为防范错误而设计的教学

时雷

[摘 要]每一节数学课的教学设计，都应该符合课程标准，遵循教学大纲，但是，具体怎么制定教学目标和教学环节，教师却有很大的自由裁量权，甚至可以发挥无穷的创造力。对于一些理解难度大、错误率高的知识点，以防范后期的错误为出发点来倒逼教学设计的改进，不失为一个有益的尝试。

[关键词]错题;防范;教学;三角形

关于人教版教材四年级下册“三角形三边长度关系”这一知识点，有两个经典错例。典型错例1：在△ABC中，边AB长度为5 cm，边AC长度为8 cm。边BC的长度最小应大于（ ）cm，最大應短于（ ）cm。答错为“边BC的长度最小应大于12 cm，最大应短于4 cm”的学生占总答错人数的26%;因对题意理解不清而答错的学生占总答错人数的10%。典型错例2：一个等腰三角形，一边的长度为10 cm，另一边的长度为5 cm，那么据此推测第三边为（ ）cm。学生常见错解为“5 cm”。答错率为20%。

一、错因分析

对于错例1，我们通过访谈发现许多学生主要是不理解“最小应大于”“最大应短于”这两个短语的逻辑含义，从而导致思维障碍。针对这种现象，我们深入一线教学实践，最后经过科学论证，得出“题目偏难，超出了大部分学生的理解水平”的结论。建议改变提问句式，更换逻辑连接词，如将问题部分变式为“BC最小可以是（ ）cm，最大可以是（ ）cm（取整厘米数）”。当然，对于“任意两边”的表述，由于学生的认知能力处在运算阶段而未发展至形式化运算阶段，只引导学生弄明白较短两边的长度和超过第三边就行，然后结合三条边的长短差异，让学生认清这样一条定律：如果三角形长度较短的两边之和超过第三边，那么任意两条边的长度和一定超过第三边，为后续学习打下坚实的基础。

对于错例2，通过调研发现，由于注意力的广度所限，学生对多个条件规定的题目，往往会顾此失彼，即重视一个条件却疏忽另一个条件，解析问题带有片面性，缺乏通盘考虑。例如，一提到等腰三角形，学生往往将注意力集中在两条腰上，只注意到其中必有两边相等的特殊条件，而忽略了构成三角形的前提条件——任意两边之和大于第三边。访谈结果表明，学生对于三条线段能构成三角形的前提条件之所以理解不透彻，主要是题目中没有特别说明，是一个隐性的默认条件，于是学生没想到10 cm和5 cm两个答案中的“5 cm”是错解。这些都充分说明，学生没有牢固掌握三角形三条边长度间的制约关系，即“任意两边之和大于第三边”。

二、教学改进

教学时，教师应让学生在拼摆、测量等操作活动中探明三角形较短两边之和大于第三边，并应用这一性质判定三条线段能否围成三角形。不妨采用复习导入的方法，提出问题，让学生在重温三角形的特征后开始操作，尝试用三条线段围成一个三角形，选几名学生在显示屏上操作;然后用三根长度不一的吸管，演示如何围成三角形，选几名学生展示操作过程，强调线段要首尾顺次相连;最后全员操作，尝试用三根塑料棒围成三角形，先凭空想象，再画到纸上。也可以小组合作探究，提出一些有价值的问题，或者交流一下实验产生的困惑：是不是任意三根长度的塑料棒都能围成三角形？学生发现，有的能围成三角形，有的不能。接着让学生找出三截不能围成三角形的吸管，或者先不让学生找，而是让他们设想一下怎么样的三截吸管才不能围成三角形。学生充分思考后，开始按照自己的设想动手截出三段吸管，验证设想是否正确，然后汇报展示，并解说围不成的原因，提出论断：如果两截短的连起来仍比第三截要短，就休想围成三角形。最后教师板书“两短边连起来比第三边短”，组织学生分析能围成三角形的条件。学生展示后总结出“两短边连起来大于第三边，必定可以围成三角形”，然后讨论两边之和等于第三边时的情况，学生充分研讨，并通过实验操作说明。这时，教师用多媒体演示操作过程，使学生直观观察到“两短边连起来短于或等于第三边，不能围成三角形，只有两边之和大于第三边，才能围成三角形”。

让学生阅读课本，分辨课本的结论和自己总结的结论的区别，聚焦研讨两短边之和大于第三边时，是不是就确保了任意两条边的长度和大于第三边。在黑板上画出三角形，并用字母a、b、c分别表示三条边，引导学生思考如何用字母表示其长度关系，学生发现如果两短边满足a+b>c，那么也就有a+c>b、b+c>a。综合结论：在三角形两短边的长度和大于第三边的情况下，必有三角形任意两边的长度和大于第三边，此时可以围成三角形。

最后是应用拓展，判断每组塑料棒可不可以围成三角形，然后进行变式训练，解决典型易错题。三角形的三边长分别是3 cm、3 cm和5 cm，如果换掉3 cm的塑料棒，可以用多长的塑料棒替代？如果换掉5 cm的塑料棒，又可以怎么替代？让学生灵活运用三边长度制约关系来解题。同时，让学生边解题边思考第三边的长度的上限和下限，也就是“最大应短于几”和“最小应大于几”，结果一般取整数。最后就是防错环节，分析易错题：一个等腰三角形，一边的长度为10 cm，另一边的长度为5 cm，那么据此推测第三边的长度为（ ）cm。（让选5 cm的学生举起左手，选10 cm的学生举起右手）

三、教学反思

对于学生常出错的题目，我们要严格对照课程标准慎重审查，并非所有的易错题都要展示，也不是要让所有学生都对易错题形成“免疫”。小学阶段，课程标准的要求只是认识三角形，通过观察和操作，牢记“三角形两边之和大于第三边”这条重要性质。初中的要求则是不但要知道，还要会证明这条定理。从要求的变化来看，上述这道易错题，应该是培优用的，属于拓展题，不宜面向全体学生进行教学。因此我们认为，学生只需讲明不确定边最小可以是几，最大可以是几就行了。当然，对于学优生可以深入至最小要大于（8-5），最大应小于（8+5）。对于全班，只要讲明4和12之间的几个整数就成。值域在3到13之间，应该是中学教学目标的要求。而对于错例2，通过上述的教学改进，让学生确信“三角形存在的前提就是两短边之和大于第三边”就可以有效防范错误。

通过这样有针对性的教学改进，让我们再次明确了在为防范错误而设计的教学中，不但发展思维的目标得以实现，课堂更具数学味。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 王孙君.小学数学典型错题的筛选与分类[J].现代中小学教育，2019（2）：42-46.

[2] 谢祝.对人教版教材中两步“混合运算”典型易错题的分析及相应对策[J].小学教学参考，2019（5）：25-28.

[3] 孙猛.运用错题本培养学生数学反思能力的实践研究[J].小学教学参考，2018（29）：50-51.

（责编 黄春香）