小学数学操作性学习分类及案例解析

黄秀梅

（尤溪县教师进修学校，福建 三明 365100）

学习的基本方式有两个：一是继承性学习，以接受的方式进行，模仿、理解、记忆是学习的基本手段，在接受前人经验中获得知识；二是实践性学习，以动手实践、自主探索或合作的方式进行，在具体的实践活动过程中获得直接经验和认识。[1]小学生的学习既有继承性的接受式学习，也有实践性的发现式学习。由于小学生的认知思维主要依靠直观、具体形象进行，所以，小学生的学习还是以动手实践或操作来展开思维活动和获取知识为主，实践性学习是小学数学学习重要也是主要方式。让手和眼协调、手和脑沟通是解决小学生数学学习过程身心协调的有效途径，同时也是解决数学学科性质与小学生认知水平矛盾的最佳路径。

一、数学操作性学习及其特点

数学操作性学习是指发生在数学课堂中，结合数学学科特点，为理解、掌握、验证某些数学现象、规律、原理等展开的、以动手操作为主要活动方式的学习活动。在小学数学课堂中，小学生的操作性学习表现为以一定的材料或实物作为操作对象，在具体操作过程中获得知识和体验；或是以动手操作，如画一画、摆一摆、折一折等具体行为操作来感知知识和发展技能，它是有目的地进行数学行为操作和思维联动的过程，也是具身学习的过程。

小学数学操作性学习有三个明显的特点：首先，它是数学的学习活动，所有的操作活动都有明确的数学学习目的，即便是游戏与“玩耍”也有一定的目标指向。其次，它是身心联动的行为操作，动手、动口，手眼、手脑并用是学习过程的基本常态，通过对数学材料或实物的实际操作来感知学习对象，进而认识学习对象，是具身的学习活动。其三，它的行为操作是以画一画、填一填、摆一摆、量一量、数一数等形式来直接作用于数学情境世界和认识对象的，它是典型的“做中学”与“学中做”学习活动。它与研究性学习、问题式学习联系紧密，虽然它不十分强调以类似于科学研究的方法去获得知识，但是“要让学生感受和理解知识产生、发展的过程，培养学生的科学精神和创新思维”[2]却是一致的；虽然它不过多追求虚拟问题场景，但是以问题发现、问题提出和问题解决为活动纽带却是相通的。

二、小学数学操作性学习类型解析

（一）以积累直接经验为主的动手式操作性学习

小学生的学习多数是要依靠学生亲自动手才能取得比较扎实、可靠的效果，因为，动手操作使得小学生能够亲近认知对象，在具体的操作中小学生才能感知认知对象；“做中学”的本质是以做（操作）为载体，在具体的情境活动中激发学习热情、感悟活动成果，获得活动经验。

以“倍的认识”学习为例。可以通过先复习量与量的关系再介绍新的数量关系“倍”，也可以由教师操作教具或画图来引导学生发现这种新型关系。但是，要使得学生对“倍”的认识深刻、到位，就要让学生亲自动手并在动手操作中体悟。

教学环节一：在情境中调度

创设小白兔拔萝卜情境，让学生数一数后想一想白萝卜的个数比红萝卜多多少？胡萝卜个数与红萝卜是什么关系？调度小学生的生活经验，为发现情境中的数学问题做准备。

教学环节二：在操作中感知

将三种萝卜分别按2个一组摆到纸上并画一个圈，让学生数一数后议一议。强化“2个一组”的同时感知三种萝卜数量关系，为引入“倍”做准备。

教学环节三：初步引导

将分组画圈情况呈现在黑板上并引导学生观察，引入“倍”的概念，同时用红萝卜与胡萝卜、白萝卜与胡萝卜对应图直观地展现倍数关系。

教学环节四：操作中再次体验和强化

1.让学生摆一摆后想一想：如果胡萝卜是3个，将3个萝卜摆在一组并画圈，此时三种萝卜各有几个圈？红萝卜个数是胡萝卜的几倍？白萝卜是胡萝卜的几倍？如果将6个萝卜圈一圈看成一组，那么，白萝卜的个数是红萝卜的几倍？用适当的变化再次来体验和感悟并最终建立“倍”的概念。

2.问一问后说一说：如果胡萝卜是3个，白萝卜是9个，那么白萝卜是胡萝卜的几倍？如果胡萝卜4个，白萝卜是16个，那么白萝卜又是胡萝卜的几倍？依次类推进行几次变化。让学生再次感悟“将对象分成几份就是几倍”的同时建立“倍与两数商”的关系模型。

3.举举例后比一比：要求举出2个具有明确倍数关系的具体例子并与同桌交流，以此检验对“倍”的理解是否到位。

4.涂一涂后说一说：发放三组图形——三角形、圆圈、矩形，自由拼摆并说出拼摆后两组图形的倍数关系，开放中巩固和强化“倍”的概念。

以上环节，是以学生已有的知识经验和动手过程形成的感性认识作基础的，学生是在操作中学习和认识“倍”这个全“新”知识的，当然，这里的新知识在操作中似乎又不是那么“新”，它与“除”和“商”有了关联，这就是以动手操作为主的操作性学习的意义所在。

