探析转化思想在教学中的渗透与应用

于志勇

摘 要：在教学中，往往忽视对学生数学思维的培养。运用转化思想是数学研究中克服困难的法宝，对解决数学难题具有重大作用。主要以课例形式探究转化思想在教学中的渗透与应用。

关键词：初中数学；转化思想；课例；渗透与应用

数学思想对于解决问题至关重要。在中学数学教学中，怎样运用转化思想分析、处理和解决数学问题？笔者通过人教版《圆锥的侧面积和全面积》一课给出自己的见解，以供同仁参考。

一、教学过程

环节1：认识圆锥和圆锥的侧面

在授课过程中，为了渗透转化思想，利用几何画板制作三角形旋转形成圆锥的动画，然后对此提出问题。

师提出问题：直角三角形的斜边运动形成了什么？旋转的直角边运动形成了什么？学生的结论是圆锥的侧面和底面（圆）。师进一步追问“底面圆上取出几个点与圆锥顶点连线，你有什么发现？”学生提出都相等，再取一些也都相等。师再次追问“圆锥的侧面是什么？怎样证明你的猜想？”学生异口同声地回答是扇形，可是怎样说服却陷入了思考。此时提醒学生回忆圆的定义，学生恍然大悟，因为圆锥底面圆上各点到圆锥顶点的距离相等，所以圆锥的侧面展开图是扇形。适时，师利用动画演示了圆锥的侧面展开过程，并介绍了圆锥的高、底面半径、母线、侧面和底面等概念。

在這个环节的设计中，笔者没有采用传统的教学方法直接扔给学生圆锥的概念，而是利用两段动画激活学生的思维。学生对圆锥内存在直角三角形不易接受，对圆锥的侧面转化也存在疑问，以往的教学总是忽略这些问题，但这些思考对图形概念的形成是必不可少的。在这个环节中，笔者进行了立体图形与平面图形的相互转化，圆锥的侧面与扇形的定义转化，都是转化思想。利用转化思想，我们可以将圆锥的轴切面转化为直角三角形，再利用勾股定理知二得一；可以用圆的定义转化圆锥的侧面为扇形，再利用扇形的面积公式求圆锥的侧面积。

环节2：制作一个圆锥

学生已经学习了圆锥的构造，再适时地动手作一个圆锥，在实践中探索圆锥侧面和底面的相等关系。在学生通过小组合作制作出一个圆锥后，提出两个问题。

1.有一个扇形可做圆锥的侧面，怎样给它配一个底？

学生提出：求出扇形的弧长，弧长和底面圆的周长相等，列方程求底面圆的半径。

2.那如果有一个底面圆，怎样给它配一个圆锥的侧面呢？

学生通过讨论提出：需要确定扇形的圆心角和半径，这个扇形是不确定的。

在这个环节中，笔者借鉴以往的教学方式，让学生制作模型。但没有安排在课前，而是在圆锥概念形成之后，学生的思维重心落在了怎样保证圆锥的侧面和底面配套的问题上，这是平面图形向立体图形的转化，合理的转化依托在隐含的相等关系上。

环节3：推导圆锥侧面积公式

师：观察你们面前的圆锥，在不拆开的前提下，你能测量圆锥的哪些量？

学生动手操作后，提出圆锥的母线和底面的半径。还有学生提出可以测高，但遭到了其余学生的质疑，认为误差很大不如用勾股定理求的准确。笔者收集了四组学生的测量结果，列出母线与底面半径的表格，接着提出问题。

师：只用圆锥的母线和底面半径能求出圆锥的侧面积吗？

学生很茫然，不知所措。这时，笔者投影了扇形图和扇形的两个面积公式，对学生追问道：“你能将求圆锥侧面积的问题转化为求扇形面积的问题吗？试着改写一下。”学生立刻有了思路，想到了圆锥的母线就是扇形的半径，圆锥的底面圆的半径可以求扇形的弧长，于是有的小组率先提出解题方案，利用扇形的弧长与面积关系推导圆锥的侧面积等于πrl；还有的小组进一步发现弧长还可以求扇形的圆心角，进而利用母线长和圆心角求扇形的面积，也可以推导出相同的结果。这时，笔者停下来带着学生总结探索过程中出现的两个对应关系（圆锥的底面圆周长等于侧面展开后扇形的弧长，母线等于扇形的半径）、圆心角公式（利用圆锥的底面圆周长等于侧面展开后扇形的弧长推导）和圆锥的侧面积和全面积公式（请两个学生利用不同的方法板演推导），然后快速地利用公式求了四组数据的侧面积和全面积。

转化思想就像一条线将新旧知识联系在一起，顺应知识的内在联系，在此环节中贯穿着新知识转化为旧知识，复杂问题转化为简单问题，形转化为数，未知条件转化为已知条件，使得一节课的三个难点在转化思想中迎刃而解。

环节4：小结、整理

通过整节课的学习，学生意识到可转化思想。这时候教师可以再进行一些延伸，让学生总结转化思想的好处。一个学生回答，圆锥的侧面转化为扇形，圆柱的侧面转化为长方形就能求面积了；还有学生回答，问题也可以转换，将未知问题转化为已知问题，也可以将文字多的少写点用符号语言代替……笔者提出问题旨在强化转化意识，使其在解题时能够自觉地转化，从而培养学生良好的数学素养。

二、思考和启迪

通过这节课的教学设计过程，笔者认为转化思想在解题的过程中无处不在，在教学中我们要有意识地从教学目标的确定、教学过程的实施、教学效果的落实等各个方面来体现转化思想。在探究新知时，要有意识地引导学生类比旧知识，将新知识转化为旧知识，引导学生选择适当的转化点和转化的方式。在解决问题时，要从高的层面归纳数式的转化、图形的转化、数形的转化等各种转化思想的应用，要向学生提供丰富的、典型的、正确的解题思路和方法，要对知识的变化和迁移过程直观展示，使学生能投入，有感受，不再深陷题海，而是有意识地归纳模型，真正做到学一题通一类。

参考文献：

[1]杨运标.着眼化归，轻松解题：例谈转化思想在初中数学解题中的应用[J].中学数学研究（华南师范大学版），2014（24）：30-32.

[2]陈建均.以“微话题”为导向，在探讨中促生成：由“圆锥的侧面积和全面积”教学说起[J].中学数学，2015（4）：8-9.

编辑 谢尾合