让学生在探究中提升数学核心素养

田仕芹

[摘 要]数学核心素养包括基础层面的数学知识和技能，数学能力层面的数学运算、数学推理、数学抽象、数学直观、数学建模、数据分析、数学交流，数学文化层面的数学精神、数学思想和数学方法。为提升学生的数学核心素养，教师要让学生在探究中经历概念的形成过程、抓住概念的本质特征，在命题学习中进行直观感知类探究、现实情境类探究和操作活动类探究，并在习题探究中注重整体思维、动态思维、批判思维和发散思维的培养。

[关键词]数学核心素养;概念;命题;习题;探究

数学素养一词早在1956年《数学通报》刊登的一篇苏联文献的译稿中就已出现。从20世纪80年代起，在素质教育的进程中，提高学生的数学素养成为中小学数学教学的重要任务。当今世界各国教育都在聚焦对于人的核心素养的培养，小学阶段又是基础教育的重要学段，如何理解数学核心素养，又如何在小学数学教学中引导学生探究，进而提升学生的数学核心素养，是值得探讨的问题。

一、数学核心素养的内涵和构成要素分析

数学教育学者关注数学核心素养的内涵和构成要素，从不同角度展开研究，比较有代表性的观点有二。其中一种观点侧重能力。如马云鹏认为，数学核心素养是学生通过数学学习应达成的有特定意义的综合性能力，它既基于数学知识和技能，又高于数学知识和技能，是对数学本质与数学思想的反映和体现;史宁中重视数学学科的思维品质和关键能力，认为数学学科主要培养演绎和归纳的逻辑思维，培养相应的演绎和归纳推理能力。另一种观点在重视能力的同时关注情感。如张奠宙认为，数学核心素养包括情感态度、价值观，不只是数学能力;桂德怀、徐斌艳认为，数学核心素养是数学情感态度、价值观、数学知识、数学能力的综合体现。《义务教育数学课程标准（2011年版）》中多次出现“数学核心素养”，虽没有明确界定数学核心素养这一术语，但其中提到的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识却是数学核心素养的表现。

尽管学界对数学核心素养的内涵与外延还没有形成共识，但有些数学核心素养成分是数学教育者共同关注的。如，基础层面的数学知识和技能，数学能力层面的数学运算、数学推理、数学抽象、数学直观、数学建模、数据分析、数学交流，数学文化层面的数学精神、数学思想和数学方法。

数学知识与技能旨在使学生在解决常规、简单的数学问题或实际问题过程中初步形成问题解决的意识和能力，是数学能力形成的基础。数学运算有效整合运算技能和逻辑思维，促进学生提高了程序化思考问题能力、逻辑推理能力和思维灵活性;数学推理中的演绎推理促使学生养成尊重客观事实的理性精神，合情推理促使学生养成敢于猜想的创新精神;数学抽象使学生在识别、归纳数学规律或数学问题的过程中形成抽象概括能力;数学直观使学生在利用图形描述和思考问题的过程中拓展问题解决的思路与方法，促进学生发散思维能力和直觉思维能力的形成;数学建模使学生在将实际问题转化为数学问题，求解后在回归实际问题的过程中体会数学与相关学科、社会生活的联系，体验数学的应用价值，形成应用数学的意识和能力;数据分析能力使学生在收集、判别、整合及运用信息和数据的过程中养成基于数据思考问题的习惯，形成理性思考和决策的能力;数学交流使学生在应用数学语言描述、表达、解释数学事实的过程中增进对数学的丰富认知和积极情感，在与他人交流对数学知识、思想和观念的理解的过程中加深对数学的理解，形成数学反思意识;数学精神有助于激发学生对数学的积极情感，提高兴趣、增强意志，使学生形成正确的数学观、学习观、价值观;数学思想与方法使学生在数学学习和问题解决过程中完善数学认知结构，养成数学思考能力。

二、让学生在探究中提升数学核心素养

1.概念探究

数学概念学习是对数学知识的建构过程，它包括个体的自我建构以及个体与外部交流、协商、对话的互动建构。学生在建构数学概念时，需要以一个已经建构的数学概念或已有的生活经验作为理解概念的逻辑起点，与某个数学概念相关的特定生活经验是认识这个数学概念的认知根源。如对平行线的认识，城市里的学生会以铁轨作为认知根源，乡村里的学生会以田陇作为认知根源。恰当的认知根源是学生正确理解概念的基础，教师要寻求符合学生实际情况的认知根源，促进他们理解概念、建构概念。

在概念探究中，要让学生经历感知、分析、比较和抽象的过程，以归纳方式概括出概念的本质特征，通过比较厘清概念之间的区别与联系。例如，在教学“平行四边形”时，先请学生观察课件中的平行四边形，獨立思考它们的共同特征，并与同桌交流;然后将学生分成4～5人一个小组，思考这些共同特征的验证方法，并汇报展示;再请学生观察课件中的平行四边形、长方形、正方形、梯形和六边形，厘清平行四边形和长方形、正方形的区别与联系。学生在观察、思考、概括、分类、交流等探究过程中，感悟了平行四边形的本质特征。又如，在教学“分数”时，可引导学生沿“比——一部分与另一部分之间的关系”和“数——以有理数形式出现的分数”两条主线展开探究，其中会涉及四个层面：比率——部分与整体的关系和部分与部分的关系、度量——分数单位的累积、运算——一个运算的过程、商——分数转化为除法之后运算的结果。学生在探究中获得对分数意义的理解。

