数控机床空间误差分析及综合误差建模

杨拴强，吴新江

（1．福建江夏学院工业技术研究所，福建福州，350108；2．福建江夏学院工程学院，福建福州，350108）

加工精度是衡量数控机床性能的重要标志。从运动学角度来说，机床的加工精度最终是由机床上刀具与工件间的相对位移决定的。为了研究数控机床的误差补偿技术，要先分析机床的误差源，针对不同性质的误差源采取不同的方式进行误差补偿。数控加工中心是由多个部件通过固定链接和移动副链接组合而成的，其加工精度受到众多因素的影响，主要有：构件的几何误差，包括制造和装配误差；温度场变化引起的热变形效应误差；切削力引起的构件变形误差等。[1-2]其中，几何误差为准静态误差，热误差和切削力误差为动态误差。为了改进数控机床的误差补偿技术，国内外专家学者在机床误差建模方面进行了大量的研究，主要的建模方法有：三角几何法、误差矩阵法、神经网络法、矢量描述法、刚体运动学、多体系统理论、微分变换理论等。[3-8]本文采用坐标运动链系统分析方法[9][10]105。首先，利用构件形状变换矩阵和运动副等效坐标变换矩阵，推导综合误差数学表达式。其次，根据各误差源的特点，把机床的误差分为基本几何误差和基本热误差，综合这两项误差构成机床的综合误差模型。最后，在分析构件热变形和运动副误差的基础上，根据固定点坐标在构件变形前后产生的热误差现象，对综合模型中几何误差进行处理，在剔除几何误差的基础上构建热误差数学模型。

一、等效坐标运动链系统误差分析法

数控加工中心的误差主要来源于机床部件的生产制造和安装误差、构件的变形误差、构件的运动误差以及运动过程中的磨损误差。生产制造和安装误差主要是在机床零部件生产过程中由于加工制造精度问题以及设备在装配过程中产生的误差；构件变形误差主要是机床使用过程中受力、受热等引起的变形误差；运动误差及磨损主要是在机床在使用过程中运动副的运动路径与理想状态不一致，或因运动副磨损造成路径不一致等引起的误差。为了分析数控加工中心的误差源对机床精度的影响规律，可将机床等效简化为连接构件和移动副组成的运动链系统，引入等效坐标变换，[11]73[12]351[13]对运动链系统各环节的误差进行分析，从而得到数控加工中心误差模型的数学表达式。

为了能够清楚表达坐标变换的原理，首先设置两个坐标系CSi、CSj（如图1所示）。坐标系CSj的零点相对于坐标系CSi的零点在X、Y、Z方向上偏移的距离分别为a、b、c；CSj的坐标轴相对于CSi坐标系的坐标轴分别是绕Xi、Yi、Zi轴旋转角度，按右旋为正。

图1 不同坐标系下的坐标变换示意图

为了进一步分析机床构件变形对机床加工精度的影响，建立机床各构件间的功能几何运动关系。同样地，运用等效简化的坐标运动链系统表示，其中的任一构件均可简化为如图2所示的构件模型。图中实线部分表示构件的实际情况，虚线部分代表构件理想状态的情况。链接构件在运动链中的几何关系可用两端坐标系的相对位置坐标变换矩阵来表示，即形状变换矩阵。

图2 连接构件形状误差分析模型示意图

如图2所示，构件两端分别建立的坐标系为CSi、CSj（其中i、j为坐标系的编号）。坐标系CSi与坐标系CSj1所示的位置为两坐标系的理想位置，用Sij来表示理想的连接构件的形状变换矩阵；坐标系CSi与坐标系CSj2所示的位置为两坐标系实际的位置，用来表示实际的连接构件的形状变换矩阵。具体的形状变换矩阵为：

