数列的高考风向标

罗小林

热点1：求通项公式

递推数列是高中数列的重要组成部分，是高考命题的热点之一.利用递推关系或数列的求和公式求数列的通项公式的问题，需要同学们重点关注.

预测题1 已知数列{an}中，a1 =1，an+1 = ，则an=______.

参考答案 an =

预测题2 已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=n2+3n+2，则an=______.

参考答案 an =2n+2，n≥2，6，n=1.

预测题3 已知数列{an}，{bn}均为等差数列，且前n项和分别为Sn和Tn，若 = ，则 =

A.             B.             C.             D.3

参考答案 A

预测题4 已知数列{an}满足a1=1，3nan+1=2（n+1）an.

（Ⅰ）判断数列{ }是否为等比数列，并说明理由.

（Ⅱ）求数列{an}的通项公式.

提示 利用已知条件构造等比数列{ }，求出数列{ }的通项公式，从而得到数列{an}的通项公式.

参考答案 （Ⅰ）数列{ }是以1为首项、 为公比的等比数列.

（Ⅱ）an =n（ ）n-1.

预测题5 已知数列{an}满足a1=1，n2an+1=（n+1）2an.

（Ⅰ）判断数列{ }是否为等比数列，并说明理由.

（Ⅱ）求{an}的通项公式.

参考答案 （Ⅰ）数列{ }是以1为首项、1为公比的等比数列.

（Ⅱ）an =n2.

预测题6 已知数列{an}满足a1=3，an+1=6an+3n+2，bn= +3.

（Ⅰ）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由.

（Ⅱ）求{an}的通项公式.

参考答案 （Ⅰ）数列{bn}是以4为首项、2为公比的等比数列.

（Ⅱ）an =2·6n-3n+1.

热点2：求等差数列前n项和的最值

公差非零的等差数列的前n项和是关于正整数n的二次函数，利用抛物线的对称性可求得等差数列的前n项和的最值.公差非零的等差数列的通项公式关于正整数n是单调的，利用相邻两项乘积非正可求等差数列的前n项和取得最值时n的值.

预测题7 记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2=-24，S4=-90.

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式.

（Ⅱ）求Sn的最小值.

提示 由等差数列的通项公式和等差数列的前n项和公式求出a1和d，从而得到数列{an}的通项公式.根据Sn是关于n的二次函数，从而得到Sn的最小值.

参考答案 （Ⅰ）an =3n-30.

（Ⅱ）Sn的最小值为-135.

预测题8 记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a3=24，S16 >0，S17 <0.

（Ⅰ）求数列{an}的公差d的取值范围.

（Ⅱ）当Sn取得最大值时，求n的值.

参考答案 （Ⅰ）-

（Ⅱ）n=8.

预测题9 已知等差数列{an}中，-2

（Ⅰ）求数列{an}的公差d的取值范围.

（Ⅱ）当数列{an}的前n项和Sn取得最小值时，求n的值.

参考答案 （Ⅰ）0

（Ⅱ）n=4或n=5.

热点3：错位相减法求数列前n项的和

当通项公式形如等差数列乘以等比数列时，通常利用错位相减法求其前n项和.

预测题10 记Sn为递增的等比数列{an}的前n项和，已知a2=2，S3=7，bn=（n+2）an.

（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式.

（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Tn.

提示 由a2=2，S3=7，求出 a1和q，从而得到数列{an}的通项公式，进而得到数列{bn}的通项公式.然后利用错位相减法求得数列{bn}的前n项和Tn.

參考答案 （Ⅰ）bn=（n+2）2n-1.

（Ⅱ）Tn=（n+1）2n-1.

预测题11 已知公比为q（q≠1）的等比数列{an}中，a1=- ，S3=3a3.

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式.

（Ⅱ）若bn=（-1）n（2n-1）an，求数列{bn}的前n项和Tn.

参考答案 （Ⅰ）an=（- ）n.

（Ⅱ）Tn=3- .

热点4：裂项求和证明不等式

当数列的通项公式是分式型，且分子为常数，分母为关于n的二次式，求前n项和时，通常需要考虑裂项相消法.

预测题12 记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a3=4，S8=44，bn=（n+2）an.

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式.

（Ⅱ）若数列{ }的前n项和是Tn，证明： ≤Tn< .

提示 根据a3=4，S8=44，求出a1和d的值，从而得到 ，然后对数列{ }的通项公式裂项，从而得到证明.

参考答案 （Ⅰ）an=n+1.

（Ⅱ）（证明过程省略）

预测题13 已知公差为1的等差数列{an}中，a2，a3，a4可作为一个直角三角形的三边长，且a4最大.

（Ⅰ）求数列{an}的前n项和Sn.

（Ⅱ）数列{bn}中，若bn= ，求数列{bn}的前n项和Tn .

参考答案 （Ⅰ）Sn= .

（Ⅱ）Tn= - - - .

在高考数学全国卷中，第一道解答题通常是数列题，难度不大.同学们需要掌握递推数列、等差数列及其前n项和、等比数列及其前n项和等基础知识，会用错位相减法、裂项相消法等常见的求和方法.证明不等式还需要掌握常见的放缩技巧.