2.命题探究

数学中的命题，包括公理、定理、公式、法则、数学对象的性质等。教师要适当地为学生提供“先行组织者”材料，启发学生主动、有意识地联系旧知识，积极探索、领会和发现命题。教学中，教师可创设情境，引导学生进行直观感知类探究、现实情境类探究和操作活动类探究。

（1）直观感知类探究

数学直观，既是数学抽象思维的问题信息源，又是途径信息源。教师可以借助图形、表格、案例、影像等直观感性材料，促使学生的思维在丰富、生动的直观信息支持下被激活。

例如，在教学“圆的面积”时，教材上是通过将圆分割成小扇形，将圆面积转化为长方形面积。事实上，教师可以在课堂上呈现直观图形，即半径为[r]的圆及它的外切正方形，引导学生先比较正方形的周长，再结合正方形的面积，猜测圆的面积。学生通过比较，易猜想到圆的面积为[S圆=πr2]。教师继续引导学生将圆面积转化为长方形面积验证猜想。

（2）现实情境类探究

数学源于、高于、用于生活现实。学生认知中最根深蒂固的部分就是生活中经常接触和用到的知识。数学教学要适度回归生活，針对具体内容创设与学生日常生活相关的问题情境，引导学生依据生活经验展开探究，使他们感受到数学就在身边，以有效地触发学生的思维兴奋点，培养积极的数学情感。

例如，在教学“商不变规律”时，教师可创设现实情境：“学校即将举行运动会，班里的同学和老师都积极准备，他们在不同超市买了同一种矿泉水。王华在甲超市花12元买了6瓶，周老师在乙超市花24元买了12瓶，李倩在丙超市花6元买了3瓶;邹老师在丁超市花30元买了15瓶。谁买的最便宜？”学生在熟悉的生活情境中展开探究，通过列式计算、比较，探索出商不变规律。

（3）操作活动类探究

学生在获得数学知识与技能的过程中，只有亲身参与教师精心设计的教学活动，才能在数学思考、问题解决和情感态度方面得到发展。为了促使学生真正理解数学知识、掌握数学技能，教师应基于学生的认知水平、心理特征和活动经验，组织学生开展实验、操作、尝试等活动，引导学生进行观察、分析、抽象概括，运用知识进行判断。

例如，在教学“三角形的内角和”时，教师可以提问：能否画出有两个角是直角的三角形？能否画出三个角分别为[30°、50°、80°]的三角形？学生尝试失败，电脑演示也画不出这样的三角形。这是为什么呢？学生已经隐约感到三角形的三个角之间有某种内在的联系，教师趁热打铁，引导学生通过量、剪拼、折的方式再展开探究。又如，在教学“圆的周长”时，教师课前安排学生准备以下学具：圆形纸片、纸杯、硬币、细绳、直尺、三角尺。课上请学生先用自己喜欢的方式测量圆的周长和直径，探究圆的直径和周长之间的关系，然后借助课件生动直观地演示周长和直径的关系，使学生体会函数思想。

3.习题探究

问题是数学的心脏。在习题探究中培养学生的数学思维能力，促使学生养成“数学地思维”的习惯，是培养学生数学素养的重要途径。学生在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历观察、类比、直觉、想象、归纳、抽象、运算、推理、反思等数学思维过程，有助于学生理解和体悟其中蕴涵的数学思想与方法，提升数学核心素养。

（1）基于整体思维的探究

整体思维体现在寻找问题解决的思路、方法和途径中，从整体角度出发，挖掘各个元素之间的联系。培养学生对数学问题的整体分析和思考能力，可以避免因拘泥于问题的局部而使解题受阻。教师要注意引导学生从宏观角度进行整体分析，在块状思维中把握各个量之间的内在联系，促使问题有效解决。

问题一：[求12+14+18+…+116的值]。

常规解法是按顺序依次通分求和，但过程烦琐。教师可引导学生将整体“1”平均分成两份，取其中的1份，即[12]，再将剩下的[12]平均分成两份，取其中的1份，即[14]，如此继续下去，就能发现原式等价于1- [116]，即[1516]。

问题二：有20元纸币和50元纸币共40张，合计1250元，20元纸币和50元纸币各有多少张？

这个问题与鸡兔同笼问题类似。教师可引导学生从整体思考，假设40张纸币全为20元，则合计应为800元，比1250元少450元。由于1张50元纸币比1张20元纸币多出30元，450÷30=15（张），所以50元纸币有15张，20元纸币有40-15=25（张）。同理，也可假设40张纸币全为50元求解。

（2）基于动态思维的探究

动态思维是相对于静态思维而言的，较之墨守成规、机械的静态思维，动态思维更注重从运动变化的角度把握问题的本质，注重对问题的辩证分析，灵活地运用所学知识分析问题、解决问题。

问题三：杨老师早上8：00上班。一天，杨老师从家出发前算了一下，此时如果步行，将迟到6分钟;如果骑自行车，可以提前3分钟到达。已知杨老师步行每分钟行100米，骑自行车每分钟行200米。这天杨老师是什么时候从家出发的？

有些学生拘泥于不知道家到学校的距离而思维受阻。教师可引导学生运用动态思维进行探究，假设杨老师是在8：00前t分钟出发的，t分钟内杨老师一直在步行或骑自行车，如果步行，他离学校还有6分钟的路程;如果骑自行车，他超出学校3分钟的路程。由题目中给出的步行和骑自行车的速度，可得到t分钟内骑自行车比步行多行的路程，由此求出t。