借助学具操作 助力感知数学本质

郑广成

（福州教育学院附属第三小学，福建 福州 350008）

“工欲善其事，必先利其器”，［1］“学具”就是我们小学数学教师在课堂教学中的“器”。所谓“学具”，就是在课堂中提供给学生进行操作活动的工具。学具操作实际上是数学课中一种特殊的动手活动，把掌握特定的概念、命题等智力活动方式“外化”为动手操作的程序。学生借助动手的活动来实现和反映其内心的思维活动，从而实现对数学知识的理解和掌握。在以形象思维为主要思维方式的小学生中，数学课堂教学光靠教师讲述是不行的，很多看不见摸不着的东西可以借助学具把它们演示出来。因此，在课堂教学中教师要懂得适当用好各种“学具”，以助力学生感知数学本质。

一、学具操作助力数学概念的建立

作为反映事物本质的抽象形式的数学概念，既是数学知识体系的根基，也是我们课堂教学活动中从事数学活动的必要前提。儿童的认知遵循的规律是“感知——表象——概念”，因此，课堂教学中，教师可以借助学具操作，充分调动学生多种感官来共同参与学习。学生在感知直观形象的事物时，比较容易获得感性知识，从而形成知识的表象。在学具操作中，教师引导学生学生积极参与探索，透过事物的表象，从中发现其本质特征，从而建立起科学的概念。

【案例（一）：有余数的除法的含义】

1.出示问题：有6个苹果，把它们每2个摆一盘，可以摆几盘？

2.要解决这个问题，怎样办？

让学生拿出事先准备好的苹果图片，同桌合作进行学具操作。

学生操作：6个苹果，先拿2个摆一盘，再拿2个摆一盘，最后剩两个摆一盘。

师：刚才这个摆的过程可以用怎样的算式表示出来呢？

3.在学生汇报交流的基础上，教师小结：6个苹果，每2个摆一盘，摆了3盘，正好摆完。可以用算式6÷2=3（盘）来表示。

4.进一步提出问题：如果有7个苹果呢？

学生再次动手操作：拿出7个苹果学具，先拿2个摆一盘，再拿2个摆一盘，再拿两个摆一盘，还剩下1个。

师：你们有什么发现？指名上台摆一摆。

生：把7个苹果，每2个摆一盘，摆了3盘，还剩下1个。

师：能用算式表示出来呢？（学生面露难色）

师：剩下的这1个，还能再分吗？怎么办？那看来只好剩下它了。剩下1个的这一个，就是这个算式中的余数。

师：被平均分的苹果总数是几？每几个装一盘？装了几盘？还剩几个？随着学生的回答，教师板书：7÷2=3（盘）……1（个）

师：写完商，在后面写上6个小圆点，再写余数。像这样没有除完还有余数的除法，我们把它叫作有余数的除法。

5.师：接下来，我们一起来摆正方形，摆一个正方形需要准备几根小棒？（4根）

小组合作：

（1）分别用8根小棒、9根小棒、10根小棒、11根小棒和12根小棒来摆正方形，能摆几个正方形？还剩几根小棒？

（2）观察摆出的小棒图形，列除法算式。

交流反馈：

生：8根小棒可以摆2个正方形，没有剩余小棒，算式：8÷4=2（个）；9根小棒可以摆2个正方形，剩1根小棒；算式：9÷4=2（个）……1（根）；10根小棒可以摆2个正方形，剩2根小棒，算式：10÷4=2（个）……2（根）；11根小棒可以摆2个正方形，剩3根小棒，算式：10÷4=2（个）……3（根）；12根小棒可以摆3个正方形，没有剩余小棒，算式：12÷4=3（个）。

随着学生的回答，教师将算式板书在黑板上。

6.接着教师让学生仔细观察余数和除数，说说发现了什么？学生在交流中很快就能发现：余数＜除数。

余数除法的概念，对于学生来说非常抽象，学生理解时存在一定的困难，同时又因为初次认识余数，很难找到与之有适当联系的已知概念作为基础。在这种情况下，教师给学生创设自主构建知识的活动空间，引导学生通过学具操作，感知有余数除法的意义、探究余数与除数的关系，把抽象的概念具体化，帮助学生理解抽象的数学概念。

