河北
在相互接触物体的系统中,由于外力作用或运动状态发生变化,导致两个物体之间的相互作用力发生变化,在一定条件下会发生分离。因问题环境错综复杂,分离点的确定通常是解决此类问题中的关键点和难点,这就需要在相应的环境下进行分析推理,抓住分离时相互作用力为零,以及对应接触物体的速度、加速度等特点,使问题得以解决。这类问题经常出现在高考中,很多学生由于不能快速找到解决问题的关键而失分,本文旨在对高中常遇到的这些问题进行归类探析,希望能对读者有所帮助。
物体或系统的运动状态发生变化时,物体间的弹力大小也随之变化,当加速度满足一定条件时,可能会出现物体与接触面分离。
【例1】如图1所示,光滑水平面上,在倾角为45°光滑斜面体的顶端P处固定细线的一端,细线的另一端拴一质量为m的小球,现对斜面体施加逐渐增大的水平外力,使斜面体与小球一起向左加速运动,求:
图1
(1)当斜面体至少以多大的加速度向左运动时,小球对斜面的压力为零;
(2)当斜面体以a=2g的加速度向左运动时,细线的拉力为多大。
【分析】设小球在斜面上随斜面一起加速时,受力分析如图2所示,受到的拉力为FT,斜面对小球的支持力为FN。
水平方向满足FTsin45°-FNcos45°=ma
竖直方向满足FTcos45°+FNsin45°=mg
随着加速度的增大,综合以上两式可以看出拉力FT逐渐增大,支持力FN将逐渐减小,减小为0后再增大加速度,小球将由斜面上离开。
图2
图3
【解析】(1)当小球对斜面压力为零时,对小球受力分析如图3所示。
竖直方向FTcos45°=mg
水平方向FTsin45°=ma
联立得a=g
图4
(2)当斜面体以a=2g>g的加速度向左运动时,小球会“飘”起来,对小球受力分析如图4,假设FT与竖直方向夹角为θ。
竖直方向FTcosθ=mg
水平方向FTsinθ=ma
【例2】如图5所示,半径为R的光滑圆柱体恰好放在一个木质的圆弧槽内,球心为O,它们的左边接触点为A,槽半径略大于R,且OA与水平面成α角。圆柱体的质量为m,木质槽的质量为M,木质槽处于光滑水平面上。现给木质槽一水平向右的拉力F,要使圆柱体和木质槽一起加速运动且保持相对静止,拉力F大小需满足什么条件。
图5
【分析】当F增大到一定值时,圆柱体将从槽中飞出,关键是得出此时对应的受力条件。
【解析】对系统整体分析可知F=(m+M)a。
当加速度达到一定值时到达临界状态,此时圆柱体对圆弧的底部压力为0,只受重力和点A的支持力,加速度再增大球可能从槽内飞出,受力分析如图6所示。
图6
竖直方向满足FNsinα=mg
水平方向满足FNcosα=ma
【反思】在以上两个问题中,球与斜面或槽的底面压力随着系统的加速度增大,压力会逐渐减小,球与斜面或圆柱体与圆弧槽会出现分离情形,解决问题的关键是落实分离时对应的临界条件。
相互接触的两个物体,在弹簧作用下一起运动的过程中,相互作用力也会随位置的变化而变化,在一定条件下也可能分离,但分离的位置需要视具体情况确定。
【例3】如图7所示,O为弹簧的原长位置,物块A、B是紧靠在一起的两个物体,物体B与弹簧相连接,当用外力将弹簧压缩至一定程度后放手,物体A、B在弹力的作用下向左运动,一段时间后两个物体分开,两物体均可视为质点,两物体与地面间的动摩擦因数分别为μA和μB,则关于两物体运动过程中分离的位置,以下说法正确的是
( )
图7
A.若水平面光滑,A、B一定在O点分离
B.如果μA等于μB,两物体在O点右侧分离
C.如果μA大于μB,两物体在O点左侧分离
D.如果μA小于μB,两物体的分离点在O点的左侧
【反思】两物体一起做变加速直线运动,过程中相互作用力逐渐减小,当相互作用的弹力FN等于零时;两物体出现分离,此时两物体瞬时加速度相等,不能简单地认为两物体在弹簧原长时分离。
系统在弹簧弹力及外力共同作用下做匀加速运动,由于弹簧弹力不断变化,导致系统内物体间的相互作用力逐渐变化,在一定条件下也会出现分离现象。
图8
【例4】如图8所示,一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都不计,盘内放置一个物体P处于静止状态,P的质量m=10 kg,弹簧的劲度系数k=250 N/m。现在给P施加一个竖直向上的力F,使P从静止开始向上做匀加速直线运动,已知在t=0.2 s内F是变力,在0.2 s后F是恒力,g=10 m/s2,则F的最小值和最大值分别是
( )
A.240 N,360 N B.250 N,350 N
C.50 N,150 N D.200 N,300 N
【反思】在这个问题中,盘的质量不计,一直处于平衡状态,物体与盘分离即与弹簧分离,根据弹力的作用特点,可知分离时弹力为0,确定分离时的相关方程,可知弹簧在原长分离。
图9
【例5】如图9所示,一个弹簧台秤的秤盘质量为1.5 kg,弹簧质量不计,盘内放置一个物体P处于静止状态,P的质量为10.5 kg,弹簧的劲度系数k=800 N/m。现给P施加一个竖直向上的力F,使P从静止开始向上做匀加速运动。已知在前0.2 s内F是变化的,在0.2 s后F是恒力,g=10 m/s2,求:
(1)未施加力F时,弹簧的压缩量;
(2)物体做匀加速直线运动的加速度大小;
(3)F的最小值与最大值分别是多少?
【解析】(1)设P的质量为m,盘的质量为M,未施加拉力时,由平衡条件和胡克定律得
(M+m)g=kx1代入数据得x1=0.15 m
(2)物体与盘一起运动时对整体受力分析知
F+kx-(M+m)g=(M+m)a
对盘由牛顿第二定律得kx-FN-Mg=Ma
向上运动过程中,加速度恒定不变,弹簧的形变量x减小,弹力减小,相互作用力FN也会逐渐减小,当相互作用力减小为零时,两物体出现分离kx2-Mg=Ma
联立可解得a=6 m/s2
(3)刚开始作用时力F最小
Fmin+kx1-(M+m)g=(M+m)a
代入数据得Fmin=72 N
物体离开盘后拉力F最大Fmax-mg=ma
代入数据得Fmax=168 N
【反思】此题易错点在于把握不住分离条件,错误地认为P与盘分离时,盘受力平衡,即Mg-kx=0。本题对物理过程的分析能力要求较高,通过对此物理过程的分析后,列出秤盘运动过程中的动力学方程,确定两物体分离的临界点。当弹簧作用下的两物体加速度、速度相同且相互作用的弹力FN=0时,恰好分离,注意由于此时物体具有向上的加速度,弹簧弹力大于秤盘质量,因而弹簧所处的位置不是原长。
物体沿圆轨道做圆周运动时,当速度以及在轨道上的位置发生变化时,物体与轨道间的压力也会发生变化,在一定条件下会出现物体脱离轨道的情形。
【例6】如图10所示,一半径为R的光滑半球面固定在水平地面上,小物块A由顶端无初速度滑下,以下有关物块运动说法正确的是
( )
图10
A.物块将沿弧面一直运动到地面
B.物块在运动至圆弧面上某个位置时与弧面分离
D.物块整个运动过程中加速度大小可能不变
图11
( )
图12
A.若hA=hB=2R,则两小球都能沿轨道运动到最高点
C.适当调整hA和hB,均可使两小球从轨道最高点飞出后,恰好落在轨道右端口处
【反思】物体在圆周轨道上运动时,做的是圆周运动,随着速度的变化物体与轨道间的相互作用力也不断变化,当与轨道间压力减小到0时,将脱离轨道做抛体运动,但要注意分离时物体的速度不为零。
在一些多物体关联的系统中,由于重力、电场力等约束条件物体静止于地面上或墙面上,系统内部由弹簧连接,在一定条件下,系统内部在弹力与外力作用下使物体之间或物体与地面、墙面分离,理解并熟练应用分离条件便会轻松解决问题。
【例8】如图13所示,挡板P固定在足够高的水平桌面上,小物块A和B大小可忽略,它们分别带有+QA和+QB的电荷量,质量分别为mA和mB。两物块由绝缘的轻弹簧相连,一不可伸长的轻绳跨过滑轮,一端与B连接,另一端连接一轻质小钩。整个装置处于场强为E、方向水平向左的匀强电场中。A、B开始时静止,已知弹簧的劲度系数为k,不计一切摩擦及A、B间的库仑力,A、B所带电荷量保持不变,B不会碰到滑轮。求:
(1)若在小钩上挂一质量为M的物块C并由静止释放,可使物块A恰好能离开挡板P,求物块C下落的最大距离;
(2)若C的质量改为2M,则当A刚离开挡板P时,B的速度多大。
图13
故C下落的最大距离为h=x1+x2
(2)由能量守恒定律可知C下落h过程中,C重力势能的减少量等于B电势能的增量、弹簧弹性势能的增量、系统动能的增量之和。
当C的质量为M时Mgh=QBE·h+ΔE弹
当C的质量为2M时
【例9】如图14所示,在光滑水平面上有一表面光滑、质量为M的立方体物块,一长度为l的轻杆下端与固定在地面上的光滑铰链连接于O点,可在图中竖直面内自由转动,杆的另一端连接着一个质量为m的小球,小球靠在立方体的左侧,开始时杆与水平方向成α角,立方体右侧受到水平向左推力F的作用,整个系统处于静止状态,若现在撤去水平推力F,则下列说法中正确的是
( )
图14
A.小球在落地瞬间和立方体分离
C.小球和立方体分离时刻的速度相等
D.小球和立方体分离时刻小球的加速度为g
【分析】撤去外力F后,小球将以O为圆心下落,同时推动立方体物块加速向右运动,落地时速度竖直向下,下落的整个过程中小球水平方向的速度先增大后减小,而物块在水平方向上只能加速而不能减速,因而小球在下落过程中会与物块分离。
【反思】巧妙利用分离时的关键条件,“相互作用力为0”,对有相对运动的系统采用隔离法与整体法综合分析,便可将复杂的问题迎刃而解。