不一样大也可以用分数表示吗

【摘   要】分数有“份数”“商”“度量”“比”以及“算子”等不同的意义，在“份数”的意义中，也存在不同层次的理解，学生在初步认识分数时，建立的是连续量上的形状、大小完全一样的“平均”概念;在再认识分数时，需要理解抽象的数量一样意义上的“平均”。让学生从意义理解的角度来认识分数，在教学中要有不同的层次，在分数的再认识中，需要考虑学生对“平均”的理解的过渡，也要注意让学生能以灵活的眼光重新看待“1份”。

【关键词】分数的意义;分数的再认识;份数;平均

分数是小学数学课程的重要内容，理解分数的意义和性质是小学生数概念发展的重要里程碑，分数的内容通常也被认为是小学生数学学习的难点之一。[1]在我国多个版本的小学数学教材中，学生通常在三年级开始学习分数。以人教版教材为例，三年级上册第8单元为“分数的初步认识”，其中有三个主要内容，一是“分数的初步认识”，二是“分数的简单计算”，三是“分数的简单应用”。[2]在“分数的简单应用”中，有一个问题容易忽视，学生却可能存在一些困惑。

如图1，将6个苹果像图中这样圈起来，分成三份以后，明显每份苹果所在区域面积不一样，为什么也是“平均分成”？为什么也可以用[13]或者[23]表示？更进一步，如果苹果的大小也不一样，是否仍然可以用分数表示呢？如教材下一页中，“有12个学生，其中[13]是女生，[23]是男生。男女生各多少人？”很明显，男生和女生不一样，而且每个学生都不一样，为什么还可以用[13]和[23]来表示？

因为这里用分数表示，需要以“平均分”为前提。在这种情况下，“平均”体现在哪里呢？另一方面，学生对于分数，又该如何“再认识”呢？教师应该对与此相关的数学概念进行梳理，进而可以对教学进行进一步的思考。

一、分数有哪些不同的意义

一般认为，分数是在实际度量和物品均分中产生的。在小学数学中，把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫作分数。[3]这也是《辞海》中对分数的定义。但事实上，这应当只是分数的其中一种定义。比如，张奠宙就指出可以考虑对分数的定义进行更多思考，[4]认为应该从“份数”“比”“商”“公理化”这4个不同层次来定义分数，并进一步明确指出，“分数的份数定义可以作为起点，但是，不宜过分强调，应该迅速向更抽象的分数定义转移。”[5]史宁中也强调了分数作为数的意义的重要性，“人们通常称形如[ab]的数为分数，称其中的a为分子、b为分母，在一般情况下，要求分子和分母都是正整数。”[6]也有将分数定义为数轴上的点，“固定一个自然数n>0，将单位线段[0，1]分为n个相等的部分，那么[1n]表示0右边第一个分点。[7]1

早在1982年Kieren就提出分数有五种不同层面的意义，即份數（部分与整体的关系）、商、度量、比以及算子（operator）。[8]

（1）份数。分数的产生需要有一个前提，即对整体进行平均分。因此“份数”的定义与平均分这一实际操作有直接的联系。分数的份数定义由于能够简便地给学生提供具体的分实物的操作，因此经常被作为分数引入时所用的定义。

（2）商。事实上，分数的真正来源在于数系的扩张。分数的份数定义是基于现实情境与现实操作的方法，但分数还需要有纯数学上的定义，就是指使两个整数相除的商。

（3）度量。与整数一样，分数也是可以“数”出来的。以[23]为例，它是指“在数线上，表示到0点的距离有2个[13]单位的数”。但由于分数跟整数不一样，可以用来“数”的计数单位不是直观可见的，这对学生理解分数造成了一定的困难。

（4）比。分数还可以表示两个整数的比值。这也是分数作为有理数的本质，同样大小的分数可以有不同的表示方法，也就是“分数的基本性质2”，这也是分数能进行各种运算的基本前提。

