试析向量数量积的多角度应用

摘 要：随着我国教育教学改革的深入，中学引入向量成为数学改革的一大特征。向量具有双重性，可表示为几何与代数两种形式，中学相关数学知识在此处交汇，势必深刻影响其他数学分支。通过向量数量的应用不仅可以处理长度与角度计算问题，也可以就位置关系处理相关问题。所以向量数量积被广泛应用于数学各项分支中。

关键词：向量;数量积;多角度;应用

一、 平面几何中向量数量积的应用

平面几何主要涉及长度、位置关系以及角度等问题，利用向量数量积这一工具可巧妙解决这些问题。在题目解答过程中，如果可以充分发挥向量数量积数形结合的优势，必定在很大程度上简化运算，使证明推导更加容易。

【例1】 在三角形ABC中，BC=a，CA=b，AB=c，如果a·b=b·c=c·a，证明三角形ABC为正三角形。

证明：∵BC=a，CA=b，AB=c，

∴a·b=|a||b|cos（π-C）=-|a||b|cosC，

b·c=|b||c|cos（π-A）=-|b||c|cosA，

c·a=|c||a|cos（π-B）=-|c||a|cosB，

∴|a||b|cosC=|b||c|cosA=|a||c|cosB，

|a||b|cosC=|b||c|cosA，

|a|cosC=|c|cosA。

由余弦定理可得|a|=|c|，同理|b|=|c|，

所以三角形ABC为正三角形。

二、 立体几何中向量数量积的应用

在解决立体几何题目时应用向量数量积可实现空间结构系统代数化，使题目更为直观地呈现在学生面前。

【例2】 如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，底面为菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°。

（1）证明：C1C⊥BD。

（2）当CD/CC1的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明。

证明：（1）∵CC1·DB=CC1·（CB-CD）=CC1·CB-CC1·CD=|CC1|·|CB|cos60°-|CC1|·|CD|cos60°，

又∵|CD|=|CB|，

∴CC1·DB=0，

∴CC1⊥DB。

（2）从（1）可知BD⊥平面CA1，

∴BD⊥CA1，

所以问题等价于证明：CA1⊥C1D时，A1C⊥平面C1BD。

设CD/CC1=λ时，A1C⊥平面C1BD，令|CC1|=t，

则|CD|=λt。

∵C1D=CD-CC1，CA1=CD+CB+CC1，

∴C1D·CA1=（CD-CC1）·（CD+CB+CC1）=CD2+CD·CD+CD·CC1-CC1·CD-CC1·CB-CC21=λ2t2+1/2λ2t2-1/2λt2-t2=t2（3/2λ2-1/2λ-1）·t2=0，

∴λ=1或λ=-2/3（舍），

∴当CD/CC1=1时，可使A1C⊥C1BD。

三、 解析几何中向量数量积的应用

【例3】 设直线l：y=x+b与椭圆C：x2/a2+y2/a2-1=1（a>1）相交于A、B两点，若l过椭圆的右焦点，且以AB为直径的圆过椭圆C的左焦点，求该椭圆C的方程。

解：由题意可得椭圆C的左焦点为F1（-1，0），右焦点为F2（1，0），且F1A⊥F1B，

∵由l过F2，得b=-1，

∴l的方程为y=x-1，

代入椭圆C的方程，得

（2a2-1）x2-2a2x+2a2-a4=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则

F1A·F1B=0，

∴（x1+1）（x2+1）+y1y2=0，

即（x1+1）（x2+1）+（x1-1）（x2-1）=0，

∴x1x2+1=0。

∴2a2-a4/2a2-1+1=0，

解得a2=2±3。

∵a>1，∴a2=2+3。

∴椭圆C的方程为x2/2+3+y2/1+3=1。

在处理解析几何问题时，若遇到以二次曲线的弦AB为直径的圆经过点M这类题目，都能通过“平面几何中直径所对的圆周角为直角”得到∠AMB=90°，也就是MA⊥MB，由此转换成“向量的数量积为零”。

四、 三角形中向量数量积的应用

诸如两角差的余弦定理等三角公式，在证明时若应用传统代数法，通常十分烦琐，而向量数量积则能够弥补这一缺陷，简单快速的完成证明过程，并且对于利用向量数量积解决其他三角形题目同样能简化运算，在理解时也相对容易。

【例4】 已知cosθ+sinφ=-1，sinθ+cosφ=1，求sin（θ+φ）的值。

解：設m=（cosθ，sinθ），n=（sinφ，cosφ），

则m2=|m|2=1，n2=|n|2=1，

mn=cosθsinφ+sinθcosφ=sin（θ+φ）。

∵（m+n）2=m2+n2+2mn=2+2sin（θ+φ），

又∵（m+n）2=（cosθ+sinφ，sinθ+cosφ）2=（-1，1）2=2，

∴2=2+2sin（θ+φ），

∴sin（θ+φ）=0。

五、 结束语

在平面几何、解析几何、立体几何以及三角中，若是均可实现向量数量积的合理有效应用，必定建立起各课程间的内在联系，刺激并恢复学生原本在脑海中建立的认知结构，加深学生认知，提高学习灵活性，并且有利于学生视野的开阔，调动其学习积极性和主动性，促进其创新发展。

参考文献：

[1]王伯根.利用平面向量数量积的几何意义巧解一类问题[J].数学之友，2018（5）：69-70+72.

[2]卓晓萍.平面向量数量积的运算策略[J].数学学习与研究，2018（19）：125.

[3]李鑫.“平面向量数量积”的解题教学研究[J].数学教学通讯，2018（30）：18-19.

[4]吴洪生.以问题驱动探究，促学生能力提升——以“平面向量的数量积”复习教学为例[J].中学数学月刊，2018（8）：4-8.

作者简介：

谈海涛，江苏省常州市，江苏省横林高级中学。