（二）以直观想象为主的画图列表式操作性学习

小学阶段数学学习的“画图”主要是画直观图，画直观图的目的是借助图形直观来刻画数量间的关系和变化，其本质是数向形的转化“以形说数”；而小学生数学学习中的列表主要是填表，用列表的形式来对应反应数量间的关系和变化，并以集中和“一目了然”的方式来实现分析、比较、概括或归纳。学生在画图和列表的同时还要会思考和分析。画图和列表对于动手而言是技能，对于动脑而言是思维操作，也是直观描述数量关系以解决具体问题的操作性学习方式。

以“求一个数的几倍是多少”画图学习为例。如何将抽象的“求一个数的几倍是多少”转化成“几个几”，在学具操作的基础上，让学生借助线段图的直观形式来理解是最优选择。这是教材第一次正式出现线段图，让学生经历画线段图的过程，借助线段图的直观，使学生获得大量的感性认识，从具体到抽象，实现从“加法结构”到“乘法结构”的变身，帮助学生建立数学模型。

教学环节设计：

出示例题：军棋的价钱是8元，象棋的价钱是军棋的4倍。

第一层：直观形象中思考。你能用手中的学具把图中的信息摆出来吗？你是怎么摆的？为什么这样摆？在动手后让学生说操作的理由，体会要找准以谁为标准，再借助学具、根据数量关系，把“对象之间的关系”转化成“图形之间的关系”，进而思考分析，直观感知一个数的几倍其实就是求几个几。

第二层：逐步概括中化繁为简。如果军棋的价钱是80元呢？摆摆看。为什么你们不摆了？（学具不够了，要摆很久……）引发学生思考更好的解决办法（拿小棒代替、画一条线段代替……），让学生在认知冲突的思维中分析探索“80元该如何简洁地表示”，再次抽象，培养学生借助图形去思考的意识和能力。

第三层：画图分析中解决问题。通过引导及示范，让学生根据文字中的关键信息，理解题意，转化为图，分析数量关系，解决问题。

线段图是小学生解决数学问题的一个重要手段。利用线段图把题意表述出来，把“复杂的数学问题变得简明、形象”，让隐藏的数量关系外显，以简驭繁，清晰概括地表达数量关系，也是培养学生几何直观能力的重要方法。[3]

以《烙饼问题》列表学习为例。在探究烙饼需要的最省时间时，为保证结论是严谨、唯一的，仅通过动手操作是不够的，通过列表来作数学化的回应最为合适。

每次最多只能烙2张饼的最省时间和饼数（面数）关系表

上表中的信息一目了然：烙饼所要需时间只与所要烙的总面数有关，所需时间=张数×3。利用列表，既解决了烙饼方案多样性的问题，更解决了用时最少的确定性问题。[4]

（三）以问题驱动为纽带的身心联动式操作性学习

小学数学操作性学习活动不是单纯的动手操作或游戏，每一次行为操作都与一定的问题相联系。以问题纽带来驱动操作行为，使学习者始终围绕问题来展开有目的的诸如“折叠”“画图”等外在性行为动作，同时，以问题思考为线索，依托在具体操作中的理解来保持分析、比较和类比、迁移等内在性思维状态，这是身心联动式操作性学习的基本特点。让小学生的学习过程始终处于手眼并用、手脑并用的身心交融状态也是以问题驱动为核心的操作性学习的理想境界。

以“角的度量”学习为例。如果按部就班地介绍量角器，让学生记住量角步骤，这样的教学不仅难以突破学习难点且对学生发展无益。对小学生而言，“掌握”就是亲自操作后的发现与“创造”；“应用”就是模仿操作过程来解决问题。因此，在问题情境操作活动中创生一个量角器，并在创生中自然而然地掌握角的度量是最艺术的境界。

教学环节一：感知角的大小

1.画角并说理：怎么比较角的大小？让学生画出三个大小不同的角，然后比较大小，说出比较的理由。

2.举例并画角：怎样画一个相同的角？学生举身边自己熟悉的特殊角，按其大小画一个角。自然地引出三角尺中四个特殊的角30°、45°、60°、90°角。组织学生依据三角尺中的30°角在黑板上共同画一个30°角，然后再组织学生画45°、60°和90°角，以此来感知角的大小。

教学环节二：感知特殊角的度量

1.量角并说理：怎么验证老师画的角是30°？你们画的角是45°、60°、90°吗，怎么验证？能用30°角去度量60°、90°角吗？

2.量角并感悟：三角尺中的特殊角能够量一般的角吗？请学生用三角尺中的角量一量自己随意画的三个角，并比一比大小。以此感知角的度量，并明白特殊的角可以量尽天下与这几个特殊角一样大小的角，但是无法量一般的角，只能对其进行大小比较。

教学环节三：感知量角工具的制作过程

1.折角并感悟：能将一个角分成几个更小的角吗？如果一个角是2°，那么，它的一半是几度？让学生在纸上画一个60°角，然后对折使得角的两边重叠，再次对折，算出每一次对折后角的度数。以此来感悟1°角的形成过程，会用折叠的办法平均划分一个角为几个小角。

2.造角并感悟：会制作一个75°角吗？会制作150°、180°角吗？在第一个15°角上叠加形成不同度数的角。

3.细分平角并介绍量角器：要求将一个平角以折叠的方式细分为间隔相等的小角，在细分平角的同时认识量角器。

操作性学习要尽量避免行为操作与思维操作两张皮的情况，以上环节是问题引导操作，操作中感悟问题的形式展开身心联动的学习过程，把学习量角器变成“制作”量角工具，是对知识难点学习的突破。