一题多解“论”变式，化归思想“谈”解法

李庆林

不等式恒成立问题贯穿于整个高中阶段，笔者以高一初始阶段的不等式恒成立为例，与学生共同复习总结判别式法、分离参数法等方法，通过一题多解来展开教学，从中渗透化归思想，厘清解决不等式恒成立问题的基本方法.

1 巧设情境初探问题

在课堂教学中，开始阶段非常重要，能够影响学生整节课学习状态，因此，数学教师必须重视上课初始阶段.成功的开端教学能够引起学生的学习兴趣，营造出民主、和谐的学习氛围，激发他们的创新思维，提升自身的数学核心素养.在教学过程中，教师要重视吸引学生的注意力，发散他们的数学思维，使其快速进入学习状态.

在本节课中，笔者首先引导学生回顾了以前学过的二次函数求最值的方法，要求他们完成当x∈[2，4]时，求函数y=X2-2x+1的最大值和最小

值，（引导学生用初中所学的二次函数知识求解，为下面引出二次函数求最值的方法做铺垫）.学生画出函数图象，观察图象得到最高点和最低点，进而得到函数的最值及取得最值时自变量x的值，让学生复习巩固了当对称轴在区间[2，4]左侧时的二次函数最值的求法.接着笔者再利用自制的抛物线教具结合黑板上已画的直角坐标系，引导学生思考：“当随着抛物线的对称轴落在给定区间[2，4]内或右侧时，如何求二次函数的最大值和最小值？”随着问题解决过程的逐步深入，充分调动学生回忆起已经学习过的知识，为本节课学习打下坚实的基础.

2 变式训练积淀经验

在日常数学教学中，无论是讲授新知识还是复习课都要用到变式训练，因此，变式训练在数学教学中起到了重要的作用.借助于变式训练，教师能够将问题进行不断深化，学生也可以在熟悉的问题情境中不断地训练，深入研究和探讨问题，这就大大节约了读题所需要的时间.此外，变式训练还能帮助学生深入理解问题，引导他们思考条件改变时结论如何变化，从而积淀对本类型题目的解题经验，提高解题效率.在实际教学中，笔者一直强调传授学生解题方法，变式训练就是一种较好的授之以渔的训练方法，这也是我们核心素养教学根本之所在.

在课堂探究阶段，笔者先给出引例：若关于x的不等式2x2-8x+4-a>o在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围.

学生很快得到以下解法：

因此a的取值范围为（一∞，-4）.

在教师进一步地引导下，学生想到了参数分离法，从而化归到求函数的最值问题.解法如下：

依题意得a<2x2—8x+4在x∈R上恒成立，

设函数g（x）=2x2—8x+4，

易知，当x=2时，g（X）min=g（2）=-4，

故a的取值范围为（一∞，-4）.

在正确解答问题的基础上，笔者给出了上题的变式：

变式1 若关于x的不等式2x2-8x+4-a>o在X∈[I，4]上恒成立，求实数a的取值范围.

变式2 若关于x的不等式2x2-（a+8）x+4>o在X∈[1，4]上恒成立，求实数a的取值范围.

变式3 若关于x的不等式2x2-（a+8）x+4>o在x∈[-2，2]上恒成立，求实数a的取值范围.

大部分学生能够正确完成变式l，对于变式2，学生给出了两种不同的解法.

解法1 由己知得ax<2x2-8x+4，

解法2設函数f（x）=2x2-（a+8）x+4，

函数f（x）在[1，4]上为减函数，

∴f（X）min=f（4）>0，

∴32-4a-32+4>0.

即a

在这基础上再解答变式3，学生有了更广阔的思维空间，在教师引导和学生自由选择下，班上学生分成了两组，分别按变式2的两种方法完成了变式3的解答，然后通过生生讨论和师生互动进行对比总结，发现不少学生用参数分离法的时候，或者没有对x分类，或者把每一类的结果求并集导致错误，而用另一种解法的学生，除了计算上的错误，没有逻辑上的错误.通过以上变式的教学，让学生感受到因题目条件的变化，而引起解题策略的变化，进而提升了学生的化归转化水平.

3 对比研究开阔思路

在高中数学中，化归思想的渗透要通过教学实例来达成，在对比研究过程中，学生可以开阔自己的思路，发展自己的数学思维，在潜移默化中感受到化归思想的妙处.在问题逐步转换和求解过程中，学生能够体悟到数学学习的策略和化归思想方法，总结出完整的解题思路，拓宽解题思维.在此，笔者采用了一题多解的形式，拓展学生的解题思路，渗透化归思想.

图象均不在函数J=-x图象上方，求a的取值范围.

分析上述三种解法，学生领略了解决恒成立问题的多种常见求解方法（化归最值、分离参数、数形结合），但是这些方法并非独立存在，在具体解题实践中要综合考虑、活学活用，才能顺利解决数学问题.但是，不管应用哪一种解法，都需要通过化归来得到函数求其最值进行处理，体现了化归思想在数学解题中的重要性.

4 总结归纳巩固方法

根据上述内容，在高一年初始阶段，我们可以总结得到解决恒成立不等式问题的思路：（l）直接转化为求函数最值;（2）分离参数法（转化为求新函数法）;（3）数形结合.含参不等式恒成立问题涉及到非常多的知识点，解题方法也多种多样，但是不管如何变化，核心思想还是等价转化，只有抓住问题的本质才能在解题时以不变应万变，这就要求教师要提升教学的质量和效益，引导学生不断地去领悟、体会和总结.在课后，笔者也为班级学生布置了相应的练习题，帮助他们巩固课堂学习内容.

在本节课教学过程中，笔者始终坚持“教师主导”与“学生主动”同时并重，认为“教师主导”与“学生主动”是相辅相成的，它们互相影响，相互促进，两者的理想状态是达到和谐.同时，笔者要求学生要积极完成课堂练习，帮助遇到困难的学生积极应对困难，引导他们亲身体悟一题多解、化归思想，确保每个人都能从中有所收益.笔者欣慰地看到，绝大多数学生能够感受到化归思想所带来的解题乐趣，数学核心素养也得到了有效提升.

参考文献

[1]李昀晟，化归思想在高中数学解题过程中的应用分析[J]，数学理论与应用，2015 （04）：124-128

[2]许静，化归思想在高中数学教学中的应用[j].西部素质教育，2015 （18）：97

[3]蒋瑭涵，化归思想在高中数学函数学习中的应[J].求知导刊，2015（12）：116

（本文系福建省“十三五”第一批中学数学学科教学带头人培养对象科研课题《基于化归思想的中学数学教学实践研究》（课题编号：DTRSX2017021）的阶段性成果之一）