高考压轴题的解题策略——“以退为进”

广东

一、“以退为进”的基本思路

常规的解题思路都是将结论等价转化，对于很多“难题”，等价转化往往很难实现.我们可以弱化或强化条件、结论，再结合题目条件进行改进，获得最终的结论.

通过强化或弱化条件、结论，表面上看离结论越来越远，而实质上是为我们解题提供了更多的突破口.本文仅以导数类的压轴题为例，向读者说明此类试题的解题策略和答题技巧.

二、例题展示

例1(2018·全国卷Ⅱ·理11文12)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=

( )

A.-50 B.0

C.2 D.50

分析：该题考查函数的奇偶性、对称性以及周期性.利用常规方法求解也并不复杂.但如果我们强化条件，却可“秒杀”该问题.

总结：通过强化条件所得的结论为答案的充分条件，为了验证答案的正确性还需要说明其必要性.作为选择题，利用答案的唯一性即可验证答案的正确性.

例2已知函数f(x)=ln(x2+a)-x-lna(a>0).

(Ⅱ)设集合A=[1,+∞)，集合B为使f(x)<0在(0,+∞)上恒成立的实数a的取值范围.求证：集合A是集合B的真子集.

分析：该题的第(Ⅰ)问属于常规问题，第(Ⅱ)问的本质是求解集合B，但对该范围的求解涉及超越方程的求解，所以该题的出题方式向学生展示了解决该类问题的一般思考方向，即在无法精确解出集合B的情况下，求解集合B的大致范围，即集合B的一个真子集.

当a≥1时，f′(x)≤0在R上恒成立，即f(x)在R上单调递减.此时当x>0时，f(x)

上面的解答过程涉及构造新函数、零点存在性定理等解题技巧，解答过程太复杂，学生很难掌握.我们可以退而求其次，当a≥1时可得集合A是集合B的子集.若可证明当0

反过来思考，上面两种解法都是通过强化条件获得了证明，常规解答强化得更多，但常规解答获得的信息也更丰富.综合比较起来，两种方法各有优劣，希望读者仔细揣摩.

例3(2017·全国卷Ⅱ理·21节选)已知函数f(x)=ax2-ax-xlnx，且f(x)≥0.求a.

分析：本题并不复杂，求解方法也较多，常通过构造“切线”求解.本文接下来，通过加强条件f(x)≥0，获得a的值，再验证a值正确性，即上文所提的“以退为进”策略.

解析：f(x)的定义域为(0,+∞).令g(x)=ax-a-lnx，则有f(x)=xg(x)，

则f(x)≥0等价于g(x)≥0.

综上可知，a=1.

总结：由g(1)=0和g(x)≥0得g′(1)=0的依据是导数的定义及极限的保号性，证明如下：

根据上面的证明可知，条件g′(1)=0是条件g(1)=0且g(x)≥0的必要不充分条件.结合上面的分析可知，本题的解答过程本质上是弱化了条件，所求结果的范围大于结论的范围，上面解答的后半段就是在验证其充分性.

所以h(x)在(1,+∞)上单调递增，又因为h(1)=0，所以h(x)≥0.即对应的结论成立.

总结：此方法的精髓在于，先弱化题干条件，求得一个大致的范围，再结合题干信息满足题目要求.

通过本题的研究，我们可以获得一个解决此类问题的一般策略.此策略类似于不完全归纳法，即通过有限的信息猜测一般的结论，再验证结论的正确性.通过强化或弱化条件结论，可以找到解题的切入口.但要注意的是，通过此策略所得的答案与结论并不完全等价，还需要后续的检验与调整.

三、练习

1.(2017·全国卷Ⅲ理·21节选)已知函数f(x)=x-1-alnx.若f(x)≥0，求a的值.

答案：a=1.

提示：易知f(1)=0，且f(x)≥0，得f(x)min=f(1)，即可得f′(1)=0，代入导数公式即可得答案.

2.(2013·全国卷Ⅱ理·21节选)已知函数f(x)=ex-ln(x+m).当m≤2时，证明f(x)>0.

提示：f(x)>0等价于ex>ln(x+m).所求式要求m≤2，易知ln(x+m)ln(x+2)进行证明.

答案：2.

4.已知函数f(x)=ex(x2+axcosx+1).若对∀x∈[0,1]，都有f(x)≥2x+1恒成立，求实数a的最小值.