基于模态分析的并联机床动态特性的研究*

董立磊，李开明，葛帅帅，舒 阳

(南京理工大学 机械工程学院，南京 210094)

0 引言

目前，分析并联机构的动力学特性，主要是分析机构的受力、速度和加速度、以及分析机构动平衡，现阶段动力学建模以及参数分析的理论已经成熟，但是对并联机构的振动特性的研究却有些不足[1]。目前研究振动特性的主要方法为理论方法、实验方法以及二者结合的方法，实验方法主要是辨识系统的动态参数，但由于并联机构自由度、耦合性以及非线性的程度都比较高，因此用理论方法进行振动特性研究是非常复杂的[2]。目前的许多研究是建立在系统的小位移的变化，忽略并联机构的支链质量和惯性等非线性的因素，将系统线性化来建立系统的振动学模型，赵强[3]和Kozak K[4]等通过对并联机构进行静力学分析来构造机构位姿的刚度和阻尼矩阵，并进一步建立机构的线性振动微分运动方程，王伟等[5]通过拉格朗日方法建立机构的动力学方程，进而分析系统的固有频率特性。

简化并联机床的振动模型，运用达朗贝尔原理和一阶影响系数矩阵来建立并联机床的多自由度振动系统的微分运动方程，应用ANSYS Workbench分析并联机床的模态，仿真计算机床的固有频率，并通过MATLAB软件对机床的前三阶固有频率的分布进行仿真分析，确定相对形变较大的位置。

1 机构描述

三平动冗余驱动并联机床的三维实体模型与结构简图如图1所示。机床主要包括定平台、冗余驱动线性模组、动平台以及3组伸缩杆(即运动支链)。上下两组运动支链通过铰链连接动平台和定平台。中间一组运动支链通过铰链连接动平台与冗余驱动线性模组上的滑块，冗余驱动线性模组固定在定平台的中间位置，此结构可增大机床的工作空间。

图1 3-2SPS并联机床三维模型和结构简图

2 机床动态特性分析基础

对于一个n自由度的线性振动系统，其运动微分方程的一般表达式为：

(1)

2.1 并联机床振动模型的建立

将复杂的电动缸分为四个相互连接由弹簧、质量块组成的单自由度振动系统[6]。并作如下假设：①将机床的机架与动平台看为绝对刚体，不会产生形变；②机床的动平台位姿为特定的状态，机床不会产生大幅度的动态变化。以上述假设为基础，可以简化并联机床的振动模型，如图2所示。

图2 并联机床振动模型

2.2 并联机床振动系统微分方程的建立

这里假设动平台在稳定状态下的位姿变化不大，以并联机床动平台为研究对象，由虚功原理可知，整个机床系统在稳定状态下产生的虚功为零，即动平台虚位移产生的虚功等于支链虚位移产生的虚功[7]。各支链虚位移所做虚功W1：

W1=fT·l=f1·l1+f2·l2+f3·l3+f4·l4+f5·l5+f6·l6

动平台虚位移所做虚功W2：

由虚功原理可得：W1=W2

l=GT·q

(2)

对式(2)分别求一阶导和二阶导得：

(3)

则支链微分振动方程的矩阵形式为:

(4)

其中，支链质量矩阵:

支链阻尼矩阵:

支链刚度矩阵:

以动平台为研究对象，建立关于动平台的力，力矩平衡方程[8]：

(5)

联立成矩阵形式：

(6)

其中，mp为并联机床动平台质量，Ip为动平台惯性矩矢量。

可得机床的振动系统的微分运动方程：

(7)

其中，M(q)=[MI+G·[ml·GT

c(q)=G·[cl·GT

K(q)=G·[kl·GT

3 自由振动下机床模态分析

3.1 自由振动下机构固有频率分析

并联机床系统固有频率由自身固有参数决定，系统的固有频率包括有阻尼的固有频率以及无阻尼的固有频率两种类型[9]。所有的振动系统都是有阻尼的，并且会对机构的振动特性有一定的影响，但当系统的阻尼很小时，其对系统的固有频率的影响可以忽略，因此研究并联机床系统无阻尼状态下的固有频率。

([k-w2[m){u}={o}

(8)

上式是一个关于{u}的n元线性齐次方程组，方程组有非零解的前提条件是系数行列式的值等于零，即△(w2)=|kij-w2mij|=0，即为系统的频率方程。

系统无阻尼自由振动情况下的振动微分方程是：

(9)