二、学具操作助力数学算理的理解

在计算教学中要重视算理，学具操作可以将抽象的算理形象简单化，让学生在动手活动中积累感性经验，深化知识。特别以具体形象思维为主要形式的低年级学生，如何帮助学生感悟和理解抽象的数学算理呢？要想发展学生的思维，就要多组织学生动手操作，让学生在操作中理解算理。

【案例（二）：有余数的除法竖式】

1.出示问题：13根小棒，每4根分一组，结果怎样？列出算式13÷4。

2.你想怎么计算“13÷4”呢？借助老师提供的学具想一想，然后跟同桌说一说你是怎么算的？

3.学生活动，小组交流。

4.汇报方法。

（1）摆小棒：13根小棒，拿4根分一组，再拿4根分一组，再拿4根分一组，最后剩1根。13÷4=3（组）……1（根）

（2）圈一圈：13根小棒，4根圈一组，再4根圈一组，再4根圈一组，最后剩1根。13÷4=3（组）……1（根）

（3）用减法算：13-4-4-4=1，所以 13÷4=3（组）……1（根）

5.教师小结：这三种方法都有什么相同的地方？（都是从13里分出3个4根，还剩下1根）

6.师：现在发挥你们的想象力，把它列成除法竖式，赶紧动手吧！

7.教师结合学生分小棒的过程示范除法竖式。

师：小房子建起来，被除数住进来，除数站在门外面，商要站在屋顶上。（师边说边写，生跟着写）

师：那余数3写在哪里？

生七嘴八舌。

师：不着急，先回答这个问题：每4根小棒分一组，分3组，一共多少根？

生：12

还剩下几根？

生:1。

师：那现在余数写在哪里?

生：最下面。

师：想一想竖式里每个数表示什么意义，说给同桌听。

学生交流后请学生来说。

对于学生来说，理解有余数的除法竖式中每一步的意义是个难点。在这里，教师让学生借助学具操作，在抽象的数学知识与小学生的思维之间架一座桥，化无形为有形，用直观的形象把抽象的算理展现出来，使学生真正理解有余数的除法的竖式的意义，从而顺利抵达抽象的彼岸。

三、学具操作助力数学问题的解决

著名心理学家皮亚杰说：“儿童的思维是从动作开始的，切断动作与思维的联系，思维就不能得到发展。”［2］在小学数学问题解决的课堂教学中，教师可以借助学具操作，帮助学生理解和分析题意，使得抽象的数量关系具体化，从而发现问题的本质并顺利解决问题。

【案例（三）：解决与按规律排列有关的问题——等余问题】

1.出示问题：找规律，摆小旗。

师：请先仔细观察下图中小旗摆放的规律，再思考，如果这样继续摆放下去，第17面小旗会是什么颜色的呢？

2.提出问题：读一读，说一说你知道了什么。

学生：这些小旗每三面一组；每组第一面是黄色，第二面是红色，第三面也是红色。

……

3.学生尝试探究：第17面小旗应该是什么颜色呢？

提示：可以摆一摆、写一写、画一画、算一算。把自己的想法表达清楚。

4.学生汇报。

（1）用按小旗排列的规律继续摆的方式解决问题。

（2）用按小旗排列的规律继续画的方式解决问题。

（3）把小旗排列的规律继续往下写的方式解决问题。（黄、红、红、黄、红、红……）

（4）用除法解决问题。

5.比较方法，优化方法。

6.在学生用除法计算出结果后，结合直观图让学生理解：余数是几，答案就是这一组中的第几个；没有余数，答案就是这一组中的最后一个。

解决问题教学是小学数学教学中的难点。这个片段中，教师借助适当的学具操作，不仅形成了解决问题的情景，帮助学生更好地梳理了数量关系，还能化难为易，引导学生轻松地找到解决问题的方法。

总之，“学具虽简却能显现深刻，操作有趣更是魅力无限”。［3］在小学数学课堂教学中，可以借助学具操作，引导学生在“玩与学”中形成数学概念、理解数学算理、解决数学问题，从而感知数学的本质。