（5）算子。分数“算子”的意义通常与分数的乘法与除法相关，是指在某些情境的乘除法中，分数表示的是一种运算关系。如“女生有6位，男生的数量是女生的[23]，问有多少位男生”这一题目中，我们可以列出乘法算式6×[23]。根据分数的意义，这道题的计算方法应该是6÷3×2。所以，这里的[23]是一个算子，表示的是“÷3×2”这样一种运算关系。

二、“分数的再认识”要认识什么

分数有多种不同的意义，学生对于分数意义的理解是有不同阶段和层次的。学生一般在三年级时最早学习分数，采用的都是份数的定义，关键词中除了“平均分”，“其中的一份”或“每人分得”之外，还有一个词很重要，就是“它的”“这个苹果的”，也就是说，强调的是一种关系。

在初步认识分数之后，各版本教材都安排了学生再次认识分数的内容，不过年级不同。比如，人教版教材中，在三年级“初步认识”和“简单计算”后面的“简单应用”，就需要学生再次认识分数。在这里，强调的还是“平均分成几份，取其中的1份”，仍然还是份数的意义。那么，在这里需要“再认识”什么呢？

（一）怎么再认识“平均”

首先需要明确的是，这里的分数也是平均分出来的，而“平均”一定包含了“一样”的意思。只是，“一样”在什么地方，学生如何理解“平均”，值得深入思考。

如图2所示，将一个正方形“平均”分成4份，这里可以很明显看出，分出来的这4个小正方形形状和大小完全一样，这里的“一样”是直接可以看到的。而学生在学习分数的初步认识时，就是以这样的“一样”去理解“平均”的，所分得的部分需要在形状和面积上都一样，才是平均，才可以用分数表示。当学生看到图1，都能知道2个苹果应该用[13]表示，并且说这里的苹果平均分成3份，取了其中的1份。然而，图1中的6个苹果的确分成了3份，但这里分得的三个区域形状、大小并不一样，为什么会是“平均”呢？

当笔者进一步问图1中到底有没有平均分时，学生的回答出现了不同的层次，多数学生发现这里的区域其实并没有平均划分。如果进一步追问这里是否还能用[13]表示的时候，绝大多数学生的第一反应都是不能。只有少数学生感到困惑，进入深度思考。之后有学生认为这里画的只是示意图，看起来好像不一样，其实是一样的，并尝试重新去画每一块区域，想使它们变得一样大。只有个别学生能够说出，这里是指对苹果的数量平均分，跟划分区域没有关系。可以看出，学生有以下不同层次的理解：第一层次，认为分出来的图形的大小和形状必须完全一样，才是平均分;第二层次，认为分出来的图形的大小必须一样，形状可以不同;第三层次，认为这里的平均是指苹果的数量，跟所划分的区域没有关系。事实上，学生还有更高的层次，比如苹果的大小可以不一样，甚至还可以将其中一些苹果换成其他水果。

在学生最初接触分数的时候，是以份数意义来理解分数的。但在这个意义上，对于“平均”是有不同的理解的。比如，在台湾的分数教材中，对具体情境中的量作了连续量与离散量的区分。在连续量情境中的整体量强调要等分或平分，也就是大小要一样，但形状不一定要相同。但是，在生活中到处是离散量情境，离散量在乎的是它的个数而不是属性（如大小、形状等）。[9]

（二）该怎么再认识“1份”

在“再认识”分数时，还有一个重点，就是把“1个东西”（图2的大正方形）平均分过渡到把“1个整体”（图1的6个苹果）平均分。相应地，分出来的1份也从1个对象（图2中的1个小正方形）到多个对象（如图1中的2个苹果）。因此，需要“再认识”1份，或者说，学生要学会用不同的眼光来看待“份”。

如图3，一般都非常强调平均分成3份，圈出来的部分是2份，所以这里应该是[23]。这样的强调当然是必要的，学生需要认识到多个对象也可以是1份。但如果只是过于强调这个图是分成了3份，恐怕会有另一个问题。比如在这节课上，笔者问过很多学生，这里圈出的部分能用[69]表示吗？均回答说不可以，说这里明明只分成了3份，怎么会有[69]。也就是说，如果只能看到这是3份里的2份，而看不到9个里的6个，对于学生再次认识分数而言，恐怕也不是理想的状况。

