利用数学实验培养“可逆思维”的研究

孙朝仁

摘要：从培养思维的角度看，数学实验包括嵌入式、融入式和附加式三种普遍范式。利用这三种数学实验范式可以有效培养学生的“可逆思维”，包括在因材施教中培养可逆思维，在学会思考中培养可逆思维，在问题解决中培养可逆思维。通过对“可逆思维”的培养研究有助于学生的数学思维畅通。

关键词：可逆思维;数学实验;数学思考

中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2019）06A-0064-04

初中数学实验是初中阶段国家数学课程的一种补充，可以帮助学生直观地理解数学知识、感悟数学思想和积累数学活动经验，其内容的选取要有利于引发学生对数学的学习兴趣，丰富学生的数学学习方式，特别要有利于促进学生思维的发展。从认知心理学看，思维包括分析、综合、比较、抽象、概括判断和推理等基本过程。这里既有正向思维，也有逆向思维，反映出“思维的可逆性”特征，思维的可逆性也是思维灵活性的一种表现。

在皮亚杰看来，思维可逆性是“指具体运算和形式运算阶段儿童思维的一种基本特征”[1]。他把思维阶段划分为“前运算思维、具体运算思维和形式运算思维”三个阶段。后两个思维阶段就是具体形象思维和抽象逻辑思维阶段，而达到形式运算思维阶段的年龄约为15岁，他得出结论：思维的可逆性“只有到具体运算思维阶段才形成并发展起来”。由此可见，初中阶段是培养学生思维可逆性的最佳时期。而数学实验的本质就是“操作—思考”，正是帮助学生在直观操作后可以“在心理上设想一个动作的倒转顺序，而无须具体执行这些动作”的一种有效方式。实践研究表明，通过嵌入式、融入式和附加式数学实验，有针对性地因材施教、数学思考和问题解决是培养思维可逆性的有效路径，有助于实现认知需要、独立思考和反思意识的课程教育目标。笔者认为，学生的思维具有可逆性就初步形成了可逆思维。本文以“特殊四边形”的概念教学为例，谈可逆思维的培养。

一、利用“嵌入式”数学实验培养可逆思维，因材施教，实现数学认知目标

因材施教是数学教学的基本原则，为中国数学教育的发展做出了巨大的贡献。因材施教意味着让学生基于“数学现实”和“思维事实”，实现知识的获得和技能的形成。比如，数学实验室、数学活动、课题学习以及研究性学习就是中观的因材施教。当然，让学生在各自的数学现实和思维事实层面，通过数学实验得出结论，这就是一种正向思维的培养，而数学实验之后判断结论的正确性，本身就需要一种逆向思维的参与。基于这一认识，具有个性化特征的数学实验教学过程对于思维的培养是“双向的”，也是“可逆的”。换言之，因材施教的过程也是一种思维可逆性的培养过程。《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课程标准》）明确指出，教师教学应该以学生的认知发展和已有经验为基础，面向全体学生，注重启发式数学和因材施教。这里的“因材施教”包括两个层面的含义：一方面，是学生在因材施教中获得“应知应会”的可能发展，让学生通过“动手——做数学”获得不同层面的数学感悟或数学认知，就是一种可能的发展;另一方面，是让学生在因材施教中获得“最近发展区”中的进一步的发展可能。

“嵌入式”数学实验是在数学实验教学的同时开展思维教学，以学科知识和学科知识体系为思维技能训练载体，旨在以知识技能促进学生认知需要和深度理解。片段式实验是“嵌入式”实验的常见范式。《义务教育课程标准实验教科书·数学》（苏科版）八年级下册“实验5：平分图形的面积”，就是片断式实验的样例，有助于学生领悟“中心对称图形”的本质。嵌入式实验表现在三个方面：一是在产生概念过程中嵌入实验，有助于实施因材施教。比如，让学生观察图片抽象出平行四边形的形象，这就是遵循学生的年龄特征和认知规律的因材施教。二是在使用概念过程中嵌入实验，落实认知需要目标。比如，让学生使用一张矩形纸片折出菱形的实验，就是通过使用概念来促进学生的认知需要。三是在解释概念过程中嵌入实验，落实可逆思维的培养。比如，通过“折纸活动”，探索“中点四边形的形状”的实验，就是通过概念解释促进可逆思维发展的表现形式。

