一类带记忆项拟线性发展方程的适定性

(长沙理工大学数学与统计学院,长沙，410001)

1 引言

(1.1)

(1.2)

另外, 对于记忆核和非线性项有如下假设：

(H1)对记忆项核的假设:

μ∈C1(R+)∩L1(R+),μ(s)>0,∀s∈R+

(1.3)

且存在δ>0, 使得

μ′(s)+δμ(s)0,∀s∈R+.

(1.4)

记

(H2) 对非线性项的假设: 假设f∈C1,f(0)=0, 且满足如下增长条件

α1|s|p-β1|s|2≤f(s)s≤α2|s|p+β2|s|2,∀s∈R,p≥2

(1.5)

和耗散条件

f′(s)≥-l

(1.6)

且β1<λ, 其中αi,βi(i=1,2)和l都是正数.

方程(1.1)作为数学物理模型，通常应用于流体力学、固体力学和热传导理论等领域[1,2]，其主要考虑了两个方面的影响，其一是粘性，其二是u的过去历史影响(例如聚合物、高粘度液体等[3]); 当考虑这两个影响因素时，就构成了揭示扩散的全部过程的能量方程，即上述带记忆项的发展方程(1.1)，也就是我们常说的非经典扩散方程.

当方程(1.1)不带记忆项的时候，其无界域上解的存在性及其渐近行为已经被很多人研究过[4-6].据我们所知，对方程(1.1)这种带有记忆项的问题的相关研究还很少，本文将应用分析技巧和Galerkin方法解决该问题.

由于在无界域上、非线性项满足任意阶多项式增长以及记忆项这三个因素的影响，本论文存在两个主要的困难：一方面是Sobolev紧嵌入不再适用，另一方面是积空间的Galerkin方法不能用来逼近.本文应用Xie[4]与 Ma[5]的基本思想和方法，结合分析技巧来克服上述困难， 由此证得解的存在性，进而获得解的唯一性和解对初值的连续依赖性.

2 预备知识

那么, 方程的相空间为

M1=H1(Rn)×V1,

u的时滞变量uτ(-s)满足以下条件:存在R>0和ρ≤δ(δ来自于(1.4), 使得

(2.1)

3 解的存在性

定义3.1设f(u)满足(1.5)-(1.6),z0=(u0,η0)∈M1.z=(u,ηt)称为方程(1.1)的整体弱解,如果对∀T∈R,z满足方程(1.1)并且

u∈C([0,T];L2(Rn))∩L2([0,T];H1(Rn)),ut∈L2([0,T];L2(Rn)),

另外，对任意ω(x)∈H1(Rn),φ(x,t)∈V1有

对于t∈R几乎处处成立.

对于解的存在性，通过下面的一些引理，可得到定理3.5.

首先，对任意的正整数n,我们给定一个球

Bn={x∈Rn:|x|

(3.1)

因为Bn是有界域, 所以利用标准的Faedo-Galerkin方法可以获得如下初边值问题解的存在性

(3.2)

其初始条件为：

(3.3)

边界条件为：

(3.4)

其中χn(x)为一个光滑函数，满足

引理3.2假设T>0,f∈C1(R)且满足条件(1.5)-(1.6)，核函数μ满足(H1),而g∈H-1(Rn),则对于任意的t∈[0,T],有如下估计：

其中C1仅依赖于T,但不依赖于n.

证明对(3.2)中的第一个方程乘以un，在Rn上积分并利用条件(1.5),可得

(3.5)

(3.6)

于是(3.5)可改写为

(3.7)

由Gronwall引理, 对一切的t∈[0,T]有

(3.8)

并且(3.7)两边对t在[0,T]上积分, 有

(3.9)

取

结合(3.8)-(3.9)知引理结论成立.证毕.

其中C2仅依赖于T,但不依赖于n.

(3.10)

由Gronwall引理及引理3.2，对一切t∈[0,T]有

(3.11)

再对(3.11)在0到t上进行积分，可得

(3.12)

引理3.4假设引理3.2的假设条件成立，则存在不依赖n的正常数C3,C4,使得对所有的t∈[0,T],

α3|un|p-β3≤F(un)≤α4|un|p+β4,

(3.13)

其中αi,βi(i=3,4)均为正数.

对(3.2)中的第一个方程乘以unt,再在Rn上积分，得到

(3.14)

由Hölder不等式和Young不等式,我们有

(3.15)

这里m0来自假设(H1),且

(3.16)

令

(3.17)

则有

(3.18)

仿照文献[4]中引理3.4的证明可得，存在与n无关的正常数C3,使得对一切的t∈(0,T]有

进一步，由(3.13)式, 可得

(3.19)

对(3.18)式关于t在(0,T]上进行积分，并结合引理3.2和引理3.4，即知存在与n无关的正常数C4,使对一切t∈(0,T]有

证毕.

由以上的论述，可以得到如下关于方程(1.1)解的存在性定理.

定理3.5假设条件(H1)-(H2)成立,则对任意的T>0和z0=(u0,η0)∈M1,方程(1.1)存在弱解z=(u,ηt),且满足u∈L∞(0,T;H1(Rn)),ηt∈L2(0,T;V1).

un在L∞(0,T;H1(Rn))∩L2(0,T;H1(Rn)) 一致有界,

unt在L2(0,T;H1(Rn)) 中一致有界,

un⇀u在L2(0,T;H1(Rn))中弱收敛,

unt⇀ut在L2(0,T;H1(Rn))中弱收敛,

(3.20)

取ρ0=CC3+CC1T，由引理3.4可得

(3.21)

同理，当un∉Bn时，取un=0,将un延拓到整个Rn上, 则有

f(un)→χ在Lq((0,T]×Rn)弱收敛.

f(un(x,t))→f(u(x,t))于[0,T]×Rn上几乎处处收敛.

(3.22)

所以在Lq([0,T]×Rn)⊂H-1([0,T]×Rn)中f(un)⇀f(u),且由弱极限的唯一性可知:χ=f(u).

另外，由于gn(x)∈H-1(Bn),对于一切的x∈Rn,有gn→g(n→∞), 从而g(x)∈L2(0,T;H-1(Rn)).

证毕.

4 解的唯一性和对初值的连续依赖性

定理4.1假设条件(H1)-(H2)成立,则对任意T>0和z0=(u0,η0)∈M1,方程(1.1)在M1中有唯一弱解z=(u,ηt), 且解z(t)=(u(t),ηt)连续依赖于初值z0=(u0,η0).

(4.1)

对方程(4.1)两端用ω作用，可得

(4.2)

对(4.2)式的右端项，我们有

(4.3)

其中CR与t无关，故由Gronwall引理得到

这就证明了方程(1.1)解的唯一性和对初值得连续依赖性.证毕.