轴向受载铁木辛柯梁的弯曲研究

王续宏， 李翔宇

(西南交通大学 力学与工程学院， 四川 成都 610031)

0 引 言

轴向受载的梁由于其能够提升抗拉和抗弯强度而被广泛应用于工程建设中.例如，在宏观尺度上，轴向受载梁经常被用在桥梁、铁路和隧道等基础设施建设和航空工业中的关键部位[1-2]；而在微纳米尺度，轴向受到压力的纳米线常被埋在PDMS基体中构成结构的一部分[3-5].因此，轴向受载的梁的变形行为是一个很重要的研究课题.例如，Simsek等[6-7]基于铁木辛柯梁理论，采用修正的偶应力理论和高阶梁理论研究了功能梯度纳米梁的弯曲问题；Ansari等[8]为了修正铁木辛柯梁理论，采用应力梯度弹性理论考察了横向剪切变形的影响；Li等[9]采用拉格朗日运动关系研究了考虑摩擦影响的棱柱铁木辛柯梁的大变形问题；Tuna等[10]基于初始积分模型，研究了欧拉—伯努利梁和铁木辛柯梁的静力弯曲行为并得到了解析解.

事实上，对于铁木辛柯梁轴向力在变形时的方向有两种不同的假设：一种认为，轴力的方向沿着中性轴的方向[11-13]，另一种认为，轴力的方向垂直于变形后的横截面[14-15].对此，Chen等[16]通过引入跃迁系数建立了一个统一的铁木辛柯梁模型，并研究了梁的强迫振动.但随着跃迁系数的引入，有许多典型的问题需要解决，比如新近提出的梁模型的静态响应问题.对此，本研究主要分析了跃迁系数对轴向受载铁木辛柯梁弯曲行为的影响：首先，推导出了控制方程，再通过拉普拉斯变换对其进行处理，得到了方程的解析解；其次，展开数值计算验证当前解的正确性并考察了跃迁系数对铁木辛柯梁弯曲行为的影响.

1 问题描述和解决

1.1 问题描述

在笛卡尔坐标系Oxy中，考虑一个长为L、高为h，在轴向和横向分别受力为T和P的梁(见图2).梁的材料参数为：杨氏模量为E，剪切模量为G，密度为ρ，横截面面积为A，惯性矩为I.

图1铁木辛柯梁模型示意图

由文献[16]可得轴向受载铁木辛柯梁的控制方程为，

EIφ″+(κGA+αT)(w′-φ)=0

(κGA+αT)(w″-φ′)-Tw″=P

(1)

式中，w和φ分别表示挠度和转角，α表示轴力方向的跃迁系数.在本研究中，α在0到1之间变化，当α=0时，对应轴力的方向沿着中性轴的方向，当α=1时，对应轴力的方向垂直于变形后的横截面，压力(或拉力)被假定为正(或负).将(1)式表述为挠度的方程，可以得到，

w″″+a2w″=f(x)

(2)

其中，

(3)

a1=κGA-(1-α)T,a2=κGA+αT

(4)

式中，κ为剪切修正系数.

假定在梁上任意点x0处受到一个大小为P的集中力，则方程为，

(5)

式中，δ()为狄拉克函数.式(5)的解是数学上的格林函数解，对于解决很多相关的问题十分重要.例如，在梁上施加一个分布力P(x)，可通过叠加原理得到相应的挠度，

(6)

1.2 拉普拉斯变换

根据已经给出的控制方程，对式(5)关于坐标x进行拉普拉斯变换，可以得到，

(7)

式中，w(0)、w′(0)、w″(0)、w‴(0)是待定常数，s是拉普拉斯复数.对式(7)进行拉普拉斯逆变换可以得到，

w(x;x0)=H(x-x0)Ψ1(x-x0)+w(0)Ψ2(x)+

w′(0)Ψ3(x)+w″(0)Ψ4(x)+w‴(0)Ψ5(x)

(8)

式中，H(x)是单位阶跃函数.

方程Ψi(x)的定义如下，

(9)

通过拉普拉斯变换可得到式(5)的通解，而式(8)中的待定常数可以通过边界条件进行确定.

1.3 待定常数的确定

通过边界条件可确定相应条件下显式表达式所需的待定常数.在确定这些常数之前，先得到转角φ、弯矩M和剪力V确切的表达式如下所示，

(10)

由式(8)可得，

(11)

本研究中考虑4种常见的边界条件，即简支梁、固支梁、悬臂梁、一端简支一段固支的梁.其中，对于简支梁，w(0)=0,M(0)=0,w(L)=0,m(L)=0；对于固支—简支，w(0)=0,φ(0)=0,w(L)=0,M(L)=0;对于固支梁，w(0)=0,φ(0)=0,w(L)=0,φ(L)=0；对于悬臂梁，w(0)=0,φ(0)=0,M(L)=0,V(L)=0.

如此，可以通过边界条件确定相应的待定常数，将其代回(8)式中，便可以得到多种边界条件下挠度的显式表达式.

2 数值分析

考虑两种类型的力，即集中力和分布力，将其施加在一个特定参数的铁木辛柯梁上.材料具体参数如下，E=7.0×1010N/m2,G=2.61×1010N/m2，L=0.5 m,κ=0.87,ρ=2 778 kg/m3，横截面是高为h的正方形.为了方便计算，引入以下的无量纲参数，

式中，nH和nC为无量纲化的轴向压力，η表示高跨比.简支梁和固支梁的临界屈曲力分别是，

(12)

2.1 解的有效性

为了验证当前结果的有效性，本研究对解析解和有限元(FEM)结果进行对比，考虑以下两种情形：其一，在梁的中点处施加单位大小的集中力；其二，在梁表面施加集度为单位力的分布力.这两种情形下，梁的高跨比均为0.2，且都在轴向受到一个单位大小的力.在数值模拟计算中，采用商业有限元软件ANSYS 15.0，并用BEAM 188梁单元划分网格.在模拟中，设有1 000个单元和2 002个节点.

由图2可以看出，解析结果和有限元结果较为吻合，这在一定程度上证明了结果的有效性.

2.2 跃迁系数对挠度的影响

在梁的中点处施加一个单位大小的集中力，并在轴向施加不同等级的轴力，来观察梁挠度的变化.

为了量化跃迁系数α对静挠度的影响，定义相对误差为，

图3简支梁和固支梁相对误差随高跨比和轴向压力的变化

3 结 论