“以形助数”巧解圆锥曲线离心率

黄瑶

摘 要：离心率是刻画圆锥曲线性质的一个重要几何量，是圆锥曲线的一个重要的性质。历年来，求圆锥曲线离心率的值或其取值范围，是圆锥曲线客观题的考查重点，也是高考中解析几何的高频考点。因此，在离心率问题二轮复习过程中，除了要加强知识点巩固、通法训练，还可特别设置提升微专题，加强数形结合和方程思想的渗透，简约思維、简化计算、优化过程，帮助考生提高巧解圆锥曲线离心率问题的能力，进一步提升数学素养。

关键词：圆锥曲线；离心率；数形结合；椭圆

高中数学学习内容多，教学进度快，高中内容学习完结后，学生对众多知识点的掌握还不够透彻，因此，需要进行一、二轮复习，梳理所学，强化训练。大多数文科学生的数学学习水平比理科学生要低，而全国卷对文科的要求却与理科相当，甚至出现不少同题，由于复习内容多，时间跨度大，如何提升文科数学复习质量，对高中数学教学质量的大面积提高有极其重要的意义。

一年来，经过高考第一轮复习，教师通过带领学生回归课本，理清知识系统，夯实基础，注重思维训练。一轮复习之后，学生基本能够掌握高中阶段所学的基础知识、基本方法和解题技能。但这些知识经过梳理，只是加深了理解，还是比较分散和独立。而全国卷高考的每一考题，都不只是针对一个知识点，往往是几个知识点的融合，因此要求考生对知识点的掌握是透彻、综合的。第二轮复习为专题复习，教师必须带领学生对第一轮复习内容进行整合，使之更具备条理性、系统性和完整性，同时巩固、提炼，构建高中数学解题的思想方法，最终达到提高解题能力，提升实战技巧的目的。

本人从教十年，六次经历高三毕业班教学，始终致力于探索精准教学，提升复习效率的方法。微专题的特点是“切入点小、角度新颖、有很强的针对性”。微专题复习可以从一个定理、一个公式、一种方法入手，也可以从学生的易错点展开，单独授课或在复习课上穿插讲解，形式也可以多样化，常态课、微课等，针对一个高频考点或典型问题，一题多解开拓思维，变式训练举一反三，都可以很大程度提升学生的数学思维，对于学生知识的掌握和应用也是很有帮助的。

离心率是刻画圆锥曲线性质的一个重要几何量，是圆锥曲线的一个重要的性质。历年来，求圆锥曲线离心率的值或其取值范围，是圆锥曲线客观题的考查重点，也是高考中解析几何的高频考点。本文主要针对求解圆锥曲线的离心率的值或其取值范围进行微专题复习，探索离心率的巧解策略。接下来，通过几道典型问题的解析说明，和大家一起探索“以形助数”巧解圆锥曲线离心率的策略。

例1.设椭圆C： + =1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1、F2，过F2作x轴的垂直线与C相交于A、B两点，F1B于y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的率心率等于 。

解法一：不妨设点A在X轴上方，则令x=c，得A（c， ）、B（c，- ）

∵F1（-c，0），则直线F1B的方程为：y=- （x+c）

令x=0，则y=- ，∴D（0，- ）

∴ =（-c，- ）， =（2c，- ）

∵AD⊥F1B，∴ · =0？圯-2c2+ =0

？圯3b4=4a2c2？圯3（a2-c2）=4a2c2？圯3c2-10a2c2+3a4=0

？圯3e4=10e2+3=0？圯（3e2-1）（e2-3）=0

∵0

评注：解法一先利用F1、B的坐标求出直线F1B的方程，并利用“F1B于y轴相交于D”求出D点坐标，从而确定向量 和 的坐标，最后根据向量垂直的坐标运算公式得到关于a，b，c的齐次式，进而得到关于e的一元方程，并根据椭圆离心率的取值范围确定e的取值。用这样的求解方式，思路易得，计算过程较复杂，但无疑较全面地考查了学生的数学基本功。

思考：确定D点坐标，除了利用直线方程，还能不能通过图的特征寻求更快捷的方式呢？

解法二：由题意可知：A（c， ）、B（c，- ）、F1（-c，0）

∵AB//y轴，D为F1B的中点∴D（0，- ）

（以下同解法一，利用 · =0？圯e）

评注：解法二利用了图像特征，利用中点坐标公式，快速得出D点坐标，简化了计算，体现出数形结合的优势。

思考：既然易知D为中点，还有没有其他方式列出a，b，c的齐次式，从而求解出e呢？

解法三：由题意易知AD是△ABF1的垂直平分线。

∴AF1=AB，即AF12=AB2

∴（2c）2+（ ）2=（ ）2？圯4c2+ = ？圯4c2=

？圯4c2= ？圯3c4-10a2c2+3a4=0

？圯3e4-10e2+3=0？圯e=

评注：解法三利用垂直平分线的性质，得到线段相等的结论，从而根据两点间的距离公式，得出a，b，c的齐次式，从而求解出e，再次体现出数形结合的优势。

例2.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足 · =0的点M总在椭圆内部，求椭圆离心率的取值范围。

