追本溯清源 条件求本真——一道条件概率课本题的解法剖析与反思

柏叶婷

(江苏省徐州市第二中学 221006)

在近四年的全国数学高考试题中，除2018年全国卷Ⅱ(理)中条件概率结合数学文化出了选择题外，2015—2017年全国卷Ⅰ(理)中，条件概率和事件独立性3次出现在大题位置.基于此，条件概率和独立性在概率教学中是非常重要的.我们先来看一道苏教版选修2-3第67页的课本原题.

课本真题8某单位有18个人，其中O型血有9人，A型血有3人，B型血有4人，AB型血有2人.现从中选出2人.问：在第一人是A型血的条件下，第二人是O型血的概率是多少?

在笔者所教44人班级中，透过条件概率涉及的四个维度，调查了学生在解决上述问题的思维导向，统计人数如下表：

维度学生思维导向关注频数对“条件关系”和“因果关系”的理解是否清楚“条件关系”与“因果关系”40对“可重复”和“不重复”两种情境的理解对样本空间改变后事件的概率15是否能借助2×2列联表理解条件概率18对时间顺序偏见以及“不重复”情境下条件概率的理解35对“可重复”情境下条件概率的理解17能否将一个复杂事件分解成两两互斥事件,并用概率加法和乘法公式求得概率10对“同步”和“先后”两种情境的理解对“同步”情境的理解35对“先后”情境的理解38对两个事件独立性的理解对“独立性”定义的理解14是否能辨析互斥事件和独立事件18对两个事件是否相互独立的理解12

通过以上统计表不难发现高二同学对条件概率的理解是有偏差的.谢美华教授曾指出对条件概率常犯的错误：1对.题目中的“条件”存在知觉不到位情况；2.“增加条件”后样本空间的变化关注度不够；3.在概率的计算中“独立性”的缺失.2017年新课改后，教材已将“独立性”放在了条件概率之后，用条件概率公式推导出两独立事件的乘法公式，借此作为判断两事件独立性的条件，即“设A、B为两个事件，如果P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与事件B是相互独立.”这说明它是一个充要条件.

另外，学生理解条件概率是感性的.这点可以借助2×2列联表帮助学生理解条件概率.例如，笔者调查了所在学校的高二年级432名学生(男生232名、女生200名)是否喜欢下围棋，结果显示男生中喜欢下围棋的有150名，女生中喜欢下围棋的有80名.设计问题如下：

(1)学生喜欢下围棋的概率是多少？

(2)女学生喜欢下围棋的概率是多少？

(3)选出一名女学生并且她喜欢下围棋的概率是多少？

可以根据题意列出2×2列联表如下：

类型男生女生总计喜欢下围棋15080230不喜欢下围棋82120202总计232200432

最后，为培养学生用数学方式进行表达，在讲条件概率概念时更应注意结合问题情景，利用关键词去区别条件概率和事件积的概率．条件概率计算的是一个事件已确定发生的“条件”下另一个事件发生的情况，这两个事件并不对等，“条件”是已发生确定性事件，后一个是紧随第一个变化的随机事件；而事件积就是两个事件“共生”的情况，其中的两个事件都是随机事件，在用数学语言表达时，两个事件可能分先后用一句话阐述，也可能中间用“，”或“、”分开．因此，在教学时，我们区别条件概率与事件积的概率，可以重点关注两处：(1)看问题中是否有“事件A发生的条件下”之类的词语；(2)由题意结合生活常识分析事件间的先后顺序及关联性．