归类整理，直面高考——导数在三角函数中的应用举例

四川

在近几年高考数学试题中,笔者总结发现涉及三角函数这一板块的考查常见的有函数的极(最)值、三角函数的单调性、三角函数的单调区间、三角函数的恒成立、三角函数的图象判断和曲线的切线斜率等问题，若从导数这一角度去处理将给我们带来不一样的惊喜.本文通过近几年高考题或模拟试题来说明导数在三角函数中的应用,以飨读者.

一、有关极值点

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A.(-∞,-6)∪(6,+∞) B.(-∞,-4)∪(4,+∞)

C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

【评注】利用导数研究极值，极值点是关键.由极值点的性质可得到函数在极值点的导数值为0，建立等式关系，从而将x0转化为m的表达式,进一步用不等式进行求解.当然要留意导函数为0的点不一定是极值点.

二、有关图象

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A

B

C

D

【评注】利用导函数来判断函数的图象，不仅要看函数的奇偶性，还要看函数的一些局部性质，如根据局部点的切线斜率的正负即导函数的正负来判断单调性等，尤其在同一区间内导函数的绝对值越大，则图象越陡，这也是判断图象之间区别的一个细微之处.

三、关于零点

【例3】设函数f(x)=aex-2sinx,x∈[0,π]，有且仅有一个零点，则实数a的值为

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【解析】因为函数f(x)=aex-2sinx,x∈[0,π]，有且仅有一个零点，

【评注】利用导数研究函数的零点问题，实际是转化为研究函数的图象与x轴交点问题，常常先将函数与方程进行转化，其中常使用分离变量法构造函数，进一步转化为求两函数图象的交点问题，利用导数研究单调性、极值或最值，画出两个函数图象，再进一步研究两图象交点问题.其中参变分离有时易于减少讨论，使用频率较高.

四、求参数范围

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【评注】函数在某区间的单调性是通过导数转化为不等式恒成立的问题，其中在函数的递增区间,导函数恒大于等于零；在函数的递减区间,导函数恒小于等于零.

五、恒成立问题

【例5】已知函数f(x)=sin2x+2sin2x-1在区间[0,m]上单调递增，则m的最大值是

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【评注】本题主要考查三角函数单调区间的求解，利用导数及三角函数的图象和性质是解决本题的关键，同样是将单调性转化为不等式恒成立问题.

六、解不等式

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【评注】解这类不等式的关键点在于构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数，结合导数转化为不等式问题求解.

七、有关切线问题

【例7】(2017·山东卷理·20节选)已知函数f(x)=x2+2cosx，g(x)=ex(cosx-sinx+2x-2)，其中e=2.718 28…是自然对数的底数.求曲线y=f(x)在点(π，f(π))处的切线方程.

【解析】由题意f(π)=π2-2又f′(x)=2x-2sinx，所以f′(π)=2π，

因此曲线y=f(x)在点(π，f(π))处的切线方程为y-(π2-2)=2π(x-π)，

即y=2πx-π2-2.

【评注】函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率.相应地，切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0).注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同.

八、有关比较大小问题

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A.a

C.b

【解析】因为函数f(x)=3x+2cosx，所以导函数为f′(x)=3-2sinx，

可得f′(x)=3-2sinx>0在R上恒成立，所以f(x)在R上为增函数，

【评注】本题主要考查利用导数判断函数的单调性，以及利用单调性比较函数值的大小.此类题型的主要思想是将几个式子中的变量尽可能转化到一个单调区间内，进而在单调区间内比较大小.

九、有关极值问题

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【评注】利用导数研究函数的极值主要是根据导函数为0转化为方程求解.

十、有关切线倾斜角

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【评注】导数的几何意义即切线的斜率，与切线的倾斜角密不可分，所以三角函数与导数常常联系在一起，其中要注意正切函数只有单调增区间，以及周期性表达需完整.

十一、有关最值问题

【例11】(2018·全国卷Ⅰ理·16)已知函数f(x)=2sinx+sin2x，则f(x)的最小值是________.

【评注】在求解函数最值的过程中，需要明确相关函数的求导公式、导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调递增区间和单调递减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入即求得函数的最小值.

十二、求导函数的值

【评注】求导函数的值主要是在求解的过程中明确相关函数的求导公式，如果原式较复杂，可通过恒等变形化简再求导，尤其要注意复合函数的求导.

十三、求单调区间

【例13】(2014·湖南卷文·21节选)已知函数f(x)=xcosx-sinx+1(x>0).求f(x)的单调区间.

【解析】(Ⅰ)因为f(x)=xcosx-sinx+1(x>0),所以f′(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.由f′(x)=-xsinx=0解得x=kπ(k∈N*)，则函数f(x)的单调递减区间为(2kπ,(2k+1)π)(k∈N*),单调递增区间为((2k+1)·π,(2k+2)π)(k∈N*).

【评注】对函数f(x)求导得到导函数f′(x)(x>0),通过求f′(x)>0和f′(x)<0的解集分别得到函数单调递减区间和单调递增区间,但是必须注意正余弦函数的周期性和原函数的定义域(0,+∞).求三角函数的单调区间时尤其要注意周期性和表达式中k为整数.