因此，这里需要让学生用灵活的眼光看到不同的部分与整体之间的关系，也就是能以不同的方式看待1份。当然，这里不是要教分数基本性质，而是要帮助学生理解，这里用[23]或[69]表示都是有意义的。比如像下面这样的任务就很好。给出8只袜子，圈出其中的2只，那么可以用[28]表示，因为这是8只里的2只;而如果把每2只袜子叠在一起，同样是圈出来的这2只袜子，也可以用[14]表示，因为这也是4双袜子里的1双。这样的活动当然还可以很多，比如15瓶酸奶里的5瓶，是[515];每5瓶装成1盒以后，就是3盒里的1盒。

三、两点教学建议

第一，让学生从意义理解的角度来认识分数。分数之所以成为学生学习的“难点”，其原因是多方面的。但归根结底，困难主要是由于对分数意义没有理解或者理解得不全面。比如，学生发现以[14]为单位，一直往上数，这样可以数到[54]，这是分数的“度量”意义。然而，虽然他们能接受[54]这种形式的分数，但让他们进一步说明意义时，有学生还是说把一个东西平均分成4份，取其中的5份，但随即又发现，4份里不可能取到5份，于是对[54]的意义非常困惑。

此外，研究表明，我国学生对于分数运算能够熟练计算，可是对于“运算”的理解，却存在一定的缺陷。学生在学习过程中，学到的多是操作性的活动，而不是深刻的理解。[10]因此，在小学分数教学中，应注意帮助学生从以上多个不同方面去理解分数的意义，并努力实现这些方面的必要互补与适当整合，只有在多种意义的理解上的教学才可能帮助学生真正理解分数的本质，也才可能真正掌握分数各种复杂的运算。[11]

第二，为了更好地帮助学生理解分数的意义，在教学中要有不同的层次。要从分数的初步认识、分数的再认识、分数的意义以及分数的应用等不同层次帮助学生更好地理解分数，并关注学生理解分数意义的困难所在。譬如，同样是份数的意义，学生的理解也有不同的层次。学生在初步认识中建立的那种对连续量的形状、大小完全一样的平均概念，并不一定能自然过渡到对抽象出来的数量一样这个意义上的平均的理解。因此，在分数的再认识中，需要考虑学生对“平均”的理解的过渡，也要注意让学生能以灵活的眼光重新看待“1份”。除此之外，在后续阶段的学习中，还需结合具体的情境和数量让学生更进一步理解作为份数意义的分数的相对关系。

参考文献：

[1] [8] 章勤琼，徐文彬. 论小学数学中分数的多层级理解及其教学[J]. 课程·教材·教法，2016，36（3）：43 – 49.

[2] 人民教育出版社课程教材研究所小学数学课程研究开发中心. 义务教育教科书教师教学用书：数学（三年级上册）[M]. 北京： 人民教育出版社， 2012： 89 – 103.

[3] 吴正宪， 刘劲苓， 刘克臣. 小學数学教学基本概念解读[M]. 北京：教育科学出版社，2014：162.

[4] 张奠宙. 与时俱进，推陈出新——谈分数定义的修改[J]. 小学教学（数学版），2014（5）.

[5] 张奠宙. 分数的定义[J]. 小学教学（数学版）， 2010（1）：48-49.

[6] 史宁中. 基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题[M]. 北京：高等教育出版社，2013：13.

[7] 伍鸿熙，著.数学家讲解小学数学[M]. 赵洁，林开亮，译.北京： 北京大学出版社，2016：164.

[9] 林碧珍. 教材中分数的不同意义[J]. 小学教学（数学版），2019（4）： 4–8.

[10] 郑毓信. 分数的教学与数学思维[J]. 小学教学（数学版），2010（5）：4–6.

[11] 苏洪雨. 七年级学生分数学习情况的调查研究[J]. 数学教育学报，2007，16（4）： 48–51.

（温州大学   325035）