五阶线性KdV方程的显式解

王宏伟, 李廷先, 袁 伟

(1. 安阳师范学院 数学与统计学院, 河南 安阳 455000; 2. 安阳师范学院 物理与电气工程学院, 河南 安阳 455000)

在研究浅液层中的重力毛细波和等离子体中的磁声传播问题时,Kawahara[1]得到了如下一类五阶KdV方程

ut+uxxx+uxxxxx+uux=0,

(1)

其中u=u(x,t)是未知函数.(1)式的Cauchy问题的研究已经取得了大量的成果.Cui等[2]首先在Hs(R)(s>-1)上证明了(1)式局部解的适定性,Wang等[3]利用Kenig等[4]KdV双线性估计方法改进了结果,把局部适定性结论推进到Hs(R)(s≥-7/5),随后,文献[5-6]通过一类[k;Z]乘子范数估计,在Hs(R)(s>-7/4)上证明了局部解的适定性,用I能量方法在Hs(R)(s≥-7/4)上证明了整体解的适定性.关于方程(1)初边值问题研究还没有相关结果.

色散波方程初边值问题的研究工作,最早的成果是由Fokas[7]、Bona等[8]、Colliander等[9]得到的.近年来,这类问题逐渐成为色散波方程研究领域的热点问题,可参见文献[10-12].本文将研究如下一类五阶线性KdV方程的初边值问题

(2)

利用Fokas[7]的一致变换方法(UTM),得到方程(2)解的一个积分表达式,为后续局部和整体适定性问题的研究奠定了基础.

1 显式解的推导过程

假定v(x,t)=eikx-ω(k)t是方程vt+vxxx+vxxxxx=0的一个解,代入方程可以得到五阶线性KdV方程的色散关系式ω(k)=i(k5-k3).下面分4步来推导方程(2)的显式解.

1.1 将方程(2)写成散度形式设u(x,t)是方程(2)的解,则

(e-ikx+ω(k)tu)t=ω(k)e-ikx+ω(k)tu+e-ikx+ω(k)tut=

ω(k)e-ikx+ω(k)tu+e-ikx+ω(k)t(-uxxx-uxxxxx+f)=

(ω(k)u+f)e-ikx+ω(k)t-[e-ikx+ω(k)t(uxx+uxxxx)]x-

ike-ikx+ω(k)t(uxx+uxxxx)=

(ω(k)u+f)e-ikx+ω(k)t-[e-ikx+ω(k)t(uxx+uxxxx)]x-

[ike-ikx+ω(k)t(ux+uxxx)]x-

k2e-ikx+ω(k)t(ux+uxxx)=e-ikx+ω(k)tf-

[e-ikx+ω(k)t(uxxxx+ikuxxx+(1-k2)uxx)]x-

[e-ikx+ω(k)t(ik(1-k2)ux+k2(k2-1)u)]x. (3)

(3)式就是和(2)式等价的散度形式的方程,把它称为局部关系等式.

1.2 利用格林公式得到整体关系等式将(3)式两边在区域R={x≥0,0

ik(1-k2)ux+k2(k2-1)u))xdtdx=0.

使用格林公式有

ik(1-k2)ux+k2(k2-1)u)dt=0,

即

(1-k2)uxx(0,s)+ik(1-k2)ux(0,s)+

k2(k2-1)u(0,s))dt.

定义函数u(x,t)关于空间变量在半直线上的Fourier变换为

k∈C-={k∈C:Imk≤0}.

为了书写简便,定义函数

k∈C,i=0,1,…,4,

则有如下整体关系等式

(1-k2)g2(ω(k),T)+ik(1-k2)g1(ω(k),T)+

k2(k2-1)g0(ω(k),T)=

(4)

把上式中的T替换为t,并令

G(k,t)=g4(ω(k),t)+ikg3(ω(k),t)+

(1-k2)g2(ω(k),t)+ik(1-k2)g1(ω(k),t)+

k2(k2-1)g0(ω(k),t),

(5)

得到

(6)

1.3 构造合适的积分路径定义区域

D={k:Re(ω(k))<0},

D+=D∪C+,D-=D∪C-.

用kR、kI分别表示k的实部和虚部,则k=kR+ikI,

图1

根据Fokas[7]的UTM方法和整体关系等式(6),得到

(7)

1.4 消去未知量在u(x,t)表达式(11)中,φ(x)、f(x,t)是已知的,因此第一、二项可以直接计算得到.在后三项中,积分路径是已知的,被积函数G(k,t)是未知的.由G(k,t)的表达式(5)可知,g0、g1、g2可根据已知的边界条件ψ0、ψ1、ψ2得到,下面用g0、g1、g2来表示g3、g4.

解方程k5-k3=μ5(k)-μ3(k),除μ(k)=k之外,可以得到4个解μi(k),i=1,2,3,4,它们的表达式可以用Matlab得到,且满足

iμ1(k)g3(ω,t)+(1-μ1(k)2)g2(ω,t)+

iμ1(k)(1-μ1(k)2)g1(ω,t)+

μ1(k)2(μ1(k)2-1)g0(ω,t)-

iμ2(k)g3(ω,t)+(1-μ2(k)2)g2(ω,t)+

iμ2(k)(1-μ2(k)2)g1(ω,t)+

μ2(k)2(μ2(k)2-1)g0(ω,t)-

联立以上2式得

g4(ω,t)=

iμ1μ2(μ1+μ2)g1(ω,t)+

g3(ω,t)=

G1(k,t)=g41(k,t)+ikg31(k,t)+

(1-k2)g2(ω(k),t)+ik(1-k2)g1(ω(k),t)+

k2(k2-1)g0(ω(k),t),

(8)

则

g4(ω,t)=

iμ2μ3(μ2+μ3)g1(ω,t)+

g3(ω,t)=

同理,令

g42(k,t)=g4(ω,t)-

G2(k,t)=g42(k,t)+ikg32(k,t)+

(1-k2)g2(ω(k),t)+ik(1-k2)g1(ω(k),t)+

k2(k2-1)g0(ω(k),t),

(9)

则

g4(ω,t)=

iμ3μ4(μ3+μ4)g1(ω,t)+

g3(ω,t)=

同理,令

g43(k,t)=g4(ω,t)-

G3(k,t)=g43(k,t)+ikg33(k,t)+

(1-k2)g2(ω(k),t)+ik(1-k2)g1(ω(k),t)+

k2(k2-1)g0(ω(k),t),

(10)

则

2 结论

下面总结给出本文的主要结论.

定理 1五阶线性KdV方程在半直线上的初边值问题(2)的显式积分解由下式给出

(11)

致谢安阳师范学院大学生创新基金(ASCX/2018-Z111)对本文给予了资助，谨致谢意.