其中，a、b、c为结构件的理想尺寸，也是坐标系CSj相对于CSi的位置偏移尺寸；为结构件理想尺寸相应的尺寸误差；表示构件的形位误差。

数控加工中心的运动副可简化成图3所示的简易分析模型（以Y导轨为例）。坐标系CSj固连于运动副的移动构件上，坐标系CSi固连于导轨的一端。实线为运动副实际的运动轨迹，虚线为其理想运动轨迹。运动构件在导轨上运动时，坐标系CSj随着运动构件移动。当坐标系CSj沿理想运动轨迹运动，其运动后的坐标系为CSj1；当坐标系CSj沿实际的运动轨迹运动，其运动后的坐标系为CSj2。

图3 运动副误差分析模型简图

运动副在运动链中的功能几何关系可用运动副两构件上坐标系的相对位置坐标变换矩阵来描述，即等效变换矩阵。表示理想状态下坐标系CSj相对于坐标系CSi的等效坐标变换矩阵，表示运动副实际的等效坐标变换矩阵。

二、三轴数控加工中心误差模型构建

图4为三轴立式加工中心的坐标系定义图，采用等效坐标运动链系统误差分析法[12]353[14]，可简化为如图5所示的一系列链接构件和移动副组成的等效坐标运动链模型。通过对机床构件的简化，可以把坐标系的相互关系清楚地表达出来。

图4 机床坐标系定义示图

如图5所示，按照运动链建模的方法，[10]106-107[11]74-75三轴加工中心由两条运动链构成，一条运动链为机床机械零点到工件切削点，另一运动链为机械零点到刀具的切削点。根据图5中的两运动链关系，在理想状态下可得以下关系式：

对结构件的形状坐标变换矩阵进行分析。在理想状态下，固连在一个构件上的两坐标系之间只存在固定的结构偏差。在运动副运动不存在误差时进行计算，忽略二阶以上无穷小，可以得到工件坐标系中的点相对于基准坐标系向量：

在实际的机床使用过程中会产生各种误差，如机床构件在制造和装配时会产生误差，机床的自身结构会因热变形发生变形，运动副在使用过程中的磨损会产生运动误差等，都会引起机床构件产生形状误差和运动副的运动误差。对各连接构件形状等效坐标变换矩阵为：

运动副之间的运动坐标等效变化矩阵为：

在存在误差的情况下，工件坐标系下切削点的坐标在基准坐标系下的坐标发生偏移，偏移量为。刀具坐标系刀位点位置矢量在基准坐标系下也会发生偏移，偏移量为。将各构件含有误差的坐标变换矩阵代入式（8）和式（9）：

通过式（16）、式（10）、式（17）和式（11）可得到基准坐标系下工件上切削点的误差：

在基准坐标系下，刀位点位置矢量的误差：

以工件坐标系为基准，将工件视为静止不动，所有运动由刀具完成，可将现有的方法中的两条运动链简化为一条开放式串联的运动链。在理想状态下，在基准坐标系中刀位点与切削点重合，得到：

在存在误差的情况下，机床零部件产生变形误差，使得刀具刀位点与工件理论切削点的位置不重合，产生误差在描述由机床误差引起的刀位点位置及刀轴矢量的误差时，可全部归结为刀具运动的误差。由此，所求误差即为刀位点相对于工件坐标系下的误差，即：

式（19）和式（21）中所求的误差为综合误差，包括因装配制造引起的几何误差、作用力引起的非刚性效应误差和因机床构件温度分布变化引起的热误差。

由此可见，这种相对热误差的方式可以在不考虑几何误差的情况下，直接获得热误差的模型。

三、小结

本文利用等效坐标系运动链系统误差分析的方法，根据机床链接构件变形误差模型和机床运动副误差的分析模型简图，得到机床构件变形变换矩阵和运动副的坐标变换矩阵。在推导出机床存在误差的情况下，建立机床基准坐标系下刀位点误差矢量模型和切削点误差的矢量模型，得出刀位点和切削点在基准坐标系中的位置关系。在对综合误差模型进行分析和推导的基础上，提出基于相对热变形的刀轴矢量对工件坐标系的热误差模型，有助于为后续误差测量和误差补偿奠定基础。