((Ω,F,P),(θt)t∈T)是一个可测动力系.

定义 1[14]设(X,d)是可分的距离空间,F是Borelσ-代数,θt是(Ω,F,P)对应的保测度变换,若可测映射

在X上满足：

1)S(0,ω)=IX;

2) 对任意的s,t∈R,ω∈Ω,有

S(t+s,ω)=S(t,θsω)∘S(s,ω),

其中∘ 代表复合算子;

3)S(t,ω):X→X是连续的；

那么称S是一个连续随机动力系统.

定义 2[14]给定一个随机集K,集合

称为K的Ω-极限集.

定义 3[17]若S是随机动力系统,存在随机紧集ω|→A(ω)满足以下条件:

1)A(ω)是严格不变的,即对于所有t>0,S(t,ω)A(ω)=A(θtω);

2)A(ω)吸引所有确定有界集B⊂X；

那么称A(ω)为S的随机吸引子.

定理 1[18]假设S是Polish空间上的随机动力系统,若存在紧集ω|→K(ω)吸收每一有界非随机集B∈X,那么集合

是S的随机吸引子.

接下来给出交换子估计的相关引理[15].

引理 1设u∈Lq,并且对于u的m阶导数为Dmu∈Lr,1≤q,r≤∞.对于Dju,0≤j

并有

引理 2假设S>0,并且p,p2,p3∈(1,∞).如果f,g∈S,并且

则有

‖f‖Hs,p3‖g‖p4),

C(‖▽f‖p1‖g‖Hs-1,p2+‖f‖Hs,p3‖g‖p4).

下面给出分数阶拉普拉斯算子和分数阶Sobolev空间[23].

令H2α(Rn)表示在标准α下这个完备Sobolev空间

根据定义(-Δ)α,有引理3.

引理 3若f,g∈H2α(Rn),则

其中α1和α2是非负的且α1+α2=α.

2 随机分数阶非自治Ginzburg-Landau方程的解及其对应的随机动力系统

给出在加权空间中对于随机分数阶非自治Ginzburg-Landau方程生成一个连续的随机动力系统.研究问题(1)和(2)的解在加权Sobolev空间下的一个加权函数

ξ(x)=(1+|x|2)-b,x∈Rn

其中{u:Rn→R}有界,且

且

ξβ(x)=(1+|βx|2)-b,x∈Rn,

且

规定t∈R,在R上定义一个转化θ1,t为

θ1,t=τ+t,τ∈R,

表示为

Ω=ω∈C(R,R):ω(0)=0.

接下来,考虑概率空间(Ω,F,P),F是由Ω中产生的Borelσ-代数,P是在(Ω,F)上对应的Wiener测度,同时对于时间变换定义为

θ2,tω(·)=ω(·+t)-ω(t),ω∈Ω,t∈R,

则(Ω,F,P,(θ2,t)t∈R)是度量动力系统.

接下来,讨论带有乘性噪声的随机分数阶非自治Ginzburg-Landau方程可以生成一个连续的随机动力系统.由于带有乘法噪声的非自治随机分数阶非自治Ginzburg-Landau方程可以简化为带有可以根据合适变化的随机参数的方程,则有

且有随机偏微分方程:

dy+ydt=dW(t),

z(θ2,tω)=h(x)y(θ2,tω),

e2σεz(θ2,tω)≤r(ω),

(3)

其中在P-a.e.ω∈Ω下r(ω)满足

(4)

因此,对于P-a.e.ω∈Ω有

(5)

令

v(t,τ,ω,v0)=u(t,τ,ω,u0)e-εz(θtω),

其中u(t,τ,ω,u0)是问题(1)和(2)的解,v(t,τ,ω,v0)满足

(κ+iβ2)e2σεz(θ2,tω)|v|2σv+δv+

g(x,t)e-εz(θ2,tω)+εz(θ2,tω)v,

(6)

初值条件

v0=u0e-εz(θ2,tω),x∈Rn,

且

γ<0.

φ(t,τ,ω,u0)=v(t,τ,ω,v0)=

u(t,τ,ω,u0)e-εz(θ2,tω).

φ(t,τ,ω,v0)=u(t,τ,ω,u0),

值得注意的是,这2个随机动力系统φ和φ是等价的.若φ有一随机吸引子,容易证得φ也有一随机吸引子.因此,仅仅需要考虑随机动力系统φ.

3 解的一致估计以及随机吸引子的存在

在此,对当τ

引理 4对于任何τ∈R,ω∈Ω,存在T(τ,ω,B)≥0,使得v(t,τ,ω,v0)满足

t≥T(τ,ω,B),

t≥T(τ,ω,B).

证明(6)式与ξβv作内积且取实部,有

(7)

首先,估计(7)式等号右边第二项,有

(8)

对于第一项和第三项,有

(9)

(10)

根据(8)～(10)式,有

(11)

(11)式两边同时乘eγt且在(τ-t,τ),t∈R+上积分,有

(12)

将ω替换为θ2,-τω,有

v(s,τ-t,θ2,-τω,vτ-t)|2dxds≤

则存在T=T(τ,ω,D)≥0,vτ-t∈D(τ-t,θ2,-tω)且D具有缓增性,有

e-γt‖vτ-t‖2≤1,t≥T,

t≥T(τ,ω,B).

