模型建构助力“解三角形的综合应用”

李露

摘   要：高中阶段的数学内容更加抽象，建立数学模型，有助于高中生在真实或者虚拟情境中，积极进行数学思考.以“解三角形的综合应用”学习为例，阐述模型建构和模型建构助力学生数学思考和对数学知识的理解、应用.

关键词：解三角形的综合应用;数学思考;模型建构;助力

立德树人是新时代教育的根本任务，目的是为培养具有振兴民族能力的人才奠定基础.数学学科的特点是培养学生用数学的眼光看世界、用数学的思想做事情的素养，高中数学应该引导学生对实践问题情境进行探索，引发学生对情境进行数学思考，建立情境数学模型，借助模型思考解决数学问题.学生建立解三角形综合应用的模型，借助模型进行数学思考，探究实践中解三角形问题的解决办法，是一种有效的学习方式.

1  数学建模对“解三角形的综合应用”学习的意义

数学知识来源于生产、生活实践，又运用于生产、生活实践.解三角形的综合应用主要是解决生产、生活实践中距离、高度的测量以及角度的计算等实际问题，其手段主要是运用正弦定理、余弦定理、三角恒等变换、三角函数的性质等，帮助学生加强数学知识的应用研究，体验数学广泛的应用价值.

1.1  数学模型有益学生学以致用

解三角形的综合应用通过运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量、几何计算有关的实际问题，学生用数学的视角思考解三角形的实践情境，建立解三角形的模型，用解三角形知识解决实际问题.学生建模的过程就是吸收数学知识、理解数学知识、运用数学知识的过程，建模过程中的数学思考是学生数学学科学习的核心.数学思考基础上模型建构与数学模型基础上数学思考相互促进提升数学思维能力，提高学生运用解三角形的知识解决实践问题能力，以发展学生适应未来社会发展需要的必备品格.

1.2  模型建构助力学生数学思考

可以说，没有数学思考就不可能进行数学模型建构，建模的过程就是学生数学思考的过程;数学模型建立促进学生对数学知识的理解、运用，促进学生进行数学思考.日常数学课堂教学解读文本和单纯知识讲解，很难激发学生学习的兴趣，灌输式的教学、模仿式的训练，加重了学生学习负担，也不利于学生深刻理解知识，运用知识.借助数学模型引导学生探究模型变化，调动学生学习积极性，改进学生学习方式，让学生体验知识，理解和运用知识.如解三角形的综合应用问题的常用术语是仰角、俯角、方向角、方位角，学生可以建构模型加以理解，如图1、2，模型，学生就会一目了然.

学生观察图2模型，就能理解方向角是指相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等;方位角是指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α.学生还可以根据自己平时生活体验建立小山坡模型，得出坡度就是坡面的垂直高度与水平长度之比，所以坡度又称坡比.学生还可以通过建立三角形的模型解决应用问题中竖直高度、水平距离的解法，通过对模型的思考，运用解直角三角形、解两个直角三角形解决底部可达、底部不可达问题;运用正、余弦定理解决山两侧、河两岸、河对岸问题.

2  借助模型进行“解三角形的综合应用”

通过对解三角形的现实情境进行数学思考，促进学生发现和提出数学问题、分析和解决数学问题.改变了学生被动接受者的角色，数学建模过程是以学生为主体、问题为中心、探究为手段，能有效挖掘学生数学潜能，让学生成为数学学习的主人.基于模型的数学思考也是以学生为主体，学生围绕问题借助模型，探究问题解决方法，提高学生运用数学知识的实践能力.

2.1  运用模型引导学生解决高度问题

以“解三角形的综合应用”为例，让学生借助建立的模型解决测量高度的问题.如无锡灵山是一座风景秀丽的山峰，通往灵山大佛有一条拾级而上的笔直山路和一条乘坐缆车的索道，见图3，登山者打算不坐缆车，而是花2个小时的时间进行徒步攀登.已知山脚B到山路点D相距1千米，从山脚平面上点A观测点D的仰角是30○，到山顶C的直线距离是3千米.AB之间的距离是1千米，登山者徒步攀登的速度为每小时1.2千米。问登山者能否在2个小时内徒步登上山峰（即从B点出发到达C点）.

首先要根据题意进行数学思考，建立数学模型，再依据模型进行数学思考。求出BC之间的距离，才能够解决2个小时内是否能够徒步登上山峰.

2.2  借助模型引导学生思考角度问题

数学应用就是对实际情境进行数学思考、抽象，建立实际情境数学模型，研究模型，探索解决问题的办法.例：如图4，海面上东西方向有两个相距5（3+）km的A，B两个观测点.位于A点北偏东45°方向。B点北偏西60°方向上的D点的游船发出求救信号，此时救援船位于相距B点20km、南偏西60°的C点，救援船最快航行速度为30 km/h.救援船到达D点至少需要多长时间？学生借助模型思考救援船怎样用最短时间到达救援地点，需要求出救援船从北偏东多少度出发，直线距离最短.

2.3  借助模型引导学生思考距离问题

模型建构不仅要立足课堂教学，还要把学生带进真实的或者模拟的数学情境，丰富学生数学探索的情感体验。着力培养学生数学思考、建模用模的自觉行为，形成“思考——建模——思考”的数学学习习惯，将数学素养落实在平时的学习过程之中.如一条海防警戒線上有A，B，C三处水声监测点，B点、C点到A点的距离分别是20和 50千米，声波在水中传播的速度是1.5千米/秒.某时刻，在B处收到发自静止目标P处的一个声波信号，8秒后A，C同时接收到该声波信号.已知静止目标P到海防警戒线A，C的距离是多少.根据情境，建立数学模型，依据模型解决问题.

模型建构是高中生必备的数学素养，需要在数学探究活动中不断积累.解三角形的综合运用的模型建构需要注意情境的边角关系及隐含的条件、注意空间与平面模型的联系.