初探机械振动的有效复习策略

浙江

机械振动是一种重要的运动形式。在高中阶段，机械振动的知识要点主要包含简谐运动的规律、单摆的运动特点、振动图象的意义和受迫振动的特征等四个方面。为了巩固和掌握有关机械振动的相关知识，有效提高复习效果，本文就机械振动的有效复习作粗浅探讨以供参考。

一、掌握四大要点

1.简谐运动特点

(1)动力学特征。振动物体所受的回复力与位移成正比，即F=-kx，方向始终与位移方向相反，且总是指向平衡位置。

(3)对称性。在振动轨迹上关于平衡位置对称的两点，位移、回复力、加速度等大反向；速度等大，方向可能相同，也可能相反；动能、速率等大；振动质点从平衡位置开始第一次通过这两点所用的时间相等。

(4)周期性。简谐运动是周期性运动，其位移、速度、加速度、回复力、动能和势能都随时间做周期性变化。

(5)能量关系。机械振动的能量只取决于振幅，与周期和频率无关；简谐运动中只有动能和势能间的相互转化，则系统机械能守恒。

2.振动图象

振动图象反映一个振动质点的位移随时间的变化规律，由图象可直接读出振幅、周期和任意时刻的运动方向。

由于振动的周期性和非线性，在从任意时刻开始计时的一个周期内或半个周期内，质点运动的路程都相等(分别为4A和2A)，但从不同时刻开始计时的四分之一周期内，质点运动的路程不一定相等。

3.单摆

(1)单摆模型。将一根轻质且不可伸长的细线，一端固定另一端系一质量大而体积小的钢球。单摆是一个理想化的物理模型。

(2)回复力。由重力沿圆弧切线方向的分力提供，而不是重力和绳子张力的合力提供。

4.受迫振动

(1)受迫振动：物体在外界驱动力作用下的振动。受迫振动的频率在振动稳定后总是等于外界驱动力的频率，与物体的固有频率无关。

(2)在受迫振动中，驱动力的频率接近物体的固有频率时，受迫振动的振幅增大，这种现象叫共振。

二、辨析四个关系

1.回复力和合力

使做机械振动的物体回到平衡位置的力叫回复力。回复力是一种效果力，是振动物体在振动方向上所受的合力，但不一定是物体所受的合力。回复力可能由某一个力，或某一个力的分力，或某几个力的合力提供。在平衡位置，回复力为零，但物体在该位置所受的合外力不一定为零。回复力的方向总是指向平衡位置。

2.平衡位置和最低点

做机械振动的物体，所受回复力为零的位置叫平衡位置。平衡位置不一定是最低点，且所受合力不一定为零。

平衡位置是运动过程中一个明显的分界点，一般是振动停止时静止的位置，并不是所有往复运动的中点都是平衡位置。存在平衡位置是机械运动的必要条件，有很多运动，尽管也是往复运动，但并不存在明显的平衡位置，所以并非机械振动。

3.振动图象和振动轨迹

简谐运动图象表示做简谐运动质点的位移随时间变化的关系，是一条正弦(或余弦)曲线，振动图象不是质点运动的轨迹。

4.振动图象和波的图象

(1)研究对象不同。振动图象是单个物体，而波的图象是沿波传播方向上所有质点。

(2)物理意义不同。振动图象表示质点在各个时刻的位移，波的图象表示某时刻所有质点的位移。振动图象上任意两点表示该质点在不同时刻偏离平衡位置的位移，而波的图象上任意两点表示不同的两个质点在同一时刻偏离平衡位置的位移。

(3)一个完整波形所占横坐标的距离意义不同。振动图象表示一个周期，波的图象表示一个波长。

(4)图线的变化规律不同。振动图象随时间推移而继续延伸，原来部分形状不变；波的图象随时间推移图象将沿传播方向平移，原来部分将不复存在。

(5)相同点。机械波是振动在介质中的传播，两者都是按正弦或余弦规律变化的曲线，振动图象和波图象中的纵坐标均表示质点的振动位移，它们中的最大值均表示质点的振幅。

三、熟解九大题型

1.简谐运动基本特点类

利用简谐运动的基本特征和基本特点解题，基本特征是运动学特征和动力学特征，基本特点是对称性和周期性。

【例1】弹簧振子在AOB之间做简谐运动，O为平衡位置，测得A、B之间的距离为8 cm，完成30次全振动所用时间为60 s，则

( )

图1

B.振子的振动频率是2 Hz

C.振子完成一次全振动通过的路程是16 cm

D.从振子通过O点时开始计时，3 s内通过的路程为24 cm

【例2】(2017年北京卷)某弹簧振子沿x轴的简谐振动图象如图2所示，下列描述正确的是

( )

图2

A.t=1 s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值

B.t=2 s时，振子的速度为负，加速度为正的最大值

C.t=3 s时，振子的速度为负的最大值，加速度为零

D.t=4 s时，振子的速度为正，加速度为负的最大值

【分析】从图象中看到，当t=1 s时，振子在最大位移处，此时它的速度为零，加速度最大，加速度的方向指向平衡位置，即沿x轴负方向，选项A正确；同理可知，选项BCD均错误。

2.振动图象类

从振动图象上可直接得出的振动情况有：①任意时刻相对平衡位置的位移，或由振动位移判定对应的时刻；②振动周期T，振幅A；③任意时刻回复力和加速度的方向；④任意时刻的速度方向。

【例3】一质点做简谐运动的图象如图3所示，下列说法中正确的是

( )

图3

A.质点的振动频率是4 Hz

B.在10 s内质点经过的路程是20 cm

C.第4 s末质点的速度为零

D.在t=1 s和t=3 s两时刻，质点的位移大小相等、方向相同

【分析】从振动图象上可直接读出周期为4 s，则频率为0.25 Hz，选项A错误；在10 s内质点经过的路程是s=2.5×4A=20 cm，选项B正确；从图中可知，第4 s末质点处于平衡位置，此时的速度最大，选项C错误；在t=1 s和t=3 s两时刻，质点的位移大小相等、方向相反，选项D错误。

3.回复力类

回复力是一种效果力，是振动物体沿振动方向所受到的合力，它可能是某个力或某个力的分力亦或是物体受到的合力提供。

【例4】关于回复力，以下说法中正确的是

( )

A.回复力是振动物体所受到的合外力

B.回复力是除了重力、弹力、摩擦力之外的另一种力

C.回复力的大小跟位移成正比，方向始终相反

D.回复力可能是某个力提供，也可能是某个力的分力提供

【分析】由回复力的性质可知，AB选项都是错误的，而D选项是正确的；只有简谐运动，回复力的大小跟位移成正比，方向始终相反，对于其他的振动，回复力的大小跟位移并不成正比，因此，C选项错误。

4.单摆类

单摆由小球的重力沿圆弧切线方向的分力提供回复力。解题时要特别注意单摆周期公式中摆长L和重力加速度g的涵义。

【例5】摆球质量相等的甲、乙两单摆悬挂点高度相同，其振动图象如图4所示。选悬挂点所在水平面为重力势能的参考面，由图可知

( )

图4

B.ta时刻甲、乙两单摆的摆角相等

C.tb时刻甲、乙两单摆的势能差最大

D.tc时刻甲、乙两单摆的速率相等

5.周期性问题类

振动过程中，振动质点相对于平衡位置的位移随时间做周期性变化，这体现了时间的周期性。这个特征决定了振动问题通常具有多解性。为了准确地表达振动的多解性，通常写出含有“n”或“k”的通式，再结合某些限制条件，得出所需要的特解，这样可有效地防止漏解。

【例6】(2018年天津卷)一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点。t=0时振子的位移为-0.1 m，t=1 s时位移为0.1 m，则

( )

C.若振幅为0.2 m，振子的周期可能为4 s

D.若振幅为0.2 m，振子的周期可能为6 s

【分析】当t=0时刻振子的位移为x=-0.1 m，t=1 s时刻x=0.1 m，关于平衡位置对称；如果振幅为0.1 m，则1 s 为半周期的奇数倍；如果振幅为0.2 m，分靠近平衡位置和远离平衡位置分析。

6.受迫振动类

受迫振动的周期取决于驱动力的周期，与固有周期无关。当驱动力的周期(或频率)等于固有周期(或固有频率)时，振动的振幅最大。

图5

【例7】(2013年江苏卷)如图5所示的装置，弹簧振子的固有频率是4 Hz。现匀速转动把手，给弹簧振子以周期性的驱动力，测得弹簧振子振动达到稳定时的频率为1 Hz，则把手转动的频率为________。

