积累活动经验 探寻数学本真 培养学科素养①——以一堂《常见向量问题的解决》②研讨课为例

张 敏

(江苏省太仓高级中学 215411)

1 引言

当前，高中数学课程标准将高中阶段的数学核心素养确定为数学课改的核心问题，如何将基于核心素养的教育教学改革落到实处呢？笔者认为，在教学中应该揭示数学问题本质，探寻数学自身内涵，欣赏数学内在之美，使得培养学生数学核心素养的教学目标得以落实，为此，还需要广大数学教师的积极参与与教学实践．现结合一节研讨课的教学设计和课堂教学活动，谈谈笔者的感受．

2 课堂实录及说明

本节课使用了“导学案”将预复习前置．课堂上，气氛活跃，效果极佳，学生的自主活动与交流占据了课堂较多的时间．下面针对这节课的三个教学片断加以分析和反思.

2.1 教学片断1

在进入课题之初，教师先用实物投影仪投出学生的导学案：

师：课前请同学们推荐几道有关常见向量问题的试题，现在请你说说你所推荐的题，与其他同学分享，并请说出推荐理由.

(将学生推荐的题及解答用实物投影呈现，并请推荐这题的同学说说推荐理由.)

师：很好，此题将不同的向量用同一组基底统一起来，揭示出平面向量的核心问题，即基底思想，凸显向量问题的本质.

生2：我推荐这道题的理由有二：其一，这是一道向量数量积的最值问题，也是常考的内容；其二，本题条件中△ABC是等腰三角形，而且底边BC长度已知，这样一来，就便于我们建系设点，用坐标来表示题中的向量了.取BC中点O建立如图所示的平面直角坐标系，因为BC=2，所以B(-1，0),C(1，0)，

设A(0,b),P(x,0),(-1≤x≤1)，

师：(几何画板演示)很好！这道向量数量积的最值问题采用几何画板演示，非常直观.数量积是高考重要考点之一，采取坐标化的方式可将向量的许多问题简单化.

生3：本题主要考察向量的坐标运算，同时兼顾到三角函数的恒等变换，具有一定的综合性.具体解答如下：

师：很好！这是一道很好的题目，能将向量问题与三角问题综合一起，体现出数学的关联.对于此道题，还有没有其他的想法呢？

师：非常棒！这位同学能从几何的角度看待向量问题，正是抓住了向量本身的几何特性.思维一下子飞跃到另一个层面，值得推荐！

生5：我还有另一种解法.由于向量|a|=1,|b|=2，根据||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|的性质，易得：2-1=||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|=1+2=3，因此|a-b|的取值范围是[1,3].

师：生3推荐的这道题非常棒，在大家的互相启发下，能把一道看似平常的向量题通过不同的角度予以解答，通过此题充分展示出向量的本质，凸显了数学的内在美.

设计意图本环节是在梳理完所要复习的主要内容后的学生活动，体现了学生自我学习后的“再创造”.教育教学专家祁平曾说过：“再创造”是一个很有意义的教学方法.教学中，教师让学生展现自己的原思维过程.这样的“再创造”展现了数学研究是如何从失败走向成功的过程，充分暴露了教师或学生思维中的曲折或错误的情景，并让学生看到改正错误、调整方向的思维过程.这样的“再创造”能使学生始终处于积极的状态，师生之间的交流是心灵间的交流,学生的思维容量增加了[1].

2.2 教学片断2

在进行课前热身展示后，同学们也逐渐感受到解决向量常见问题的三条主要途径即为：基底化、坐标化、几何法.教师顺势用多媒体给出了如下问题.

(学生独立思考，后小组讨论，准备交流展示)

生7：我采取的是坐标化处理.因为感觉建系设点后，再解决向量问题比较方便、简便.另外由于AD⊥AB，为此我选取以AB,AD为直角坐标系的x,y轴.具体解答过程如下：

这道题很好的展示了常见向量问题的解决策略，能很好地起到培养学生逻辑推理、数学运算数学核心素养的目的.有没有同学遇到类似的向量问题？

所以x+y最大值为2.

师：这是一道很典型的例题，充分体现了向量关系坐标化的特征.那么还有别的建系方式吗？别的思路呢？班级内迅速热闹起来，大家讨论很热烈！

再令x+y=t⟹y=t-x，

代入得到3x2-3tx+(t2-1)=0，

所以Δ=9t2-12(t2-1)≥0⟹t2≤4⟹t≤2.

