保持算子Jordan--triple乘积幂等性的映射

董改芳

(朔州师范高等专科学校.山西 朔州 036002)

0 引言

1 符号及概念

H是复的完备的不定内积空间,B(H)是H上所有有界线性算子构成的代数,I是单位元,C*,R*是非零复数集和实数集，I*(H),I(H)表示B(H)的非零幂等元、一秩幂等元集合.

∀x,y∈H,若∃S∈B(H)使得[Tx,y]=[x,Sy],称S是T相对于不定内积的不定共轭,记S=T+.假设(H,〈·,·〉)是一个Hilbert空间,J∈B(H)是自伴可逆算子,定义[·,·]=〈J(·),·〉, 那么(H,[·,·]J)是一个由J诱导出的完备的不定内积空间.设T∈B(H),那么T相对于[·,·]J的不定共轭T+有形式T+=J-1T*J,这里T*表示T相对于〈·,·〉通常意义下的共轭.

2 主要结果

定理1Ω⊂B(H)且I∈Ω,C*I1(H)⊂Ω.Φ:Ω→Ω为满射,Φ(I)=I.则对∀A,B∈Ω,Φ满足AB+A∈I*(H)⟺Φ(A)Φ(B)+Φ(A)∈I*(H)⟺∃c∈R*,∃有界可逆线性或共轭线性算子U∈B(H),U+U=c-1I使得Φ(A)=cUAU+对所有的A∈Ω成立,或Φ(A)=cUA+U+对所有的A∈Ω成立.

3 证明

引理1设A,B∈Ω,其中至少一个不同于0和I.则下列条件等价:

(i)A=B;

(ii)对每一个T∈Ω,TAT∈I*(H)⟺TBT∈I*(H).

证明 (i)→(ii)显然.

(ii)→(i).首先假定A=λI,λ∈C且λ≠0,1.若B为非数乘算子,则∃x∈H

使得x与Bx线性无关,从而x与Bx-x线性无关,故∃y∈H使得[x,y]=〈x,Jy〉=1,

此蕴涵λ=μ,因此A=B.

如果A,B都是非数乘算子,首先我们断言:∀x∈H,x与(A-B)x线性相关.事实上,若∃x∈H使得x与Ax-Bx线性无关,则x与Ax-Bx-2x线性无关,于是∃y∈H使得[x,y]=〈x,Jy〉=1,且[Ax-Bx-2x,y]=〈Ax-Bx-2x,Jy〉=0,从而[Ax-Bx,y]=〈Ax-Bx,Jy〉=〈Ax,Jy〉-〈Bx,Jy〉=2.令Tλ=λx⊗y∈Ω,则

TλATλ=λ2〈Ax,Jy〉x⊗y,TλBTλ=λ2〈Bx,Jy〉x⊗y.

现在由断言知A=B+αI对某个α∈C成立.我们将证明α=0.由于A为非数乘算子,故∃x∈H使得x与Ax线性无关.于是∃y∈H使得[x,y]=〈x,Jy〉=1,且[Ax,y]=〈Ax,Jy〉=1.令T=x⊗y∈Ω,则TAT=x⊗yAx⊗y=〈Ax,Jy〉x⊗y=x⊗y∈I*(H),蕴含〈Bx,Jy〉=〈Ax,Jy〉-α〈x,Jy〉=1-α=1.故α=0.所以A=B.证毕.

引理2令A∈Ω,则下列条件等价:

(i)A=0;

(i)对每个T∈Ω,TAT∉I*(H).

证明 (i)→(ii)显然.

TAT=x⊗yAx⊗y=〈Ax,Jy〉x⊗y=x⊗y∈I*(H),矛盾.所以A=0.证毕.

引理3Φ(0)=0,Φ为单射,且Φ双边保幂等元.

证明 由引理2知,A=0⟺Φ(0)=0.如果∃A,B≠O使得Φ(A)=Φ(B),则Φ(A)+=Φ(B)+.于是对每个Φ(T)∈Ω,Φ(T)Φ(A)+Φ(A)∈I*(H)⟺Φ(T)Φ(B)+Φ(A)∈I*(H).

由于对每个T∈Ω,Φ(T)Φ(A)+Φ(A)∈I*(H)⟺TA+T∈I*(H),Φ(T)Φ(B)+Φ(A)∈I*(H)⟺TB+T∈I*(H).

因此,对每个T∈Ω,TA+T∈I*(H)⟺TB+T∈I*(H).再次利用引理1可得A+=B+,从而A=B.因此Φ为单射.对∀P∈Ω,由于P∈I*(H)⟺P+∈I*(H)⟺IP+I∈I*(H)⟺Φ(I)Φ(P)+Φ(I)∈I*(H⟺Φ(P)+∈I*(H)⟺Φ(P)∈I*(H),且T=0⟺Φ(T)=0.所以Φ双边保幂等元.证毕.

引理4设P∈I*(H),则下列条件等价:

(i)rank(P)=1;

(ii)对每个Q∈I(H),QPQ∈I*(H)⟺PQP∈I*(H).

