剩余类环Zn可分式化为域的判定

庄 颖, 张孝金, 朱子阳

(南京信息工程大学 数学与统计学院，江苏 南京 210044)

引 言

分式化和局部化是交换代数中重要的工具。对于一个交换环，考虑它在某个乘法闭子集下的分式环的结构如何。在[1]中提到了给定环上分式环的结构与其对应的乘法闭子集的包含关系是有关的，利用这个想法，我们对一类性质比较好的环进行分析。本文对Zn的分式环进行研究，我们得到并证明了Zn可分式化为域当且仅当存在素数p整除n且p2不整除n，并且其分式环的结构是与n有关的。更多关于分式环的研究参见[2-4]。

本文中的环均为具有单位元的交换环；环同态均保持加法、乘法和单位元；环A的乘法闭子集S是一个包含单位元而且在A中乘法封闭的子集；环A对一个乘法闭子集S的分式环记为S-1A。

1 预备知识

首先对乘法闭子集与零因子之间的关系进行讨论。为了使讨论有实际意义，我们规定元素0不能在乘法闭子集S里面。

命题1.1[5]设A是有零因子的环，如果A的一个乘法闭子集S中不含零因子，则S-1A中必含零因子。

命题1.2[1]设环同态g：A→B使得：

(1)任意t∈T，g(t)是B中的单位；

(2)由g(a)=0可以推出存在u∈T，使得au=0；

(3)B中的任意元素形如g(a)g(t)-1，其中a∈A，t∈T；

那么存在唯一的同构h：T-1A→B，使得g=hf，这里f：A→T-1A。

命题1.3 设A环，假如存在乘法闭子集S使得S-1A为域，则对任意乘法闭子集T⊇S，有域的同构S-1A≅T-1A。

证明：根据命题1.2，取B=S-1A，g(a)=a/1。由于S-1A是域，命题1.2条件(1)必然成立。(2)、(3)可直接验证。

从命题1.3可以看到，假如A可以分式化为域，则必定存在一个乘法闭子集链：

Si:S1⊆S2⊆…⊆Sn⊆…，

定义1.4 设a为环A中的零因子。称集合A(a)={x|ax=0,x∈A}中的元素为a的伴随零因子。规定环A的一个乘法闭子集S的伴随集为A(S)=∪s∈ΛA(s)，其中Λ是S中所有零因子所组成的集合。

对于Zn而言，其乘法闭子集S的伴随集有如下的性质：

命题1.5 设A=Zn为n阶剩余类环，S是一个乘法闭子集，则(i)A(S)∩S=∅；(ii)A(S)是Zn的理想。

证明：(i)如果存在x∈A(S)∩S,则有sx=0∈S,这与0∉S矛盾；

(ii)对任意a、b∈A(S),存在s、t∈S使得sa=tb=0，所以有st(a-b)=0,因此a-b∈A(S)；对任意r∈A(S),sra=0，因此ra∈A(S)。所以A(S)是Zn的理想。

2 主要结论

为了给出主要的判定定理，我们需要如下几个引理：

引理2.1 对于任意正整数n以及正整数sn，存在正整数k，使得

证明：由于有

因此根据Euler定理[6]，命题成立。

引理2.2 设素数p整除n，则S=Zn<[p]>是Zn的一个乘法闭子集，且有环同构S-1Zn≅Zn/A(S)≅Zk，其中k=n/|A(S)|。

证明：注意到<[p]>是Zn的一个极大理想，所以S是一个乘法闭子集。

下证第1个同构。定义映射f：Zn→S-1Zn，f([n])=[n]/[1]，f显然是同态。

第二个同构是显然的。

推论2.3 (Zn<[p]>)-1Zn是域当且仅当A(Zn<[p]>)是极大理想。

至此，我们已经可以给出一些特殊的剩余类环是否可以分式化为域的断言：

推论2.4Zq不可通过分式化成域，其中q=pk，p是素数，k≥2。

证明：由于Zn有唯一的极大理想<[p]>，根据命题1.1和推论2.3即得。

更一般地，下面给出Zn可分式化为域的充分必要条件。

定理2.5Zn可分式化为域当且仅当存在素数p整除n且p2不整除n。

而Si是不含<[pi]>的最大乘法闭子集(由命题1.3，我们只需要讨论这类闭子集)，根据引理1.5(i)，Α(Si)⊆<[p]>。又由于

所以A(Si)是<[pi]>的真子集。因此Zn的任一极大理想都不可能是某个乘法闭子集的伴随集，由推论2.3，Zn不可能分式化成域，与条件矛盾。

充分性。由于<[p]>是极大理想，则为素理想，故取S=Zn<[p]>为乘法闭子集，下证A(S)=<[p]>。对任意[x]∈A(S)，总存在S中的元素[m]∉<[p]>，使得[x][m]=[0]∈<[p]>。因此有[x]∈<[p]>。另一方面，对任意[y]∈<[p]>，由于p2不整除n，取

有

故[y]∈ΑA(S)。由推论2.3，Α(S)是极大理想，因此S-1Zn是域。

3 例 子

假设Zn是n阶剩余类环，那么

1.当n=12时，取S={[1]，[4]}，不难计算A(S)=<[0]>,<[3]>,<[6]>或<[9]>是Z12的一个极大理想，因此Z12可分式化为域，且由引理2.2可以确定S-1Z12≅Z3。

2.当n=36时，Z36的极大理想只有<[2]>和<[3]>。可以验证不存在乘法闭子集S，使A(S)=<[2]>或<[3]>。因此不可分式化为域。