基于核心素养的国际数学课程教材改革动向及启示①

郭玉峰

(北京师范大学数学科学学院 100875)

1 背景

核心素养是当前国内课程改革的一个新动向，基于核心素养的数学课程教材改革以及教学实践正在积极开展.从国际视野了解基于核心素养的国际数学课程教材改革的最新动向，将对我国数学课程教材改革起到有益的促进和推动.

2017年6月16日-18日，北京师范大学数学科学学院和人民教育出版社课程教材研究所联合主办了首届“中学数学课程与教材国际论坛”(InternationalResearchForumonMathematicsCurriculumandTeachingMaterialsinSecondarySchool,简称IFMCT-1).论坛旨在“推动中学数学课程教材改革，为研究和解决中学数学课程教材的实质问题提供交流、讨论的平台，以促进中学数学课程教材的可持续发展”.首届论坛以“核心素养为统领的数学课程教材改革”为主题，设置“数学核心素养与高中数学课程目标”、“高中数学课程的结构与内容精选”、“教育信息化与高中数学课程建设”、“基于数学核心素养的高中教材理论”、“基于数学核心素养的高中教材案例”、“满足数学英才教育需要的数学课程教材”等专题，邀请美国、荷兰、德国及我国香港、台湾地区的学者，与大陆数学教育研究者进行交流研讨.在为期三天的论坛上，共有22位专家学者对当前数学核心素养的理论建构以及近十年不同国家和地区数学课程与教材发展的历程、最新动向等做了专题报告.本文根据本次论坛的报告内容，侧重从核心素养的角度对国际数学课程教材改革的最新动向进行梳理和研究，以期对我国当前数学课程教材改革有一定的启发和借鉴意义.

2 基于核心素养的国际数学课程教材改革最新动向

以下分别介绍美国、荷兰和德国最新数学课程的动向.

2.1 美国数学课程中的数学过程、数学实践以及数学倾向(dispositions)

来自美国密西根大学的Edward A.Silver教授主要阐述了美国数学课程中关于非具体课程内容，包括数学过程、数学实践以及数学倾向(或思维习惯)落实中存在的问题，并给出了实施建议.

美国的课程文件不仅包括具体的课程内容、技巧和概念，还包括数学过程、数学实践和数学倾向(或思维习惯)等非具体内容的课程目标.自1989年到2010年的美国数学课程改革，如1989的《学校数学课程与评价标准》、2000年的《学校数学教育原则和标准》、2006年的《课程焦点》、2010年的《聚焦高中数学》、以及2010年的《美国州共同核心数学标准》，数学过程、数学实践以及数学倾向(或思维习惯)等非具体内容的课程目标在不断演变，且经常出现在各种数学课程文件中，被学科专家广泛称赞.然而，存在的一个问题是：在各种课程文件中经常出现的这些非具体内容的课程目标，在广泛使用的主要数学教科书中却很少体现.那么，如何通过教科书实现这些目标？教科书又能否实现这些目标呢？Silver教授认为，目前来看并没有足够的研究说明数学过程、数学实践和数学倾向等课程目标的发展规律，也没有针对教科书或课程资源中如何落实这些非具体内容的课程目标的深入研究.教科书中如何落实？在落实的同时如何保持课程的连贯性等，这些对教科书改革是有一定难度和挑战性的问题.

在实施非具体内容的课程目标中，教师的作用很重要.课程标准面向的是大多数学生，但可能并不适用于每一个学生.为此，美国于2014年颁布《行动原则：数学适用于每一个学生》，其目的是搭建起课程标准与实践的桥梁，以便更好地实施课程标准.这个行动原则主张有效的数学教学是确保所有的学生能够学习数学的方式，而开展有效的数学教学实践需要基于以下几点：1.建立聚焦于数学的学习目标；2.实施促进推理和问题解决的任务；3.建立和运用数学表征之间的联系；4.促进有意义的数学讨论；5.提出有针对性的问题；6.在概念理解的基础上,增强熟练度；7.支持数学学习中的创造性；8.引导学生思考.尽管这些指明了有效数学教学实践的方向，但由于诸多客观因素，美国全国数学教师协会(NCTM)只是关注有效教学的概念，而不是具体课程的教学支持，这是教学实践中存在的一大问题.

2.2 荷兰12—18岁学生的现实数学教育

现实数学教育我们并不陌生，来自荷兰乌得勒支大学的Paul Drijvers教授从一个具体实例引入，进一步诠释了荷兰现实数学教育中关注经验及过程性的特点.

“数学是一种人类的活动”，我们从现实世界建构内容，用数学的方法组织现象，这是弗赖登塔尔被广泛认同的观点.在这个数学化的过程中，有外显的知识和经验，也有很多不可见的知识和经验，这些不可见的知识和经验决定了我们能看到什么，这是需要大量积累的.如图1所示的冰山模型，我们能看到的海平面上方的部分仅是冰山一角，还有很多我们看不见的地下部分.小学生计算得到5+2=7的结果，这是可以直接观察到的结果，但他们可能会用手指计算，或用骰子计算，或画一条数字线等，这些背后的东西是我们看不到的.数学教学应该提供学生积累经验的时间，而不是盲目地加快教育进度，削减水平面以下的部分或跳过它.

图1 冰山模型示意图

现实数学教育理论与所谓的“颠倒教学法”背道而驰.后者将数学家的结果作为教学的起点，用快速、反向的方式直接呈现结果，绕开发现的过程，由此导致一种机械式的数学教学方法，即通过大量的重复性练习达到机械记忆.虽然这种为达到自动化而进行的练习是需要的，但有局限性，现实数学教育则是其替代物.现实数学教育遵循活动性原则、现实性原则、水平原则、融入性原则(intertwinement)、内部活动性原则、引导性原则,其特点表现为：学习的起点是有意义的情境；提供非形式化策略和不断数学化的空间；不同内容分支的整合；互动；提供学生自主建构的空间(Treffers, 1987).现实数学教育中的“现实”一词来源于荷兰语“zich realiseren”，表示实现、认识到、 想象等,可以有不同理解，如教育实践中的可能性；与现实生活(现实世界、幻想世界、数学世界)有关；对学生是有意义的.与现实数学教育相关的四个概念是: 有指导的再创造、教学现象、水平和竖直的数学化、数学模型.其中数学化可用图2表示：

图2 现实数学教育中的数学化

数学化有水平数学化和竖直数学化，课程设计者和数学家们可能关注的重心不同，有些课程更多关注水平数学化，但对垂直数学化关注不够，这是一个损失.数学模型也有四种不同水平：情境化、指向性、一般化、形式化.课程设计中的很多问题是人为设计的，有时是不自然、不真实的，但课程实践并不意味着一定以真实生活中的问题出现.现实数学教育中的“现实”不是真实的生活，但它是“体验真实、有意义的，贴近学生的现实.

2.3 德国国家数学标准中的过程维度

来自德国的Gabriele教授介绍了德国的国家数学标准和能力目标.德国的国家数学标准是教育标准而不是教学大纲，是学生在本教学水平结束时应达到的知识和技能的描述，是要达到的能力目标，不是与内容相关的目标.而教学大纲是规范性描述，是学生将要学到的内容.

德国国家数学标准的框架分为三个维度：过程维度、内容维度、期望水平(难度).过程维度中涉及六大能力：推理与证明、数学问题解决、数学建模、运用数学表征、数学符号和形式以及技术的使用、数学交流.内容维度涉及数、测量、空间和形式、函数关系、数据和机会.期望水平是众所周知的PISA中的分类，最低水平是再现，第二水平是建立联系，第三水平是概括与反思.以下是过程维度中六种能力的不同期望水平.

(1)推理与证明能力

这个能力的三个不同期望水平分别是：最低水平是进行常规论证，如借助已知事实，基于计算基础上的简单判断.第二水平是基于不止一步的推证，理解和发展论证.第三水平是借助不同标准(如广度和一致性)运用、解释和发展复杂论证.如果完成问题只需一步，则处于最低水平，一旦超出一步，则处于第二水平或第三水平.例如：

“三个连续自然数之和总能被3整除”.这个判断是否正确？请给出至少两种证明方法.

以第二水平为例，对应的5种不同解法可以是：1. 运用具体例子.如3、4、5，(4-1)+4+(4+1)=4+4+4=3·4，其结果能被3整除.2. 代数方法.设n是第一个自然数，则(n-1)+n+(n+1)=3n，其结果被3整除.3. 与内容相关的方法(涉及内容相关的概念理解、隐含的变量).三个数中必有一个数能被3整除，另外两个数中一个余数是1，另一个是2，故余数1+2=3，这三个数的和可以被3整除.4. 迭代的方法(完全归纳法的前身).1+2+3=6，6能被3整除；2+3+4=9=6+3，也能被3整除，因此，和总是增加3并且还能被3整除.5. 可视化方法.把三个数字想象成点阵或阶梯的模式，通过移动点或阶梯形成三组相同高度的点阵或阶梯.如图3所示.

图3 数字点阵或数字阶梯

(2)数学问题解决能力

这个能力的三个不同期望水平分别是：最低水平是识别和选择一个常规方法，如通过画一条辅助线来解决一个简单任务.第二水平是通过多步骤的策略方法解决问题.第三水平是通过区分不同解法，概括、反思等构建最优解题策略.

以最低水平为例.先看如图4所示的计算阴影区域面积的问题，其中正方形边长为a，图中有两个半圆和一条对角线.

处于最低水平的一个做法是，做一条如图5所示的辅助线，计算新构造三角形的面积，用半圆的面积减去三角形的面积再除以2.

图4 计算阴影区域面积

图5 添加辅助线

(3)数学建模能力

这个能力的三个不同期望水平分别是：最低水平是使用熟悉的标准数学模型，直接实现现实世界与数学的转换.第二水平是能够对一个不清晰界定的现实世界问题进行多步骤建模，找出一个恰当的数学模型，认识到在原始现实世界中解释结果的困难.第三水平是在一个复杂的现实世界中建立一个模型，定义假设、变量，限制条件，……检查和评估不同的模型.

下面看一个第三水平的例子：

Stein先生住在距离卢森堡20公里的特里尔(一个非常小的国家，独立的欧洲国家).他开着自己的大众高尔夫去卢森堡加满汽油，有一个加油站就在两国的边境.在卢森堡，汽油的价格仅为每升1.05欧元，而在特里尔汽油价格为每升1.30欧元.问：Stein先生是否值得去卢森堡给车加油？说出你的理由.

此问题的解决很明显依赖于汽车油缸的大小以及耗油量.假设已经知道大众高尔夫耗油不多，大约是8升/100公里，我们还需知道油缸容量.如果只考虑油费的差异，这个问题当然是有意义的，但再考虑时间成本，或考虑环境保护等，这个问题就复杂了.

(4)运用数学表征能力

这包括饼图、直方图、函数图像等的表征.最低水平是使用标准数学表征.第二水平是对于给定的表征或变化的表征的解释.第三水平是理解不熟知的数学表征，发展数学表征并做出评估.例如：下题反映了在同一个任务中通过不同的问题考察不同的水平.

分析过定点的不同一次函数图像(如图6).问题：①所有直线都有的共同特征？(最低水平)；②给出每个一次函数图像的函数表达式.(第二水平)；③哪个函数的图像与x轴平行?(最低水平).

图6 过定点的不同一次函数的图像

(5)数学符号、形式和技术使用能力

三个不同期望水平分别是，最低水平是直接使用公式和符号来解决数学任务，使用计算器等数学工具计算.第二水平是多步骤使用数学程序，在情境中使用变量、方程、函数并有意识的使用技术工具.第三水平是复杂程序，对解决方案过程的评估，对数学工具的可能性和局限性进行反思.

(6)数学交流能力

包括理解数学文本，进行数学的口头表达和数学报告.最低水平是充分描述简单的数学事实，能识别和选择简单数学文本中的信息和数据.第二水平是可以理解并多步骤地描述数学事实，能独立识别和选取数学较长文本中的信息和数据.第三水平是能够对一个复杂论证、复杂数学文本进行连贯的表达，对其中的事实和数据进行评估和比较.

3 基于核心素养的中国数学课程与教材改革及国际研究进展的启发

来自中国台湾勤益科技大学的刘柏宏教授和香港大学的莫雅慈副教授分别介绍了台湾和香港的数学课程教材情况.

中国台湾将自2019年起实施“十二年国民基本教育课程纲要”，数学课程纲要中提出数学除了是一种语言与一种规律科学之外，数学更是一种人文素养，这对数学教材以及教学都将是极大的挑战.中国台湾学生在PISA和TIMSS测试中有良好表现却呈现M型化，其中一个原因是中国台湾学生的数学学习兴趣和数学成绩往往不成正比.为此，高中数学课程中可以渗透数学的人文素养，提升学生的数学学习兴趣.

中国香港目前正在施行2009年的高中数学课程，比较新课程施行前、后高中数学教科书中习题类型的变化，发现研究涉及的19,711道问题中的90%都是常规问题，教科书并没有为发展学生数学思维提供足够的努力.教师需要根据常规问题帮助学生创建非常规数学学习经验.

此外，中国大陆共17位专家学者分别就数学核心素养下的数学课程与教材问题进行了报告和研讨.东北师范大学史宁中教授“高中数学课程标准与数学教科书改革”的报告，从本世纪课程改革的变化、高中数学课程标准的修订、对高中数学教科书的要求等三个方面，强调了目前高中数学课程标准修订的两大主要变化：调整课程结构与内容，突出数学核心素养.人民教育出版社章建跃编审“核心素养统领下的立体几何课程教材的变革”的报告，从课程目标的发展、课程内容和课时的变化、对传统处理方式的分析与反思、继承基础上的发展与创新、几何课程改革的未来之路五个方面说明了立体几何课程教材的变革.北京师范大学保继光教授“高中数学教材(北师大版)的介绍”的报告，包括对数学核心素养的认识、北师版教材修订的原则等.西南大学宋乃庆教授“挖掘课程教材中的数学文化、促进学生核心素养发展”的报告，包括数学文化在数学课程教材中的体现、数学文化促进学生数学核心素养发展的途径等.北京航空航天大学李尚志教授“核心素养渗透数学课程教学”的报告，通过具体数学内容的教学，说明核心素养可以在具体数学内容的教学过程中进行渗透.南京师范大学喻平教授“基于核心素养的高中数学课程目标与学业评价”的报告，对基于核心素养的高中数学课程目标以及学业评价进行了解读和构想.东北师范大学高夯教授“关于CAP课程的思考”的报告，包括大众教育与精英教育、中国大学先修课程CAP以及微积分课程的实施情况等.人民教育出版社李海东编审“编写融合信息技术的数学教材”的报告，含信息技术给数学教材带来的变化、信息技术与数学教材融合的原则、信息技术与数学教材融合的模式等内容.内蒙古师范大学代钦教授“清末民国时期中学几何作图教科书”的报告，对清末民国时期教科书中的几何作图进行了介绍.华东师范大学吴颖康副教授“学校数学课程内容发展主线初探”，从学习进阶的角度阐述了高中数学课程内容主线研究的初步成果以及未来构想.北京师范大学郭玉峰教授“数学核心素养在教材习题的表现研究：以‘函数’为例”，对四个不同版本高中数学教材“函数”习题所体现的数学核心素养类型及其水平进行了统计量化研究.华南师范大学何小亚教授“学生接受假设的认知困难与课程、教学对策”的报告，介绍了数学概念的建构、数学原理的获得和数学证明的认知过程中学生接受假设的认知困难，并从数学教学和教材编写角度提出了相应对策.江苏省教育科学研究院李善良教授“教科书：从‘教’材到‘学’材——高中数学教科书编写思考”的报告，对教科书做什么、是什么、怎么写等进行了探讨.北京师范大学曹一鸣教授“高中数学课程信息技术使用的国际比较和分析”的报告，编码分析了不同国家数学课程标准中关于信息技术的使用情况.人民教育出版社副编审龙正武“我国中学数学中的向量内容”的报告，包含向量内容进入我国数学课堂的历程、其他国家现行高中数学课标中向量内容的有关要求、目前中学向量教学中存在的问题以及教材修订中应该注意的问题等.北京市海淀区教师进修学校张鹤教研员“从教学实践需求看数学教材改革”的报告，对知识逻辑、思维逻辑以及教学活动中所承载的教学逻辑，借助具体案例进行了展示，提出数学教材改革要明确知识逻辑的确立，关注思维逻辑的呈现.深圳中学郭慧清老师“函数概念及其抽象过程”的报告，分析了函数概念的建立过程，以及如何在此过程中培养学生数学抽象、数学建模等核心素养的问题.

首届“中学数学课程与教材国际论坛”，聚焦核心素养下的中学数学课程与教材改革的最新进展，反映了数学课程教材研究和改革的最新动态.而了解和借鉴国际相关问题的研究进展和经验，可以更好的促进我国中学数学课程教材的发展与创新.

3.1 数学课程目标从“双基”到“四基”再到“数学核心素养”，是时代发展的要求，与国际上数学课程的发展趋势是一致的

从美国、荷兰、德国数学课程与教材最新进展的报告看，我国高中数学课程目标的转变与国际数学课程最新发展的趋势有某些共通之处.主要表现在：

第一．数学课程目标关注思维品质、关键能力、情感态度价值观.

我国最新高中数学课程标准中明确指出，数学学科核心素养是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现.“双基”“四基”课程目标突出了不同时代发展数学课程关注的重心，实际而言，思维品质、关键能力、情感态度价值观的课程目标是逐步发展和完善的.我国数学课程中数学核心素养的课程目标，更加突出了数学学科特征，表明我国数学课程目标的特色和特点.