证明 (i)→(ii).令P=x⊗y,[x,y]=〈x,Jy〉=1.对每个Q∈I(H),由于

QPQ=Qx⊗yQ=Qx⊗Q+y,PQP=x⊗yQx⊗y=[Qx,y]x⊗y=〈Qx,Jy〉P,且[Qx,Q+y]=[Qx,J-1Q*Jy]=〈Qx,Q*Jy〉=〈Qx,Jy〉,

故可得〈Qx,Jy〉=1⟺QPQ∈I*(H)⟺PQP∈I*(H)对每个Q∈I(H)成立.

(ii)→(i).假设rank(P)>1,则存在线性无关的向量x1,x2∈rng(P),于是∃y∈H使[x1,y]=〈x1,Jy〉=1,[x2,y]=〈x2,Jy〉=0,且对∀x∈ker(P),

[x,y]=〈x,Jy〉=0.取u∈ker(P)≠{0},w∈H使得[u,w]=〈x,Jy〉=1,且对∀z∈rng(P),[z,w]=〈z,Jy〉=0.令Q=(x1+x2)⊗y+(x2+u)⊗w∈I*(H),则QPQ={(x1+x2)⊗y+(x2+u)⊗w}P{(x1+x2)⊗y+(x2+u)⊗w}={(x1+x2)⊗y+(x2+u)⊗w}{(x1+x2)⊗y+x2⊗w}=(x1+x2)⊗y,PQP=P{(x1+x2)⊗y+(x2+u)⊗w}P={(x1+x2)⊗y+x2⊗w}P=(x1+x2)⊗P+y+x2⊗P+w,(PQP)2={(x1+x2)⊗P+y+x2⊗P+w}2=(x1+x2)⊗P+y.

由于[x1+x2,y]=〈x1+x2,Jy〉=1,x2⊗P+w≠0,故QPQ∈I*(H),(PQP)2≠PQP,PQP∉I*(H),矛盾.所以rank(P)=1.证毕.

引理5Φ双边保一秩幂等元.

证明 对∀P∈I1(H),由引理4知,rank(P)=1⟺rank(P+)=1.

⟺对每个Q∈I(H),

QP+Q∈I*(H)⟺P+QP+∈I*(H)⟺PQ+P∈I*(H).

⟺对每个Φ(Q)∈I(H),

Φ(Q)Φ(P)+Φ(Q)∈I*(H)⟺Φ(P)Φ(Q)+Φ(P)∈I*(H)⟺Φ(P)+Φ(Q)Φ(P)+∈I*(H).⟺

rank(Φ(P)+)=1⟺rank(Φ(P))=1.

因此,Φ双边保一秩幂等元.证毕.

引理6[1]设P≠Q,P,Q∈I1(H),且dimH≥4.则下列等价：

(i)P～Q;

(ii)∃R∈I1(H),R≠P,R≠Q且对∀T∈I1(H),PTP,QTQ∈I*(H)蕴含RTR∈I*(H).

引理7设P,Q∈I1(H),则P～Q⟺Φ(P)～Φ(Q).

证明 由引理5,引理6,再由Φ的单射性知,

P～Q⟺∃R∈I1(H),R≠P,R≠Q且对∀T+∈I1(H),PT+P,QT+Q∈I*(H)蕴含RT+R∈I*(H).

⟺∃Φ(R)∈I1(H),Φ(R)≠Φ(P),Φ(R)≠Φ(Q)且对∀B=Φ(T)+∈I1(H)

Φ(P)BΦ(P)∈I*(H),Φ(Q)BΦ(Q)∈I*(H)蕴含Φ(R)BΦ(R)∈I*(H).

⟺Φ(P)～Φ(Q).证毕.

引理8[1]设P,Q∈I1(H),则P⊥Q⟺不存在R∈I1(H)使得PR且QR.

引理9设P,Q∈I1(H),则P⊥Q⟺Φ(P)⊥Φ(Q).

证明 若Φ(P)⊥Φ(Q)不成立,由引理8,∃T∈I1(H)使得Φ(P)T且Φ(Q)T.由引理5,引理7,∃R=Φ-1(T)∈I1(H)使得PR且QR.再次利用引理8,P⊥Q不成立,所以必要性成立.若P⊥Q不成立,由引理8,∃R∈I1(H)使得PR且QR.由引理5,引理7,∃B=Φ(R)∈I1(H)使得Φ(P)B且

Φ(Q)B.再次利用引理8得,Φ(P)⊥Φ(Q)不成立.故充分性成立.

引理10设H为无限维,为定理1中所述,则∃c∈R*,∃有界可逆线性或共轭线性算子U,U+U=c-1I使得Φ(P)=cUPU+对所有的P∈I1(H)成立,或Φ(P)=cUP+U+对所有的P∈I1(H)成立.

证明 引理9说明Φ双边保一秩幂等元的正交性,因此存在有界可逆线性或共轭线性算子S使得Φ(P)=SPS-1对所有的P∈I1(H)成立,或Φ(P)=SP*S-1对所有的P∈I1(H)成立.下面我们将证明∃c∈R*,∃有界可逆线性或共轭线性算子U,U+U=c-1I使得Φ(P)=cUPU+对所有的P∈I1(H)成立,或Φ(P)=cUP+U+对所有的P∈I1(H)成立.

