谈数学思想方法在2018年高考中的考查实践

吕艳仪

摘 要 数学高考重点考查数学基础知识、基础能力和数学思想方法，笔者认为一线教师应该认真研究高考考纲、真题并分析数学思想方法在高考中的考查。本文借助2018年全国1卷部分试题分别从函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化、或然与必然这五种思想来研究数学思想方法在高考中的考查，并提出关于如何在高中数学课堂中进行数学思想方法教学的三点教学建议。

关键词 数学思想方法 高考考查 教学建议

中图分类号：G633.6文献标识码：A

《2018年高考考试大纲》明确指出：对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象与概括的考查，考查时必须与数学知识相结合，通过对数学知识的考查，反映学生对数学思想方法的掌握程度。

数学高考重点考查基础知识、基本技能和和基本思想方法，考查通性通法，重在考查学生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的理解和掌握程度。而对数学思想方法的考查体现综合性与应用性，即在选择填空题和解答题中分层次地考查，一道试题考查一种或多种思想方法或者多种题型综合考查一种思想方法。

笔者受文启发，对2018年高考理科数学全国1卷亲自详细解题并对其考查内容、方法、思想作结构化地分析。本文借助全国1卷部分试题，分别从函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化、或然与必然这五个数学思想方法来研究数学思想方法在2018年高考中的考查，有利于在实际教学中有意识地渗透数学思想方法，增强学生的解题能力。

1函数与方程思想

函数与方程思想是通过构造函数或方程，运用函数的图像与性质或方程的性质来分析、转化、解决问题。它是历年高考考查的重点内容，在选择题填空题中一般以三角函数为载体考查基本运算和基本应用，在解答题中一般以函数与导数为载体深入考察综合应用。

【例1】（2018年全国1卷理科第16题）已知函数=2+，则的最小值是

【解析】该试题借助正弦函数构造了一个新函数，通过求导、因式分解解导数方程、解三角不等式分析单调性和求最值。命题形式简单，不需特殊解题技巧，考查了通性通法和函数与方程思想的基本运算和基本应用。

【例2】（2018年全国1卷理科第21题）已知函数=+ln，

（2）若存在两个极值点，证明：<2。

【解析】该题以基本初等函数为载体，考查求导法则，利用导数讨论单调性后分析求极值和最值。第（2）问重点考查对需证明不等式<2进行变形化简得到等价命题2+2ln2<0，再利用函数与方程思想构造一个新函=+2ln数，利用导数分析单调性证得<0。

2数形结合思想

数形结合思想是非常重要的数学思想方法，一直是高考的考查重点。高考重点考查“数”到“形”的转化，再由“形”到“数”的转化， 一般以分段函数及其图像为载体考查学生数形结合的应用能力。

【例3】（2018年全国1卷理科第9题）已知函数，，若存在2个零点，则a的取值范围是（   ）

【解析】该题以分段函数为载体考查零点问题，运用函数与方程思想，转化为函数=与函数=的图象有2个交点。关键的是准确作出分段函数和一次函数的图象，数形结合可快速找到参数所满足的不等式，并解出参数的取值范围。这题主要考查由“形”到“数”的数形结合思想的应用能力。

3分类与整合思想

分类与整合思想是指解决某些数学问题时按照某一标准进行分类，并逐類讨论求解，最后综合各类求解。它不仅是一种重要的数学思想方法，也是一种重要的解题策略。高考一般以绝对值不等式、解析几何、导数题求参数取值范围等为载体，主要考查有无分类意识，如何科学地、有标准地、不重不漏地进行分类，分类讨论后如何整合。

【例4】（2018年全国1卷理科第21题）已知函数=+ln，

（1）讨论的单调性;

【解析】该题以基本初等函数为载体，考查基本初等函数的求导法则，利用导数讨论单调性后分析求得极值和最值。第（1）问重点考查准确求导=后要有分类意识，然后根据0，0<2，>2来分类讨论单调性，最后整合三类成两类2，>2。

【例5】（2018年全国1卷理科第23题）已知=|+1|||。

（1）当=1，求不等式>1的解集。

（2）若∈（0，1）时不等式>成立，求的取值范围。

【解析】该题以绝对值函数为载体考查分类讨论思想，第（1）问重点考查用零点分区间，分3类讨论来去掉绝对值符号，从而求出不等式的解集。第（2）问再次利用∈（0，1）来把双绝对值的不等式恒成立问题转化为含单绝对值的不等式恒成立问题。

4化归与转化思想

化归与转化思想是指将待研究的问题通过画图、列表等方式进行转化为一些子问题，把复杂问题简单化，通过一步步解决子问题达到解决原问题的思想方法，即将未知化归为已知。因此可以说高考中的每一道试题，都在考查化归与转化思想，偏向于结合推理证明，推理运算来考查。

【例6】（2018年全国1卷理科第19题）设椭圆C：+2=1的右焦点为F，过F的直线与C交于A，B两点，点M坐标为（2，0）。（1）当⊥轴，求直线AM的方程。

（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB。

【解析】该题主要考查椭圆的方程、图象及其性质、直线与椭圆的位置关系，考查数形结合和化归转化的数学思想方法。第（2）问主要考查要证的两角相等∠OMA=∠OMB转化为证明+=0，这样把复杂抽象问题转化为一个具体可操作的问题。

5或然与必然思想

或然与必然思想，是指统计与概率的思想，通过收集样本数据，分析样本数据得出规律，再用样本估计总体、用频率估计概率，从而解决分析总体的问题。统计与概率是高考必考内容，通过对等可能事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件同时发生的概率，n次独立重复试验发生了k次的概率随机事件的分布列与数学期望等重点内容的考查，重在考查基本概念和基本方法，运用概率统计思想解决实际问题。

【例7】某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为（0<<1）且各件产品是否为不合格品相互独立。

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点。

（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值，已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用。

（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX：

（ii）以检测费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

【解析】本题主要通过考查相互独立事件的概率、二项分布及数学期望、决策性问题来考查学生数据处理和运算求解能力、或然与必然的数学思想。结合独立重复实验即可求出20件产品中恰有2件不合格品的概率，利用导数求出概率取最大值时的，分析出不合格品件数服从二项分布，不合格品数与费用和X有等量关系，最后利用期望性质求出EX，最后做出决策。

因此，为了精准备考，实际教学需要初步渗透数学思想方法教学、发展数学能力和提高数学思维。关于如何在高中数学课堂中进行数学思想方法教学，给出一下建议：

（1）借助新课教学有意识地渗透数学思想方法;数学思想方法一般會隐含在知识背后、某一个概念形成过程、问题的发现或解决过程、结论的推导或推广过程中，往往会被忽视，因此应借助新课教学有意识地挖掘、提炼出知识背后反映的数学思想方法，让学生学到知识掌握思想方法。

（2）借助习题课加强数学思想方法训练和梳理总结;数学思想方法的训练必须借助不同类型的问题做有针对性地训练，配合老师有条理地梳理、总结数学思想方法，从而增强解题能力。

（3）反复应用不断巩固和深化数学思想方法。借助高考真题、模拟考试题或解决某一难点来凸显数学思想方法的重要作用，只有在反复应用中数学思想方法才得以不断巩固和深化，最后形成能力。

参考文献

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