对一道高考圆锥曲线试题的研究和拓展

陕西

随着课改的进一步实施，高考的考查更具针对性和灵活性.考能力、考方法、考学生分析、解决问题的能力,为进一步提升学生的应对能力和适应能力，2018年高考落幕后，全国各地试卷中出现诸多具有研究价值和值得借鉴的好试题.

一、试题呈现

(2018·北京卷理·19)已知抛物线C：y2=2px经过点P(1，2).过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.

(Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围；

解：(Ⅰ)因为抛物线y2=2px经过点P(1，2)，所以4=2p，即p=2，故抛物线的方程为y2=4x.由题意知，直线l的斜率存在且不为0.

设直线l的方程为y=kx+1(k≠0).

又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，-2).从而k≠-3.

所以直线l斜率的取值范围是(-∞，-3)∪(-3，0)∪(0，1).

做完这道题笔者做了一个大胆的猜想：第二问的结论能否对一般情况也成立呢？答案是肯定的，具体来看.

=2.

此结论对于抛物线是成立的，那么对于椭圆和双曲线成立吗？请和笔者一起来研究.

二、试题拓展及探源

此定理证明可仿照前面结论，由于篇幅有限，在此不再赘述.

只要思考，就有收获.只有对问题做了深入的思考，才能体会到数学的奥妙及神奇，要多思考，正如此高考题一样，首先要弄清此题的背景，这样才有提高.在平时教学中要多思、多想，这样数学会因思考而更加精彩，一个好的数学试题，除了问题本身精彩外，还应该具有推广的潜力，是许多相关知识的交汇点.此题就具有这样的推广潜力.