通过以上不等式,有

t≥T(τ,ω,B).

证毕.

引理 5对于任何τ∈R,ω∈Ω,存在T(τ,ω,B)≥0,则解v(t,τ,ω,v0)满足

t≥T(τ,ω,B).

证明注意到eγs≥eγ(1-τ)对于所有s∈(τ-1,τ).因此,通过(13)式有

引理 6对任何τ∈R,ω∈Ω,存在T(τ,ω,B)≥0,则解v(t,τ,ω,v0)满足

t≥T(τ,ω,B).

证明(6)式与ξ(-Δ)αv作内积且取实部,有

e2σεz(θ2,tθ-τω)|v|2σv(-Δ)αvdx+

(14)

首先,估计(14)式等号右边第三项,有

(15)

|v|2σv(-Δ)αvdx|=

(16)

有

m=2(δ+εz(θ2,tω)+

令t≥0,t∈R,ω∈Ω.对(17)式在s∈[τ-1,τ]下进行积分,得到

(18)

将ω替换为θ2,-τω,得到

因此

证毕.

引理 7对任何τ∈R,ω∈Ω,存在T(τ,ω,B)≥0,则解v(t,τ,ω,v0)满足

证明有

m=2(δ+εz(θ2,tω)+

令t≥τ,t∈R,ω∈Ω.对(17)式在s∈[τ-t,τ]下进行积分,得到

且

因此

引理 8对任何τ∈R,ω∈Ω,存在T(τ,ω,B)≥0,则解v(t,τ,ω,v0)满足

t≥T(τ,ω,B).

证明通过引理7,将τ替换为t且t≥T1,有

引理 9对任何τ∈R,ω∈Ω,存在

且

R*=R*(τ,ω,ε)>0,

|v(τ,τ-t,θ2,-τω,vτ-t(θ-τω))|2dx≤η.

证明假设一光滑函数χ,对任何s≥0,使得0≤χ(s)≤1,有

(19)

首先,估计(19)式等号右边第一项,有

(20)

(21)

通过以上不等式有

通过引理4和引理6,存在T1=T1(B,ω)>0使得对所有t≥T1,有

(23)

(22)式两边同乘eγt,在(T1,t)上积分,使得对所有t≥T1有

(24)

将(24)式中ω替换为θ2,-τω,对所有t≥T1有

(25)

接下来,将对(25)式等号右边的每项进行估计.对第一项,将τ替换为T1且对引理4中将ω替换为θ2,-τω,有

(26)

因此,存在T2=T2(B,ω,ε)>T1使得对所有t≥T2,有

通过引理1,存在T3=T3(B,ω)>T1,将τ替换为t,对(25)式等号右边第二项,有

且

通过引理8,存在T4=T4(B,ω)>T1,对(25)式等号右边第四项,有

将s替换为t,得

对所有t≥T5和k≥R2,有

令

T*=T*(B,ω,ε)=max{T1,T2,T3,T4,T5}.

通过以上不等式,对所有t≥T*,k≥R*=max{R1,R2},有

这意味着对所有t≥T*和k≥R*,有

证毕.

接下来,证明在无界区域Rn中,由问题(6)生成的随机动力系统的随机吸引子的存在性.通过引理4,则D中φ有闭的随机吸收集.φ的D-拉回渐近紧被证明,其中会运用到尾估计.

φ(τn,tn,θ2,τn-tnω,vτ-t,n(θτn-tnω))

B={B(ω)}∈D,

且

v0,n(θτn-tnω)∈B(θτn-tnω),

其中tn→∞.

证明令τn,tn→∞,B={B(ω)}∈D且

v0,n(θ2,τn-tnω)∈B(θ2,τn-tnω).

根据引理4,ω∈Ω时,

φ(τn,tn,θ2,τn-tnω,v0,n(θ2,τn-tnω))→

根据引理4和引理8,存在

T1B=T0B(ω)+1

使得对所有t≥T1B,

(29)

令N2=N2(B,ω)充分大,当n≥N2时有tn≥T1B.根据(29)式,对所有n≥N2,有

(30)

令

通过嵌入

的紧实性,同(30)式,根据R*到子序列,

φ(τn,tn,θ2,τn-tnω,vτ-t,n(θ2,τn-tnω))→,

N3=N3(B,ω)

对所有n≥N3有

‖φ(τn,tn,θ2,τn-tnω,vτ-t,n(θ2,τn-tnω))-

(31)

R**=R**(ω)>0,

使得

(32)

令R′=max{R*,R**}和N′=max{N1,N3},则根据(28)～(30)式,对所有n≥N′,

‖φ(τn,tn,θ2,τn-tnω,vτ-t,n(θ2,τn-tnω))-

‖φ(τn,tn,θ2,τn-tnω,vτ-t,n(θ2,τn-tnω))-

由此可知

φ(τn,tn,θ2,τn-tnω,vτ-t,n(θ2,τn-tnω))→

根据定理1得: