多元表征： 赋予学生数学学习自然生长的力量

李连仓

摘  要：表征可以分为外在表征和内在表征。认知心理学认为，表征在学生学习知识、理解知识中发挥着重要的作用。在数学教学中，教师要引导学生进行多元表征。通过多元表征，引导学生建构数学知识，发展操作技能，提升学生的数学思维，让学生的数学学习能真正发生。

关键词：小学数学;多元表征;自然生长

“表征”就是“代表”“表示”和“象征”等意思，就是用某种形式将实物的特征表达出来。一般来说，表征可以分为外在表征（如文字、图形、具体物、情境等）和内在心理表征。认知心理学认为，表征在学生学习知识、理解知识中发挥着重要的作用。南京大学哲学系郑毓信教授认为，“数学地看待世界、解决问题”可被看成数学素养的显性表现。在数学教学中，引导学生进行表征，帮助学生学会思维，让学生逐步学会想得全面、清晰、深刻、合理等，能赋予学生数学学习自然生长的力量。

■一、多元表征，促进学生的知识建构

学生的数学学习，首先就是知识的建构。“多元表征”无疑会成为学生数学知识建构的脚手架，成为发展学生数学素养的重要路径。常见的数学知识表征，一般可分为动作表征、表象表征与符号表征等。借助于外在的实物、模型、图像、符号等，促进学生的内在心理编码。比如语言表达可以催生学生的言语码，图形、图像等的数形结合教学可以生成学生的心像码，而对数学知识的关联性教学，可以生成学生的心理整合码等。

教学《长方形和正方形的周长》，教师可以引导学生运用多种不同的表征来建构知识。比如对于理解长方形周长比较困难的学生，教师可以提供具有齐性特质的小棒，引导学生摆出一个长方形。在摆的过程中，学生自然能形成长方形周长的表象，认识到周长的本质。比如教师可以引导学生画长方形，让学生能直观感知、直观感受、体验长方形的周长。在引导学生建构长方形周长公式的过程中，教师也要循序渐进，引导学生逐步抽象，从“长+宽+长+宽”再到“两个长+两个宽”，再到“长与宽的和的2倍”。在动作表征、图像表征、文字表征的基础上，引导学生用符号进行表达，从而发展学生的符号表征思维。不仅如此，教师还要引导学生在不同的表征之间进行转换。如此，学生就能感受、体验到数学符号表征的简洁性、优越性。

知识建构是学生数学学习的根基，多元表征，能优化知识建构的学习样态，让学生从多个视角、运用多种方法进行学习。多元表征，一方面能彰显数学知识的内涵，赋予数学知识意义;另一方面能调动学生的多种感官，让学生的多种感官协同活动，从而增进学生对知识的感受、体验，深化学生对知识的理解。

■二、多元表征，促进学生的技能完善

学生的数学学习，不仅仅是“知识学习”，更是“技能学习”。小学数学学习中的技能是多样的，既包括画图、操作等外显的操作技能，也包括方法、策略等内隐的思考技能等。在数学教学中，教师要放手让学生探究，引导学生用自己的方式投入数学学习之中。在数学教学中，重要的是让学生经历数学知识的形成过程。

比如教学《因数和倍数》这部分内容，过去，许多教师往往从乘法算式以及除法算式开始，引导学生建立“因数”“倍数”的概念。这样的教学，学生感受、体验不充分、不到位。为了深化学生的认知，笔者认为应当引导学生经历抽象、提炼、概括因数、倍数的全过程。通过引导学生用小正方形搭建长方形，引导学生认识“因数和倍数是相辅相成的”“一个数是另一个数的因数，那另一个数就是这个数的倍数”。在摆的过程中学生还发现，用同样的12个小正方形还可以摆成不同形状的长方形。那么，12个小正方形一共可以摆成多少个不同规格的长方形呢？学生一边操作、一边思考，从而不仅能找出一个数的因数，而且能逐步有序地找出一个数的所有因数。如此，在建构数学知识的过程中，促进了学生数学技能的完善。学生的数学学习过程不仅仅成为一种认知的过程，更是一种生命实践的活动过程。

在数学学习中，有学生擅长画图，有学生擅长操作，还有学生擅长直观想象。不同的学生，其认知风格是不同的，其所表现出的技能水平、技能操作倾向等也会有所不同。作为教师，应当尊重学生的操作，引领学生的操作，让学生的操作技能在探索数学知识的过程中获得多元生长。

■三、多元表征：促进学生的思维提升

学生的数学学习，归根结底是发展学生的数学核心素养。学生的思维力是数学核心素养的重要组成部分。有学者认为，任何表征都能表达部分但不是全部信息，都能凸显其中一部分信息而隐藏另一部分信息。因而单一的表征是不利于学生对知识的全面理解的，而多元表征则能反映事物的整体性面貌。多元表征，能促进学生数学思维的提升。一方面，多元表征能让学生的数学思维走向丰富，另一方面，多元表征能让学生的数学思维走向深刻。

比如教学《分数的初步认识（一）》，有教师认为，学生是第一次接触分数，因而对分数的概念学习是零起点，其实不然。尽管分数是一个抽象的、复杂的概念，但学生还是有着丰富的前概念背景的。有学生是听到爸爸妈妈说的，如“半个”“一半”;有学生是阅读的数学课外书上的……尽管学生只是模模糊糊地有一些认知，但这些认知却是学生分数学习的基础。值得注意的是，学生在日常生活、经验中所生成的分数概念不太科学，有的甚至存在着错误。作为教师，要充分运用学生前概念中有意义的部分，促进学生的认知。笔者在教学中引导学生尝试对分数进行表征，用自己喜歡的方式表示“二分之一”，结果学生的表征多种多样，如有学生将长方形、圆形、平行四边形、等腰三角形等平均分成2份，表示其中的一份。在学生表征的基础上，笔者引导学生进行概括。学生在消除形状、位置、大小等非本质属性后，抽象出了“平均分的份数”和“表示的份数”等关于分数的本质属性。学生认识到，无论是什么样的图形、形体等，只要平均分成相同的份数，所表示的分数就是相同的。在比较、抽象、概括各种表征之后，学生抓住了分数的意义的本质，逐步建构起分数的模型。

理性的数学化、形式化的思考，是建立在感性操作、观察等外在表征层面上的。在数学教学中，多元表征有助于学生举一反三、触类旁通。在这个过程中，教师要引导学生内省、自悟，从而发展、提升学生的数学思维，让学生的数学学习力自然生成，让学生的数学核心素养不断发展。通过多元表征，引导学生建构数学知识，发展操作技能，提升学生的数学思维，让学生的数学学习能真正发生。