美国数学课程强调数学过程，强调数学实践以及数学倾向(或思维习惯)，荷兰数学课程强调重视学生的数学学习过程以及强调学生在经历中获得经验以便建构起数学理解，德国数学课程建立过程维度、内容维度、期望水平的三维架构，这些在一定程度上反映了不同国家数学课程对学生思维品质、能力以及情感态度价值观的关注.以德国国家数学课程2001年给出的数学素养的定义为例：

数学素养是个人在不同情境下用公式表述、使用和解释数学的能力.它包括数学推理能力和使用数学概念、过程、事实和工具来描述、解释以及预测现象的能力.它有助于个体作为一个关心社会、善于思考的建设性公民来识别数学在世界中所起作用及做出有根据的数学判断和决定.

这个定义参考了PISA关于数学素养的定义，是围绕数学在人们生活中的广泛应用，将数学知识和技能运用到实际的能力，而不是仅仅在学校课程中掌握数学知识和技能.此外，数学素养还意味着在各种情况下形成和解决数学问题的能力，以及这样做的倾向，这往往依赖于个人特征，如自信和好奇心.可见，这个定义中一定程度包含了能力、自信和好奇等个性品质的成分.

第二，如何真正贯彻落实数学课程目标是各国数学课程教材改革关注的问题

国际上各国数学课程标准和教材大致10年左右要调整或重新修订，而实践是检验课程标准和教材落实情况的重要方面.

美国数学课程强调过程性，强调学生的自主建构，强调有效教学实践等，这些在很大程度上依赖于教师.前面也提到，美国中学数学教材几乎并没有在数学过程、数学实践和数学倾向(或思维习惯)方面有所体现，美国全国数学教师协会只是关注了有效教学的概念，而并没有具体课程的教学支持.这是贯彻落实数学课程目标中存在的很大问题.荷兰的现实数学教育突出说明了机械式的数学教育是颠倒教学法的，只追求冰山上的一角而不顾及或忽略冰下的活动不是真正的现实数学教育.德国数学课程从内容维度、过程维度、不同期望水平搭建的课程框架，也反映德国数学课程关注课程的具体落实.

我国最新高中数学课程标准明确指出，数学学科核心素养是在数学学习过程中逐步形成的，数学学科核心素养的发展具有阶段性和连续性，其达成是循序渐进的.数学课程目标的贯彻落实关键是教师因素，数学核心素养作为思维品质、关键能力、情感态度价值观的综合体现，其在教材及教学实践中的落实更是长期的、需要深入研究和实践的课题.

3.2 数学核心素养内涵、要素构成、水平划分的框架结构需要切实可行

荷兰现实数学教育的数学化包括水平数学化和竖直数学化，即从现实情境经水平数学化，建立数学模型，再经竖直数学化，构建数学的对象、结构和方法，此过程反过来也适用(图2).我国六大数学核心素养中的数学抽象、数学推理、数学模型，一定程度反映了数学化的过程，其中数学抽象既包括水平数学化的过程，也包括竖直数学化的过程，说明了数学抽象逐级性的特点.此外，竖直数学化也涉及到数学推理，通过归纳推理和演绎推理等数学的推演，构建数学的对象、结构和方法.进一步地，借助数学内部的研究成果，解决现实问题.这个过程，在德国的数学课程中有类似的表现，即通过数学建模理解现实世界、通过推理和证明理解数学的内部世界、通过问题解决发展数学直觉，这在德国国家数学课程标准中的六个一般能力是有体现的.

需要指出的是，德国国家数学课程标准中过程维度的六个一般能力都有明确的水平层次划分，并给出了具体的例子进行说明.同样，我国六大数学核心素养的内涵、要素构成、层次水平划分也给出了阐释，并有具体案例说明层次水平，这无疑为六大数学核心素养在教学实践中的落实提供了很好的理论支持和指导.尽管，这个框架结构还需要进一步的研究，层次水平的划分的依据以及不同层次水平的界限尚欠明确等，但从国际视角看，数学核心素养课程目标是培养未来人才的需要，与当今国际数学课程的发展是一致的.未来我们需要进一步完善数学核心素养的框架结构，从理论和实践的角度进行检验和论证，使得框架结构切实可行并真正指导教学实践.

总之，国际数学课程改革和发展的经验，可以有效促进我国中学数学课程教材的发展与创新.不同国家数学课程教材的不同视角，可以帮助我们看到世界数学课程教材改革和发展的方向及规律.基于数学核心素养的视角看不同国家的数学课程教材，对于我们更好地研究数学核心素养的课程目标以及落实这一课程目标也将起到积极的作用.我们在保持自身传统和优势的同时，立足国际视野，为建设世界一流中学数学课程和教材而努力.