又知此路不虚探 又得曲线一共性*——2019年全国数学高考卷Ⅲ圆锥曲线题的探究和拓展

(单县第一中学，山东 单县 274300)

●李 荣

(贵州师范大学数学科学学院，贵州 贵阳 550025)

●李明星

(南明甲秀高级中学，贵州 贵阳 550002)

1 试题呈现

圆锥曲线是沟通代数和几何的重要桥梁，数形结合是解决数学问题的一个重要的数学基本思想方法.学生通过图形去初步认识，进而运用代数去深加工，最后应用代数和几何去解决问题，有助于培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力、数学运算能力.圆锥曲线类题目作为数学高考必考题，通过题目的设置去测评学生的各项能力，在突出选拔功能的同时，更突出对学生能力的评价.本文以2019年全国数学高考卷Ⅲ理科第21题第1)小题为例，对题目进行解决并尝试推广.

1)证明：直线AB过定点；

2)略.

(2019年全国数学高考卷Ⅲ理科试题第21题)

2 解题策略

整理得

2tx1-2y1+1=0.

设B(x2,y2),同理可得

2tx2-2y2+1=0，

整理得

x2-2kx-2m=0，

且

Δ=4k2-4(-2m)>0，

消去x0,得

y0=-m.

评注解法1和解法2分别从两个角度入手，解法2首先设直线AB方程为y=kx+m，将直线方程与曲线方程联立可得x1+x2和x1x2的值，为后面直线AD和直线BD解析式的联立、消去x0得出y0的值奠定基础.而解法1直接从曲线的切线和斜率切入，根据解析式得到切线斜率，通过斜率的性质求出直线AD和直线BD的解析式，进而求得直线AB的解析式，问题便迎刃而解.解法2相比于解法1而言，解题路径更为简洁、直接，将通过求导得到切线的斜率作为主线，充分进行了知识之间的融通，促进知识的迁移，提升了学生的思维和问题解决的能力.

3 推广结论

综上所述，本题第1)小题中所要证明的是直线AB过定点，点D所在的直线恰为曲线的准线.由解法1可知利用导数求切线斜率是证明AB过定点的关键所在.在高中的知识框架中，圆锥曲线的性质和知识结构较为广泛和特殊，根据解法1可以得到如下推广：

于是

即

从而

同理可得直线DB的方程为

从而直线AB的方程为

从而

同理可得直线DB的方程为

故直线AB的方程为

4 总结

高考试题凝聚命题人的心血和时代的理念，每一个试题都经过出题者的反复考量与打磨.解析几何中主要蕴含的数学思想是借助平面直角坐标系，用代数的方法来研究几何问题，这就体现了解析几何的代数性质和几何性质的双重性质[1].圆锥曲线类题目作为数学高考主观题的主角之一，题目设置的复杂性和难度不言而喻，在解题的过程中学生必须高效率地分析题目，提取题目中给出的有效信息，并对相关信息进行整合和处理.图形的构建是首位的，基于题目条件画出图形给予直观上的表现，学生根据经验知识对图形的特点进行回忆，将所学知识与题目结合，促成问题解决.

问题解决过程中“第一，努力在已知和未知之间找出直接的联系；第二，如果找不出直接的联系，就对原来的问题做出某些必要的变更或修改，引进辅助问题”[2].本题要证明直线AB过定点，必须明确所需要解决问题的最终条件，即直线AB的方程，要得到直线AB的方程还需明确直线DA和直线DB的方程以及两直线与直线AB的关系.通过求导和斜率公式去证明直线AB过定点，得出以下启示：在双曲线和椭圆中，如果也满足在抛物线中的条件，则直线AB过定点.故将该启示拓展到双曲线和椭圆中并证明，以期为学生和教师提供解决类似圆锥曲线问题的途径和方法.