解析：∵ · =0，易知点M的轨迹为以F1F2为直径的圆，且半径为c。

设P为椭圆上任意一点，则OP≥b>c

∴b2>c2？圯a2-c2>c2？圯a2>2c2？圯0

评注：本例从 · 入手，构造出以F1F2为直径的圆，并根据题意结合圆与椭圆的几何性质，找出不等关系，综合性较强，要求学生对动点轨迹有深刻理解，对图形几何特征掌握到位，并将知识融会贯通。本例也充分体现了数形结合在求解离心率取值范围问题中的巧妙应用。

例3.已知双曲线 - =1（a>0，b>0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个焦点，则此双曲线的离心率的取值范围（ ）

A.（1，2] B.（1，2） C.[2，+∞） D.（2，+∞）

解析：如图所示，作l1和l2分别与双曲线的两条渐近线平行，直线l为过F且倾斜角为60°的直线.

要使l与双曲线的右支有且只有一个交点，

則 ≥tan60°= ，e= ≥2

评注：此处利用双曲线的几何性质，用所给定的直线和渐近线的关系确定渐近线斜率的范围，从而求出离心率的范围，数形结合，简化计算。

例4.已知双曲线C： - =1（a>0，b>0）的右焦点为F，左顶点为A.以F为圆心，FA为半径的圆交C的右支于P、Q两点，△APQ的一个内角为60°，则C的离心率（ ）

A. B. C. D.

解析：如图，设左焦点为F1，设圆与x轴的另一个交点为B，由题意可知，△APQ是等边三角形∠PAB=30°

∵在圆F中，PA⊥PB，∴∠PFB=60°

且FA=FP=FB=PB=a+c

∴∠AFB=120°

由双曲线定义可知：PF1-PF=2a，∴PF1=3a+c

在△PFF1中，由余弦定理得：

PF12=PF2+FF12-2PF·FF1·cos120°

（3a+c）2=（a+c）2+（2c）2-2·（a+c）·2c·（- ）

整理得：3c2-ac-4a2=0？圯3e2-e-4=0

∵e>1，∴e=

评注：本题利用双曲线及圆的几何性质，结合双曲线的定义确定线段长，并在三角形中利用余弦定理构造关于a，c的齐次式，从而求解出双曲线的离心率。整道题解答过程充分体现了用图的重要性，足见数形结合的思想方法在解题中的重要应用。

例5.若F（c，0）是双曲线 - =1（a>b>0）右焦点，过F作该双曲线一条渐近线的垂线，与两条渐近线交于A、B两点，0为坐标原点，△0AB的面积为 ，则该双曲线的离心率e=（ ）

A. B. C. D.

分析：本题可利用点斜式求得直线AB的方程，联立直线AB与两渐近线方程可分别解得点A、B的坐标，并利用面积建立关于a、b、c的齐次式，求得e。但坐标运算及面积计算显然很复杂，不是最佳的解题办法.不妨分析图形，找出图形特征，借助双曲线及直角三角形的结合特征，寻求巧解本题的方法。

解析：设双曲线渐近线y= x的倾斜角为α，

∵a>b>0，∴0< <1，则0<α<45°

由图可知，BF是F（c，0）到渐近线y= x的距离，则BF=b，

又∵OF=c，则在Rt△OBF中，OB= =a

在Rt△OBF中，∠AOB=2α，且tanα=

则tan∠AOB=tan2α= =

∴S△AOB= ·a· = ？圯 = ，∴e=

评注：本题求解离心率的关键在于利用图形建立a，b，c三者的关系式，利用图形的几何性质简化计算，但图形特征和几何性质的寻求是学生的难点，教师在教学过程中注重引导、启发，让学生逐渐渗透数形结合的数学思想方法。

以上5道典型例题，无不反映出数形结合在求解圆锥曲线离心率中的重要应用。通过数形结合，找出等式或不等关系，往往可以起到事半功倍的效果。

纵观十年高考全国卷及各地模拟试题，圆锥曲线离心率或离心率的取值范围，无疑是高频考点，题型多样，不断翻新，内涵丰富，立意新颖。大部分题型以客观题的形式出现，其中有些题目综合性强，解法极富灵活性。因此，在离心率问题二轮复习过程中，除了要加强知识点巩固、通法训练，还可特别设置提升微专题，加强数形结合和方程思想的渗透，简约思维、简化计算、优化过程，帮助考生提高巧解圆锥曲线离心率问题的能力，进一步提升数学素养。

总之，“微专题”是对“做、评、论、谈”毕业班复习模式的有益补充和完善。同时对教师提高了要求，促进教师研究、思考、总结，是作为促进教师更快成长的有效途径之一。潜心研究高考题，理出高考常考点，根据学情，针对重点知识点的薄弱环节、难点知识点的突破口进行研究，精心设计教学环节，并以微专题进行强化和突破，帮助学生及时巩固复习内容，补缺补漏，夯实基础，提高解题能力和解题技巧，这样的授课方式更高效。这种高三微专题复习方式有利于学生突破学习困惑，弥补漏洞，提高学习成绩，值得高三老师深入研究。

参考文献：

[1]刘兰华.剖析圆锥曲线离心率的求法[J].中学数学（高中版），2014（3）.

[2]武增明.求解圆锥曲线离心率的四种数学意识[J].数学金刊（高考版），2018（4）.

编辑 王彦清