厘清法则 触摸数学本质

郭继峰

摘 要：“计算法则”，也就是学生在计算中所要遵循的方法、规则或程序等。在低年级计算教学中，要引导学生借助情境、操作和运用，探寻数学计算法则之源、之本、之根、之果，不断发展学生数学学习能力的同时，促进学生数学智慧的生长。教师引导学生经历数学算理的探究过程，不断夯实、筑牢学生的计算基础，改变学生学习的方式，就能更好地、有效地发展学生的数学核心素养。

关键词：低年级数学;计算法则;法则建构;学习能力

所谓“计算法则”，也就是学生在计算中所要遵循的方法、规则或程序等。荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔认为，数学知识有“程序性知识”和“思辨性知识”。显然，计算法则属于程序性知识。对学生尤其是低年级学生来说，运用计算法则相对简单，而理解计算法则背后的算理则相对较难。为此，教师要加强法则背后的算理教学，让学生“算理明”“算法清”，真正做到“法理融通”。

一、借助情境，探寻计算法则之“源”

对于小学生而言，计算法则理解通常要借助一定的情境。这种情境既可以是生活化、经验化的情境，也可以是蕴含数学计算法则逻辑事理的情境。从这个意义上说，情境应该是学生建构数学计算法则之源。在情境中，学生触景生情、触景生需、触景生思。当计算法则以具体情境为背景、载体时，就可以化抽象为具体、直观、形象，从而帮助学生理解计算法则背后的算理，催促学生积极主动地建构算法。

教学《十几减9》时，教师充分利用教材主题图，创设生活化情境，让学生在情境中思考。教师先出示直观图，让学生读懂信息：“13个桃，我买9个。”引导学生交流：从图上，你知道了哪些条件？能提出什么问题？在学生交流的基础上，让学生尝试探索，构建算法。启发学生思考：怎样从13个桃里拿走9个桃。

结合学生的交流，教师进行直观演示。

方法1：先拿去盒子外的3个桃，再拿去盒子里的6个桃，还余4个。交流拿桃的过程。强调拿桃分两次，还余多少个桃？

方法2：先从10个桃里拿去9个，再把余下的1个与外面的3个加起来，还剩4个桃。

由于学生已经有了“9加几”“8加几”等的数学认知经验，因此学生能够认识到这属于一个“去一去”“拿一拿”的数学问题，因此应该用减法计算。关键问题变为：13减9到底可以怎样计算？在问题驱动下，部分学生能迅速调用已有知识经验，根据“加法”推算“减法”。绝大多数学生则借助教材主题图，在情境中展开深度思考。有学生认为，“从13个中拿走9个，可以这样计算，先从10个中拿走9个，再将零头3个加上去”;有学生认为，“可以先从13个里面拿走3个，再从剩下的10个里面拿走6个”，等等。教师创设情境，给予学生在情境化思考中直接体会“破十法”“平十法”以及“想加算减”的操作过程。让学生在思维活动的过程中进一步抽象算法，明晓算法，使学生获得思维发展方向的指引，帮助学生更好地理解十几减9的计算法则。对于低年级学生来说，情境不仅激活了学生已有知识经验，更激活了学生对算式的主动思考。学生努力通过生活化的“算理”解释数学化的“算法”。这种“破十法”“平十法”以及“9加几”的“凑整法”等，蕴含着深刻的数学“分与合”思想，是学生今后学习简便运算的基础。

二、借助操作，探寻计算法则之“本”

瑞士著名教育心理学家皮亚杰说：“儿童智慧在指尖跳跃。”学生对计算法则的建构不仅依赖于情境，更依赖于操作。实践证明，动手操作能激发学生的直观思维，引导学生的数学深度思考。对于学生来说，计算“法则”是抽象的，而“算理”却应当是直观的。只有这样，学生才能理解算理、建构算法。通常而言，“算法”解决的是“怎样计算”的程序性问题，而“算理”表征的是“为什么这样计算”的思辨性问题。算理是算法的依据、道理，算法是算理的抽象化、形式化表征。

在计算教学中，教师要为学生提供“算珠”“小棒”“圆片”等具有“齐性”的操作素材。什么是“齐性”？也就是说学生的操作素材应尽量少的具有无关属性，尽量多的具有相关属性。

教学《两位数加一位数（进位）》，以苏教版为例，教材提供的主题图是“小亮有24张画片，小明有9张画片，小红有6张画片，小亮和小红一共有多少张画片？”为此，教师可以让学生借助小棒进行操作，让学生自主探究。有学生先摆出2捆小棒，再摆出4根小棒，然后摆出6根小棒，随后就匆忙数起来。在这里，小棒成为学生“数”的素材，没有成为学生“探究”的素材。基于此，笔者这样启发学生：当4根小棒与6根小棒合起来时，有没有一捆？由此帮助学生建立“捆”的概念。在笔者的启发下，学生将4根小棒与6根小棒合起来，变成一捆，再和之前的两捆合起来。在操作中，学生建构了“满十进一”的数学计算法则模型。在操作中，学生经历了算法形成的全过程，从而能深度地理解算法、运用算法。

三、借助运用，探寻计算法则之“根”

