“立本求真”的数学教学的实践思考

☉江苏省南京市六合区程桥高级中学 杜明浩

很多数学教师对于构建本真灵动课堂的本质、核心、思维方式都进行了思考与研究，具备灵动生命气象的数学课堂教学能够为学生的自由思想与独立思考提供足够的空间.本文结合三节课堂教学的简录与片段进行了设计与实施本真灵动的数学课堂教学的思考.

一、适当留白以保障学生的思考、感悟与归纳

案例一：《数列通项公式的求法》教学片段

引入：由裴波拉契数列引出数列递推公式的概念并明确数列学习的重点与核心.

知识回顾1：已知数列{an}中，a1=1，an+1=an+2，则an=______.

在学生集体作出回应之后，请一位学生阐述具体的思维过程，复习旧知识的同时引导学生思考可以求和的原因，以及可以求和的式子的特征，请学生自主创造可以求和的练习并自主解题.

已知数列{an}中，a1=1，______，则an=______.

笔者听课之时正好坐在了四位学生中间，观察到的创造如下.生甲：an+1+2=an+4，生乙：an+1-an=2n-1，生丙：anan-1=n，生丁勉强写出了Sn=2n-1但未能解题.笔者认为他的想法实际上与生甲是类似的，由此可见，部分学生已经具备了一定的变通能力.

教师投影出了生1的成果：an+1-an=2n.师生共同检查了书写过程，引导学生检验n=1是否满足上式，并感悟归纳出an+1-an=f（n）型（可求和）可用叠加法，并对学生作出了验证首项的提示.

知识回顾2：已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an，则an=______.

引导学生解决本题并观察出相乘可以上下相消这一原理，请学生构造并提醒学生思考可以运用此法求解的题目.

已知数列{an}中，a1=1，______，则an=______.学生创造的结果如下：生甲：an+1=-an，生乙2n，生丙：，生丁

拓展探究1：已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2，求an.

教师引导学生解决并探究此题，从而归纳出an+1=pan+c型适用待定系数法.

拓展探究2：已知数列{a}中

n，求a.n

思考题：已知数列{an}中，求a.n

拓展探究3：已知数列{an}中，a1=1，Sn=2an-1，求an.

生3在一定的思考后进行了思路板演：n≥2，an=2an-1，检验了a2=2a1（a1≠0）后得到比式.引导学生重视检验条件并归纳概括：Sn=pan+q→和项转化成递推公式以后再进行处理.

思考题：已知数列{an}中，a1=1，an+1=2Sn，求an.

学生对n=1时的检验记忆深刻，但对于式子的约束表现出了一定的忽视，教师进行一定的分析并引导学生共同总结本课所得.

二、创造游戏以彰显本真

案例二：《基本不等式》教学片段

教师与学生各持纸牌三张，每人任选一张进行大小的比较，但比较大小需要按照教师定下的规则进行：将任选的纸牌上的数字分别记作a，b，选定后进行大小的比较，随时记录每一次的比赛战绩

学生兴致勃勃地与教师进行了游戏，在大量的实际游戏数据获得与教师的引导下抽象出了（当且仅当a=b时等号成立）这一结论.教师引导学生对自己归纳出的结论进行了证明，学生运用到的方法有比较法、综合法、几何法等，自主得出结论又进行证明的过程令学生感到紧张而开心.

三、学生主体与教师主导的融合令学习成为了一种享受

案例三：试卷讲评片段

题目在△ABC中，∠A=120°，AB=4，若点D在BC边上，且，则AC的长是______.

教师在此题的讲评之初，首先请了一位在此类题上经常犯错的学生来介绍解题思路，其解题过程如下，解出，即

师：这种解法如何？

生1：这是常规解法.

师：可还有其他方法？

生1：坐标法.以A为原点建立直角坐标系并将B置于x轴上，画图求解.设，则，解得，所以，所以AC=3.

生2：将C置于x轴正半轴上也能得到B点的坐标，然后由向量相等的关系即可得到D点的坐标.设C（x，0），由得所以D点坐标为，故，即x2-2x-3=0，解得x=3，x=-1（舍），所以AC=3.

图1

生3：直接用余弦定理也可求得AC.如图1，设CD=x，AC=y，则BD=2x，由cos∠CDA=-cos∠ADB，可得，两式联立解得y=3，即AC=3.

师：很好，能想到这一解法，说明基本功很扎实.

图2

生4：我觉得根据向量关系可以直接求出很多条边，我是这样解的：如图2所示，作DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，因为D是BC边上靠近C的三等分点，AB=4，所以.因为DE∥AC，∠EAC=120°，所以∠AED=60°.所以，即化简可得AC2-2AC-3=0，故AC=3.

师：这个解法能不能有个专属名称呢？

众生：几何法.

图3

生5：我的解法应该也是几何法，不过有点不同.如图3所示，构造平行四边形ABEC，连接AD并延长交CE于F，作EG∥AF交AB于G，可得G为AB的中点，F为CE的中点，由△CDF∽△BDA，得，由EC∥AB，AF∥EG，得四边形AGEF为平行四边形，则

师：大家想出的方法都很好，以后遇到类似问题时，请大家运用自己擅长的方法大胆求解，也请大家在课后对此类题的解题方法进行整理并再次消化.

丰富学生知识，发展学生思维，提升学生素养，培养学生的理性精神并让学生具备发现问题与解决问题的能力是数学教学的最根本目标.李善良博士所提倡的“把精彩留给学生”就是给学生创造更多的空间，使学生能够在适当的留白、游戏中获得对数学思想方法的感悟.

因此，教师应善于把握教学的规律与学生的认知特点，应善于顺应学生的思想意识并使学生在有意义的数学活动中获得经验的积累，使学生在自主建构数学知识的过程中获得思维的拓展，使学生在“立本求真”的数学教学中养成良好的探究意识与习惯并因此喜欢上数学，享受数学学习的过程.