比如，在研究“特殊四边形”概念起始课时，就是基于因材施教的原则，通过嵌入數学实验，培养学生的可逆思维。具体来说，首先是让学生任意画一个不规则三角形，选择一个顶点作为旋转中心，画出旋转180°后的图形，由此判断得到的四边形的形状，并要求学生说出理由;其次是让学生任意画一个等腰三角形和直角三角形，以等腰三角形的底边所对的顶点或直角三角形的直角顶点作为旋转中心旋转180°，判断得到的四边形的形状，并说明理由;再次是让学生任意画一个等腰直角三角形，以直角顶点为旋转中心进行旋转180°，判断旋转后得到的四边形的形状，并说明理由;最后是让学生在经历上述数学实验的基础上，通过画图、观察、猜想、验证等思维活动，让学生概括表征特殊四边形的原始概念，进一步理解“事实概念”。从认知心理学说，“画图实验”与“说明理由”所隐含的思维就是可逆思维，从一般到特殊的不同层次实验有助于实施因材施教。从思维学习论看，“任意画→旋转变换→形状判断→说明理由”是嵌入实验的有效路径。从思想方法论看，“不规则三角形→等腰三角形+直角三角形→等腰直角三角形”的特殊到一般的思维，形成事实概念，也是一种综合正向思维和逆向思维于一体的培养过程，有助于学生将认知需要转化为实践行为，这就是嵌入式数学实验实施的本体价值。

二、“融入式”数学实验培养可逆思维，激活思维，实现数学思考目标

《课程标准》在“数学思考”维度明确指出，“在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法;学会独立思考，体会数学的基本思想和基本思维方式。”其中，“实验→猜想→证明”是独立思考的常见活动载体，有助于培养可逆思维。具体来说，猜想的过程就是一种逆向思维训练的过程，证明的过程是一种正向思维运行的过程，而数学实验是由“猜想”到“证明”的路径，所以说，数学实验既是独立思考的思维载体，又是学会思考的有效路径。从学习论视角来说，数学实验本身就是一种“学为中心”的教学实践模式，有助于学生在独立思考中形成可逆思维。因此，在“生本主体”行为理念下，在数学思考的参与下，“学为中心”的核心是以学生的自主参与学习为中心，鼓励学生自己学是起点，教会学生如何学是关键，最终实现今后不教也能学的目标[2]。就这一认识来说，通过数学实验领悟概念的发生过程，有助于学生在独立思考中获得一些启示。比如，在研究“特殊四边形”概念的过程中，基于“画图→概括”，让学生在画图中独立思考，在学会思考中有序画图，在概括中领悟与发现，这种知觉认知行为就是一种典型的“融入式”数学实验，有助于学生形成可逆思维。

融入式数学实验表现在三个维度：一是在数学抽象中融入实验，让学生在“做”中建立概念表象，落实学会学习目标;二是在数学思考的过程中融入实验，缓解学生思考的压力，让学生不断地深度思考，培养“知其所以然”的逆向思考力;三是在概念使用模块中融入实验，让数学实验成为深度理解概念的加速器。以色列的哈帕斯认为，思维学起步于“授之以竿”的思维技能教学，发展于“授之以饵”的思维倾向教学，回归于“授之以渔”的知识理解教学[3]。这里，我们把“授之以竿”理解成数学实验本身，把“授之以饵”理解成独立思考，而“授之以渔”则可以理解成可逆思维的培养及其背后的学会思考目标。因此，“授之以竿→授之以饵→授之以渔”是融入式数学实验的基本步骤，有助于学生在“做实验”中进行独立思考和学会思考。同时，思考力的发展又具有反哺融入实验的能力。很显然，在上述过程中，体现的正是思维的双向性和可逆性。

例如，在研究“特殊四边形”的基本性质时，我们基于可逆思维的培养，让学生在融入式数学实验活动中，获得独立思考和学会思考的能力。具体实验步骤如下：首先，让学生将“牙膏盒的顶口”剪平（去掉头部），并进行条件性挤压变形，使其呈现平行四边形、矩形、菱形和正方形的不同状态，然后将抽象出来的“特殊四边形”分别画出来;其次，让学生联结每一个特殊四边形的对角线，在客观验证（度量、叠合、折叠、旋转等）的思维环境下，给出边、角、对角线的数量关系和位置关系，并让学生在实验过程中分别概括出平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质;最后，让学生在探究特殊四边形关系的过程中，发展可逆思维，即平行四边形、矩形、菱形、正方形的结构关系（平行四边形包含矩形和菱形，既是矩形又是菱形的四边形是正方形），以及添加怎样的条件，能使得平行四边形成为矩形、菱形和正方形等半开放问题，实现学会思考等可逆思维的培养目标。

融入式实验是一种新的实验朝向，有助于学生“看得见”思维、“看得见”思考和“看得见”能力。融入实验不止于“看得到”，更重要的是依托于现在“看得到”和以前“看得到”，进行双向思考，促进可逆思维能力的培养，这才是数学实验的本质。如果说从“牙膏盒的变形”到“特殊四边形概念的抽象”是在数学抽象中融入实验，那么“发现→概括→验证”是在数学思考中融入实验，而“结构关系建立→半开放条件添加”则是在使用概念的过程中助推学生逆向思维的发展。