对于学生来说，计算学习要“返本归源”“叶落归根”。所谓“根”，就是所从之、所回归的地方。对于计算法则来说，生活既是源头，又是归根。很多时候，学生由于法则运用不到位，导致计算法则不能积淀为学生的计算技能。计算教学不仅要让学生做到“理法融通”，更要做到“算用结合”。作为教师，要激活、调用、提升学生的数学计算活动经验，启发学生进行意义联结。让计算法则之根扎得更深，让计算法则之叶长得更盛。

教学《有余数的除法》时，在学生借助直观操作、观察等活动体会“余数要小于除数”之后，教师要着力引导学生对这一“法则”进行多视角、多向度的运用。通过让学生自己举例，联系经验，展开数学思考。在此基础上，教师提供已知被除数、除数的素材，要求学生求出商和余数类的;已知被除数、余数的素材，要求学生求出商和除数类的;要求學生求一个数中至多有几个几的;算式中的余数大于除数，要求学生理性判断类的;已知除数，要求余数最大是几的;已知商和余数，要求学生列举除数和被除数一共有多少种可能的，等等。通过大量的正反变式、互逆变式、多向变式，促使学生深入理解数学知识，触摸数学知识的本质，发展学生的数学学习能力，在发展学生的正向思维的同时，不断关注学生的逆向思维、发散思维、批判思维等。有了灵活的数学运用，就能提升学生的数学思维水平，突破学生数学思维局限性、思维障碍，消除学生的思维盲点、认知误区，让学生建立深刻的、清晰的、牢固的认知结构，促进学生对计算法则的深度理解。

四、借助反思，探寻计算法则之“果”

活动是认知的基础，反思是智慧生长的开始。学生学会反思，不仅收获的是知识和技能，更能收获学习能力之果。在低年级的数学计算教学中，教师除了关注学生抽象数学知识的过程，更要注重学生反思能力的培养，引导学生及时反思。

在计算教学中，教师要让学生进行及时归纳和总结，使学生在反思与联想中，沟通新旧知识的联系，建构良好的认知结构。

如教学《笔算两位数加、减两位数》时，教师引导学生在不同的阶段进行反思，使学生产生对数学学习的兴趣，培养学生合作交流的意识和良好的习惯。

1.在复习引入时，适时总结反思，激发学习兴趣

教师出示：54+20=  54-20=  54+2=  54-2=

让学生口算出得数后，交流说说是怎样算的。在学生一一交流算法的基础上，教师引导学生反思：上面的加、减整十数和加、减一位数计算方法一样吗？计算加、减一位数是在哪一位上加减的？加、减整十数呢？

学生反思后明确：计算加、减一位数是在个数上进行加减的，而加、减整十数是在十位上加减。

教师引入新课：学习两位数加减整十数、一位数时，可以依据数的组成来思考，利用小棒或用计数器拨一拨，找出几十和十位上的几十加减，个位上的几和几加减。今天老师和小朋友们来研究的两位数加、减两位数又有什么不同呢？

板书课题：笔算两位数加、减两位数

……

2.在探究算法时，适时回顾反思，促进数学理解

教师出示主题图后，交流信息：蓝汽车坐45人，黄汽车坐31人，两辆车一共坐了多少人？

让学生自主列式：45+31，启发学生思考：怎样来算得数？

回顾以前的方法：用小棒、拨小算盘的算珠来算得数。

学生尝试操作，交流，教师结合学生的汇报进行演示。

把7个十和6个一分别框一框，再把两部分圈起来。

思考：为什么是3捆和4捆要对齐摆，1根和5根对齐擺。

在学生交流的基础上，再演示拨小算盘的算珠来算得数。

教师教学笔算两位数加法的写法：先写加数45，再在下面写加数31，写加号，画横线。

……

引导学生回顾算法：在笔算加法时，竖式怎样列？为什么十位要和十位对齐，个位要和个位对齐？

理解算理是学生学习算法的基础，而理解算理，厘清计算法则则是学习计算的难点。教师通过引导学生回顾思考：为什么这样写？让学生厘清算理，明确算法，掌握法则，发展了学生的形象思维和初步的分析、抽象、概括等思维能力。

综上所述，计算是学生数学学习的根基。在小学低年级计算教学中，教师要引导学生经历数学计算算理的探索过程，帮助学生理解计算法则，让学生在学习计算的过程中，提高计算技能、增强计算能力，发展学生的数学学习自信心，发展学生的计算应用能力。在计算教学中，只有夯实、筑牢学生的计算基础，才能有效地发展学生的数学核心素养。教师可以引导学生借助情境、操作和运用，探寻数学计算法则之源、之本、之根，做到“理法融通”“算用结合”，让学生“以理释法”“依理用法”，实现学生对算理的深层理解和对算法的切实把握，使提升学生数学关键能力的同时，促使学生的数学智慧不断生长。

参考文献：

[1]荆亚琴.读懂计算教学的价值所在[J].江苏教育（小学教学），2017（7）.

[2]何竹生.也谈小学计算教学的有效性[J].教学月刊（小学数学），2014（11）.

[3]蒋敏杰.小学数学计算教学算理的结构分析及教学策略[J].中小学教师培训，2016（7）.

[4]田俊.计算教学应把握好三个维度[J].教学与管理（小学版），2017（2）.

编辑 谢尾合