设计意图通过此环节的活动，教师想让学生主动参与课堂的教学中来，通过学生的互动与交流，真实感受到向量关系的常见处理方式——坐标化，同时通过坐标化的方式让向量关系可视化，直观形象，也可以让学生的思维跃上新的高度，从而让学习在课堂上真实的发生.著名数学家克莱因曾说过：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作”.从新课程理念与数学的本质来看，如何发展学生的知识、如何发展学生的能力和如何发展学生的素质，对当前的数学教学有一定的指导意义[1].教学中，教师的“再创造”能让学生收获更大.教师要把握时机，站在学生的视角，与学生一起进行分析、归纳、抽象、论证，看看是如何进行判断，绕过障碍，走向成功的.这是培养学生数学能力 、数学品质的朴素而又科学的方法.

2.3 教学片断3

通过上面学生提供的好题，让大家一起感受到基底化、坐标化解决向量常见问题的便利，教师再次选取了某位同学研究的一道题.

例已知a,b是单位向量，且a·b=0，若向量c满足|c-a-b|=1，则|c|的取值范围是.

学生受到上面同学推荐的好题影响，纷纷采取了或基底化、或坐标化的处理，迅速地做出来了.但是也有一位学生采取了不同的方法.

生10：我觉得上面的两种方法运算都太复杂，我采取了如下的方法处理：

此刻，班级同学自发的对这位同学投来赞许的目光！

师：在我们的经验中，如果求圆上一动点到一定点的距离，就转化为圆心到顶点的距离+(-)半径即可得到范围，这样就将变量问题转化为定量处理，自然就很轻松解决了.同时通过生10同学的讲解，让我们领略到几何法在解决向量问题中的优越性.

设计意图通过此环节的活动，让我们看到了课堂上的学生不但会欣赏数学，更会评价数学了.课堂的评价要以学生的发展为导向，以师生的共同成长为目的.知识、美德、交往和发展是课堂评价要涉及的重要方面，评价它们的核心就是要体现人的存在，以人为本的价值取向.本环节，我们不但看到了学生对于“好题”的遴选标准，更看到了课堂的意义和价值就在于发展，从狭义上讲是学生的发展，但从广义上讲也包括教师的发展.[2]教师的任务是如何指导学生的发展，学生的任务是在教师的指导下怎样实现自我的发展，归根结底是学生怎样才能发展，所以“发展”成为课堂的价值所在.

3 教学回顾与感悟

回顾这节课的三个教学片段，均展示出一番精彩的学生活动，积累了基本活动经验，探寻向量的内在本真，在解题中渗透数学基本思想方法，体现了思维教学的魅力.虽然是一堂向量的复习课，但给人的感觉是更加突出学生的思辨、探究能力，为使学生能更加贴近数学本真，设计学生的学习过程，借助一定的教学环境进行自我建构、自我成长、自我发展、自我提升，通过师生互动、生生互动等多种学习方式，突出了学生的主体性、参与性和课堂延展性，课堂活动自然达到预期的效果.事后想来，感受颇多.

3.1 积累活动经验，奠定教学基础

数学活动经验是什么？数学教育专家和一线数学教师提出许多的看法.仲秀英教授认为：学生数学活动经验可以理解为学生从经历的数学活动中获得的感受、体验、领悟以及由此获得的数学知识、技能、情感与观念等内容组成的有机组合性经验[3].而张奠宙先生等认为：数学活动经验是在数学目标指引下，通过对具体事物进行实际操作、考察和思考，从感性向理性飞跃时所形成的认识[4].王新民等认为：“数学活动经验是指学习者在参与数学活动的过程中所形成的感性知识、情绪体验和应用意识．”并把演绎活动经验和归纳活动经验称为数学基本活动经验[5]．

数学基本活动经验有助于学生数学活动的探究、数学思想方法的领悟、数学素养的提升.积累充足的数学活动经验是学好数学的重要基础.课堂是教学的主阵地，教师是学生的引领人.在数学教学中促进并落实学生基本活动经验的积累，教师应着眼以下方面：

在数学化过程中积累数学活动经验.数学课的引入往往是通过情景化的方式，从中引出数学问题，可以让学生感受数学由具体到抽象的过程，由此，学生不但可以得知数学产物的来历，更可掌握数学的独特思维和语言运用模式，体会数学与生活是密不可分的，从而积累数学经验．本节课由于是复习课，所以引入采取三个实例，让大家感受常见向量的问题解决有哪些途径，使学生较快进入主题研究，从而提高课堂效率.

在问题解决过程中积累数学活动经验.在问题解决过程中，学生要根据问题条件和已有知识，主动运用相关数学知识和方法来解释或解决问题，尤其是遇到一个新的情境问题，该如何思考？有哪些策略可以选择？此时数学活动经验的提取和迁移得以体现．本节课中，在向量常见问题的解决过程中，选择基底化、坐标化还是几何法？三个教学片段的选取，恰好利用条件的特殊性，分别采取基底化、坐标化、几何法的方法处理最为优化.其意图就是使学生学会在问题解决中积累数学活动经验，提升数学素养.