其中，[M=[mp+G[mGT，[C=G[cGT，[K=G[kGT

为得到系统固有频率，设：

{q(t)}={u}f(t)

(10)

其中，f(t)是依赖于时间的实函数，{u}是空间位置函数。

将式(10)代入式(9)得：

(11)

(12)

从而可得到系统的频率方程为：

(13)

3.2 机构自由振动固有频率仿真分析

通过上述对并联机床进行的理论分析，建立了机床的振动学模型。而机床的动态特性指标包括固有频率和振型等，固有频率与机构自身有关，不受外载荷的影响[10]。因此，研究机构振动学特性可对机构进行模态分析，了解机构的振动特性，分析机床的固有频率与相应的振型。

利用ANSYS有限元分析软件仿真机构的模态，可以得出机构的振动特性，得出并联机构的低阶固有频率和相应的振型，对并联机床进行模态仿真分析，其各阶振型如图3所示。

(a) 1阶固有频率 (b) 2阶固有频率

(c) 3阶固有频率 (d) 4阶固有频率

(e) 5阶固有频率 (f) 6阶固有频率 图3 机构各阶振型图

通过有限元分析得出，并联机床的第1阶固有频率是67.254Hz，机床的振型状态是动平台和支链在x轴的方向上来回摆动，上机架向x轴的正方向上偏移，在动平台和伸缩杆内套筒处产生最大位移；机床的第2阶固有频率是120.34Hz，振型状态是伸缩杆在z轴方向上来回摆动，而动平台则绕着x轴进行摆动，在动平台与二级伸缩杆处产生最大位移；机床的第3阶固有频率是141.68Hz，振型状态是支链在x轴的方向上来回摆动，而动平台则绕着z轴进行摆动，在动平台和一级伸出套筒的连接处产生最大位移；第4阶固有频率是149.23Hz，振型状态是伸缩杆1和伸缩杆2在z轴的方向来回摆动，在动平台与伸缩杆3的一级伸出套筒处产生最大位移；第5阶固有频率是152.41Hz，其振型状态是伸缩杆1和伸缩杆2在z轴的方向上来回摆动，在动平台与伸缩杆2的伸出套筒处产生最大位移；第6阶固有频率是160.72Hz，振型状态是上下两组伸缩杆在x轴的方向上来回摆动，而中间的两伸缩杆则在z轴的方向上摆动，动平台则绕着y轴的方向摆动。机床模态有限元分析的结果如表1所示。

表1 模态分析结果

根据上述模态分析结果可知，在忽略机床床身振动影响前提下，支链的振动特性对机构整体的影响最大。并且机构的前3阶固有频率即可体现机构动态特性，机床中的每条运动支链刚度较低，从机床的刚度角度和振动角度来看，运动支链为薄弱环节，因此改善运动支链的静态性能和动态性能对于提高机床静态性能与动态性能有着重要的作用。

通过MATLAB对机床的前3阶固有频率进行建模分析，并作以下设定：取g=-400mm，将扫描截面取作y=800mm，-100mm≤x≤1000mm，-550mm≤

z≤550mm，步长取△l=20mm，通过分析可以得出机床的固有频率分布情况，如图4所示。

(a) 1阶固有频率 (b) 2阶固有频率

(b) 3阶固有频率

通过机床的前3阶固有频率分布图可以看出：机床的第1阶固有频率随着y坐标的增大而增大；随着x坐标的增大而先增大后减小。机床的第2阶固有频率和1阶固有频率分布规律相似，2阶固有频率的变化速率相对于1阶固有频率较小。机床的第3阶固有频率与前2阶固有频率的分布规律恰好相反。

由上述分析结果可知，机床在x轴方向上的刚度较为薄弱，通过结合ANSYS与MATLAB的仿真结果，可以更好地预测机构的固有频率在并联机床工作空间中的分布规律。

4 总结

以3-2SPS并联机床为研究对象，分析并简化并联机床的振动模型，运用达朗贝尔原理和一阶影响系数矩阵来建立并联机床的多自由度振动系统的微分运动方程，应用ANSYS Workbench有限元分析软件对并联机床进行模态仿真分析，总结机构的前6阶固有频率与振型规律，并通过MATLAB软件对影响机床振动特性的前3阶固有频率的分布进行仿真建模，得出机构的固有频率在机床的工作空间中的分布规律。确定结构形变较大的位置。研究结果为并联机床的减振技术的研究提供了理论依据，具有一定的参考意义。