三、利用“附加式”数学实验培养可逆思维，学会反思，实现问题解决目标

人本主义心理学家马斯洛认为，“学习具有发自内心的生长潜力，教师的任务不只是教学生知识，更重要的是为学生设置良好的学习环境，让学生自行学习”[4]。这里的“良好的学习环境”包括客观的课堂物理环境和问题驱动思维环境。只有创设问题“思维块”，让学生在问题解决中形成良好的“思维愤悱”状态，才能发挥附加式数学实验的教育功能，进而培养学生的可逆思维。比如，探讨矩形中点四边形问题时，通过“画图→猜想→验证”等活动，激发学生的数学思维，让学生获得实验结论。基于这一认识与经验，引导学生在“逆向思考”中，探讨满足什么条件的四边形的中点四边形是菱形。毋庸置疑，问题解决不止于解决问题，更在于给了学生创设提出问题的情境，让学生有创造性思考的机会，这里的思考就需要具有逆向思维的能力。从这个意义上讲，提出问题比解决问题更重要，提出问题是人发挥创造性的开始，同时提出问题又是附加式实验的结果形态。

附加式数学实验就是在各级各类“小结”和“反问监控”中，让学生在参与数学实验的过程中，获得系统知识的能力，实现“知其然、知其所以然和知其所不然”的系统目标，进而使得学生从“逆向思维”走向“元认知”的发展。基于这一认识，可以说附加式实验至少包括两个维度的思维形态。一方面是在“反问监控”时附加实验，让学生知道知识的来龙去脉;另一方面是在“结课模块”，让学生在反思中进行思维实验，形成系统思维。可以说，所有的思维形态，都是问题解决的思维产物。正如《课程标准》指出的那样，“初步学会从数学的角度发现和提出问题，提高实践能力和创新精神;获得分析问题和解决问题的一些方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识;初步形成合作、评价与反思意识。”为此，进行附加式实验，需要做好三个层面的工作：一是让学生在问题解决中附加实验，培养发现和提出问题的能力;二是在激发思维愤悱状态中附加实验，培养分析问题和解决问题的能力;三是在反思评价中附加实验，实现知识的迁移和元认知的进一步发展。

例如，在研究“特殊四边形”的形成条件时，就是基于“問题解决”，在思维的参与下，实施层级性附加实验，培养学生从特殊到一般的数学思维能力。具体实验步骤为：某校八（3）班几位同学尝试用矩形纸片ABCD（见图1）折出常见的中心对称图形。基础实验：小明将矩形纸片先对折，使AB和DC重合，展开后得折痕EF，再折出四边形ABFE和CDEF的对角线，它们的对角线分别相交于点G、H（见图2），最后将纸片展平，判断四边形EGFH的形状（菱形，判断依据是四边相等的四边形是菱形等）。附加实验1：点E、F分别为矩形纸条ABCD的边AD、BC上的点，小华将矩形纸片沿EF翻折，使点C、D分别落在矩形外部，记为点C′、D′，FC′与AD交于点G，延长D′E交BC于点H（见图3），求证：四边形EGFH是菱形（判断依据：一组邻边相等的平行四边形是菱形）。附加实验2：小丽将矩形纸片两端向中间翻折，使得点A、C落在矩形内部，分别记为点A′、C′，点B、D落在矩形外部，分别记为点B′、D′，折痕分别为EF、GH，且点H、C′、A′、F在同一条直线上（如图4），试判断四边形EFGH的形状，并说明理由。

《课程标准》指出，“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。”上述的“折纸实验”就是数学与生活关联的典型，是一种有效的附加实验，穿插在“中心对称图——平行四边形”的小结与思考模块中，为后续提出问题做好铺垫。如果说，基础实验是注重问题解决的话，那么附加实验1是激活思维的有效载体，而附加实验2则是反思评价的表现形式，有助于学生在做中反思，在反思中评价，在评价中培养思维，进而实现实践创新和问题解决的目标。正如有学者所言，“有趣的思考胜过千言万语的赞美，学习成就高的学生，并不是预期会得到赞赏，而是将学习当成一趟有趣的发现之旅，不断地发现学习的乐趣”[5]。这就是附加式数学实验的实践意义，能让学生站在系统思维层面，发展可逆思维和创造性思维。

参考文献：

[1]顾明远.教育大辞典[M].上海：上海教育出版社， 1990：198.

[2]易良兵.落实“学为中心”的任务驱动型教学设计——以“一次函数”专题复习课为例[J].中国数学教育， 2019（9）：33-36.

[3]赵国庆.思维教学研究百年回归[J].现代远程教育研究，2013（6）：39-49.

[4]郭德俊，雷雳.教育心理学概论[M].北京：警官教育出版社， 1998：62.

[5]郑毓信.数学教育科研之关键性论题与发展趋势[J].数学教育学报， 1998（4）：7.

责任编辑：赵赟