在反思的过程中积累数学活动经验.弗赖登塔尔指出：“反思是重要的数学活动，它是数学活动的核心和动力”[6]．反思不仅可以帮助学生形成对知识和方法的整体性认识，同时反思的过程也是数学活动经验内化的过程．“学生经历或参与了数学活动并不是就能自动地获得充足的数学活动经验，它还需要学生主动地对活动过程进行反思、总结和交流，及时概括所获得的经验，使已得经验条理化和系统化.”[3]本案例中，我们通过三个教学片段的欣赏，初步了解常见向量问题的解决策略，有助于大家对向量本质的进一步认识与思考.

3.2 探寻数学本真，追求优化创新

《普通高中课程标准(实验)》指出：“形式化是数学的本质特征之一，在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学本质淹没在形式化的海洋里.”因此，数学教学要整合内容，凸显数学本质，渗透数学文化，弘扬理性精神，让学生有充足的时间去思考、探究、感悟、评价、创造；数学教学切实做到在数学形式化的基础上更加注重数学本质化的认识，形式化的表达要为揭示数学的本质服务；数学教育要充满数学的研究“味道”.本节课就是在构建简约的数学本真课堂中做出有益的尝试与探索，课堂教学过程的简约，摒弃浮躁、华而不实的课堂教学形式.数学课堂应该返璞归真:运用简单的教学模式、设计简洁的教学情境、约定简明的教学内容、使用简练的教学语言，追求自然、真实、朴素的常态教学，使“常态”的课堂简约而不简单.本节课中通过三类不同的题型展示了常见向量问题的解决策略，通过三种不同形式深刻探寻到向量的本真：基底化、数量化、几何化.

3.3 强化批判思维，提升数学素养

批判思维是指对自己或别人的观点提出质疑、进行反思、经过验证和不断分析的过程.质疑者通过运用思维能力对自己或他人的思考施加压力，进而提高思考的质量.而数学核心素养六大方面的达成都需要学生具备独立思考和批判性思维的能力.为此，本节课围绕此目标，重点做了以下几方面工作：

一是鼓励质疑，尊重个性.有心理学家研究证明，大部分的人会随着年龄的增长与社会思维达成共性，这就是我国创新能力停滞不前的重要原因之一.学生的世界里充满着好奇与质疑，他们会大胆猜想客观规律，勇敢面对艰难挑战.本节课中，通过学生推荐“好题”，教师积极鼓励学生发出质疑之声，运用批判性思维，让学生释放自己的天性.本案例中，常见向量问题的解决策略就是要鼓励学生在质疑和批判中选择恰当的处理问题的办法.

二是多元思考，克服定势.固定单一的课堂模式和认知过程已不能适应学生的数学学习，本案例中，向量的思考维度可以多样化，教师鼓励学生用不同的表现形式开展学习，或自我学习，或小组交流，或精彩展示，学生从各个角度各个方面思考数学问题，做到思考多元化，消除从前的固定单一的思维模式.

三是开展实验，主动探究.开展实验是指在整个教学过程中，教师引导学生把书本知识运用于实践，同时学生亲身体验探究学习的教学环节.探究教学的核心价值是数学文化的重要体现，科学理解数学探究教学的核心价值，并形成课堂教学的一种文化，才能对历史负责，才能有面向未来的数学教学.[7]本案例中，教师鼓励学生在不同的思维中开展实验研究，通过开展实验，对学习的内容、形式和结果进行优劣、是非评判，所表现出来的严谨的、具体的、有科学可信度的思维，从而学生主动探索解决向量问题的能力会大大提高，同时也提升了数学素养.

4 结束语

国学大师王国维在《人间词话》中说：“诗人对人生须入乎其内，又须出乎其外.入乎其内，故能写之；出乎其外，故能观之”.的确，一个数学概念，一种数学思想，都可以从内外两种角度进行观察.数学教学，多半使用某些情境引入，设置适合的课堂活动，积累基本活动经验，讲究逻辑严谨，以步步推进的方式寻求数学知识的产生过程.这就是“入乎其内”.另一方面，数学有其自身的体系，文化的渊源，历史的足迹，美学的构建，整体的壮丽.这需要跳出来，然后“观之”，才能观察到数学的人文价值和理性精神，体验到数学的本真，从而使得对数学的理解从直观想象到内在逻辑推理.只要我们走在正确的课改道路上，在数学课堂上不断积累基本活动经验，探寻数学内在本质，感受数学魅力，提升数学核心素养，那么我们的实践就会更有意义，更有高度，更有力量.