A.1 Hz B.3 Hz C.4 Hz D.5 Hz

【分析】根据受迫振动特点可知，振子的振动频率等于驱动力的频率，可见，此时把手转动的频率为1 Hz，选项A正确。

7.钟表问题类

对走时不准的摆钟进行调整的问题，应抓住以下三点：(1)摆钟的机械构造决定了钟摆每完成一次全振动，摆钟所显示的时间是一定的，也就是走时准确摆钟的周期T。(2)在摆钟机械构造不变的前提下，走时快的摆钟，在给定时间内全振动的次数多，周期小，钟面上显示的时间快；走时慢的摆钟，在给定时间内全振动的次数少，周期大，钟面上显示的时间就慢。(3)无论摆钟走时是否准确，钟面上显示的时间t显=T×全振动的次数，其中T为走时准确摆钟的周期，对于走时不准确摆钟，计算其全振动的次数，不能用钟面上显示的时间除以其周期，而应以准确时间除以其周期。

【例8】有一摆钟的摆长为l1时，在某一标准时间内快a分钟，摆长为l2时，在同一标准时间内慢b分钟，为使其准确，则摆长应为多长？(可把钟摆视为摆角很小的单摆)

【分析】设该标准时间为ts，准确摆钟摆长为lm，走时快的摆钟周期为T1s，走时慢的摆钟周期为T2s，准确的摆钟周期为Ts，不管走时准确与否，钟摆每完成一次全振动，钟面上显示的时间都是Ts。

8.综合应用类

求解机械振动与其他知识的综合题，关键是弄清知识的联系点，再结合相关物理规律和机械振动知识建立方程。

图6

【例9】如图6所示，将质量mA=100 g的平台A连接在劲度系数k=200 N/m的弹簧上端，形成竖直方向的弹簧振子，在A的上方放置mB=mA的物块B，使A、B一起上下振动。若弹簧原长为5 cm，g取10 m/s2。求：

(1)当系统进行小振幅振动时，平衡位置离地面C的高度；

(2)当振幅为0.5 cm时，B对A的最大压力；

(3)为使B在振动中始终与A接触，振幅不得超过多少？

【分析】(1)将A与B整体作为振子，当A、B处于平衡位置时，根据平衡条件得kx0=(mA+mB)g

解得弹簧形变量

则平衡位置距地面的高度为h=l0-x0=5 cm-1 cm=4 cm

(2)已知A、B一起振动的振幅A=0.5 cm，当A、B振动到最低点位置时，加速度最大，其值为：

加速度的方向竖直向上。

取B物块为研究对象，其受到重力mBg、A对B的支持力FN，其合外力为F=FN-mBg

根据牛顿第二定律得FN-mBg=mBam

解得FN=mB(g+am)=0.1×(10+5) N=1.5 N

根据牛顿第三定律知道，B对A的最大压力大小为

(3)取B为研究对象，当B振动到最高点时，受到重力mBg和A对B的支持力FN，其合力为B的回复力：

F回=mBg-FN

根据牛顿第二定律得mBg-FN=mBa

当FN=0时，B振动的加速度达到最大值，其最大值为

取A与B整体为研究对象，受到的最大回复力为

则振动系统的振幅为

当振幅A′>1 cm时，B与A将分离，为使B在振动中始终与A接触，振动系统的振幅A′<1 cm。

9.实际应用类

机械振动作为一种重要的运动形式，在实际中有着广泛的应用。求解时要注意弄清实际问题与机械振动模型的联系，再结合机械振动的相关知识建立方程。

【例10】在心电图仪、地震仪等仪器工作过程中，要进行振动记录，如图7(1)所示是一个常用的记录方法，在弹簧振子的小球上安装一支记录用笔P，在下面放一条白纸带。当小球振动时，匀速拉动纸带(纸带运动方向与振子振动方向垂直)，笔就在纸带上画出一条曲线，如图7(2)所示。

图7(1)

图7(2)

(1)若匀速拉动纸带的速度为1 m/s，则由图中数据算出振子的振动周期；

(2)作出P的振动图象；

(3)若拉动纸带做匀加速运动，且振子振动周期与原来相同，由如图7(3)中的数据求纸带的加速度大小。

图7(3)

(2)由图7(2)可以看出P的振幅为2 cm，则振动图象如图8所示；

图8

(3)当纸带做匀加速直线运动时，弹簧振子的振动周期仍为0.2 s，由图7(3)可知，两个相邻0.2 s时间内，纸带运动的距离分别为0.21 m、0.25 m，由匀变速运动的规律Δx=aT2得