数形结合思想方法在高中数学中的重要性

宁波滨海学校 章丹赛

数形结合思想是充沛利用“形”把一定的数量关系形象地表示出来，协助同学正确理解数量关系，使问题简明直观。数形结合的思想贯穿高中数学教学的始终。采用数形结合思想解决问题的关键是找准数与形的契合点。如果能将数与形巧妙地结合起来，有效地相互转化，一些看似无法入手的问题就会迎刃而解，产生事半功倍的效果。数形结合的思想方法不像一般数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握。它根据学生的年龄特征，学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点，逐步渗透，螺旋上升，不断丰富自身的内涵。下面举例说明数形结合思想在高中各知识模块中的应用。

一、数形结合在解决集合问题中的应用

图示法是集合的重要表示法之一，对一些比较抽象的集合问题，在解题时若借助韦恩图或用数轴、图像等数形结合的思想方法，往往可以使问题直观化、形象化，从而灵活、直观、简捷、准确地获解。

例1 已知全集U={不大于20的质数}，M，N是U的两个子集，且满足M∩（CUN）={3，5}，（CUM）∩N={7，19}，（CUM）∩（CUN）={2，17}，求 M，N。

提示：由韦恩图可以很容易知道答案为M={3,5,1,13}，N={7,1,13,19}。

二、数形结合在方程与函数中的应用

函数的图像是函数关系的一种表示，它是从“形”的方面来刻画函数的变化规律。函数图像形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径。获得答案的重要工具。函数的图像和解析式是函数关系的主要表现形式，实质是相同的，在解题时经常要相互转化，在解决函数问题，尤其是较为烦琐的（如分类讨论、求参数的范围等）问题时要充分发挥图像的直观作用，如：求解函数的值域时，可给一些代数式赋予一定的几何意义，如直线的斜率，线段的长度（两点间的距离）等，把代数中的最值问题转化为几何问题，实现数形转换。

方程 f（x）=g（x）的解的个数可以转换为函数 y= f（x）和 y=g（x）的图像的交点个数问题。

不等式f（x）＞g（x）的解集可以转化为函数y=f（x）的图像位于函数y=g（x）的图像上方的那部分点的横坐标的集合。

分析：本题主要考查函数的基本知识，利用函数的单调性解不等式以及借助数形结合思想解决问题的能力。

例3 方程lgx=sinx解的个数为（ ）。

A.1 B.2 C.3 D.4

分析：画出函数y=lgx与y=sinx的图像（如图），注意两个图像的相对位置关系。

答案：C。

三、利用数形结合解决数列问题

数列可看成以n为自变量的函数，等差数列可看成自然数n的“一次函数”，前n项和可看成自然数n的缺常数项的“二次函数”，等比数列可看成自然数n的“指数函数”，在解决数列问题时可借助相应的函数图像来解决。

四、不等式与解析几何中的数形结合

在解析几何中，借助直线、圆及圆锥曲线在直角坐标系中图像的特点，可从图形上寻求解题思路，启发思维，难题巧解。

五、求极值问题中的数形结合

许多代数极值问题，存在着图形背景，借助形的直观性解题是寻求解题思路的一种重要方法，通过图形给问题以几何直观描述，从数形结合中找出问题的逻辑关系，启发思维，难题巧解。

六、数形结合在复数中的应用

复数的几何意义包括两方面内容：一是与复平面上的点一一对应，二是与复平面上从原点出发的向量一一对应，这使得复数可以从解析几何的角度来审视，可借助数与形的互化来解题。

应用数形结合解题时要注意以下两点：其一，注意数与形转化的等价性，将复杂的问题转化成简单、熟知的数学问题，转化前后的问题应是等价的。违背了这个原则的数形结合，将会引起错误。其二，注意利用“数”的精确性和“形”的全面性，像判断公共点个数问题，转化成图形后要保证“数”的精确性，才能得出正确结论。有些问题所对应的图形不唯一，要根据不同的情况画出相应的图形后，再进行讨论求解。

总之，学生要真正掌握数形结合思想的精髓，必须有雄厚的基础知识和熟练的基本技巧，如果只理解了几个典型习题，就认为领会了数形结合这一思想方法，是错误的。所以要认真上好每一堂课，深入学习新教材的系统知识，掌握各种函数的图像特点，理解各种几何图形的性质。教师要引导学生根据问题的具体情况，注意改变观察和理解问题的角度，揭示问题的本质联系，用“数”的准确澄清“形”的模糊，用“形”的直观启迪“数”的计算，从而使问题得到解决。在平日的教学中，要紧紧抓住数形转化的策略，沟通知识联系，激发学生学习兴趣，提高学生的思维能力。只有这样，运用数形结合才能不断深化提高。