对∀x∈H,取z∈H使得〈x,z〉≠0且〈x,Jz〉=1.再取y,w∈H使得x⊗y,z⊗w∈I1(H)且〈J-1w,y〉=1.由于

x⊗y(z⊗w)+x⊗y=x⊗yJ-1(z⊗w)*Jx⊗y=x⊗yJ-1w⊗Jz·x⊗y=〈J-1w,y〉〈x,Jz〉x⊗y,且〈J-1w,y〉〈x,Jz〉〈x,Jy〉=1.

故x⊗y(z⊗w)+x⊗y∈I*(H).因而我们有Φ(x⊗y)Φ(z⊗w)+Φ(x⊗y)∈I*(H).

如果Φ(P)=SPS-1对所有的P∈I1(H)成立,由于

Φ(x⊗y)Φ(z⊗w)+Φ(x⊗y)=Sx⊗yS-1(Sz⊗wS-1)+Sx⊗yS-1=

Sx⊗(S-1)+yJ-1(Sz⊗(S-1)+w)*JSx⊗(S-1)+y=

Sx⊗(S-1)+yJ-1(S-1)+w⊗JSzSx⊗(S-1)+y=

〈J-1(S-1)+w,(S-1)+y〉〈Sx,JSz〉Sx⊗(S-1)+y∈I*(H),

所以有

〈J-1(S-1)+w,(S-1)+y〉〈Sx,JSz〉〈Sx,J(S-1)+y〉=

〈J-1(S-1)+w,(S-1)+y〉〈Sx,JSz〉〈Sx,(S-1)*Jy〉=

〈J-1(S-1)+w,(S-1)+y〉〈Sx,JSz〉〈x,Jy〉=

〈J-1(S-1)+w,(S-1)+y〉〈Sx,JSz〉=1.

令〈Sx,JSz〉=α,则α≠0,且〈Sx,JSz〉=α〈x,Jz〉.于是可得

〈Sx,JSz〉-α〈x,Jz〉=〈S*JSx,z〉-〈αJx,z〉=〈(S*JS-αJ)x,z〉=0.

由于〈x,z〉≠0,故我们有S*JS=αJ,等式两边同时左乘以J-1得,J-1S*JS=αI,从而S+S=αI.令c-1=I,U=S,则S-1=α-1S+=cU+,U+U=c-1I.

又因为c-1I=(U+U)+=U+U=c-1I,所以c∈R*.因此∃c∈R*,∃有界可逆线性或共轭线性算U,U+U=c-1I使得Φ(P)=cUPU+对所有的如果Φ(P)=SPS-1对所有的P∈I1(H)成立.

如果Φ(P)=SP*S-1对所有的P∈I1(H)成立,由于

Φ(x⊗y)Φ(z⊗w)+Φ(x⊗y)=S(x⊗y)*S-1(S(z⊗w)*S-1)+S(x⊗y)*S-1=

Sy⊗(S-1)+xJ-1(Sw⊗(S-1)+z)*JSy⊗(S-1)+x=

Sy⊗(S-1)+xJ-1(S-1)+z⊗JSxSy⊗(S-1)+x=

〈J-1(S-1)+z,(S-1)+x〉〈Sy,JSw〉Sy⊗(S-1)+x∈I*(H),

所以有

〈J-1(S-1)+z,(S-1)+x〉〈Sy,JSw〉〈Sy,J(S-1)+x〉=

〈J-1(S-1)+z,(S-1)+x〉〈Sy,JSw〉〈Sy,(S-1)*Jx〉=

〈J-1(S-1)+z,(S-1)+x〉〈Sy,JSw〉〈y,Jx〉=

〈J-1(S-1)+z,(S-1)+x〉〈Sy,JSw〉=1.

令〈J-1(S-1)+z,(S-1)+x〉=α-1,则α-1≠0.注意到J2=I.所以

〈J-1(S-1)+z,(S-1)+x〉=〈J-1(S-1)+z,J-1(S-1)*Jx〉=

〈(S-1)+z,(S-1)*Jx〉=〈JS-1(S-1)+z,x〉=α-1=α-1〈x,Jz〉=〈α-1Jz,x〉.

引理11[1]设P∈I1(H),A∈Ω,α∈C,且α≠0,1,则下列等价：

(i)A=αP;

(ii)对每个Q∈I1(H),αQPQ∈I*(H)⟺QAQ∈I*(H)蕴涵RTR∈I*(H).

引理12[1]设A,B∈Ω,且A,B∉CI,则下列等价：

(i)A=B;

(ii)对每个P∈I1(H),∀α∈C,我们有αPAP∈I*(H)⟺αQBQ∈I*(H).

引理13[1]设A,∈Ω,λ∈C,且λ≠0,1,则下列等价：

(i)A=λI;

(ii)对每个P∈I1(H),我们有PAP∉I*(H).

下面我们给出定理1的证明

定理1的证明 充分性是显然的,下面来证明必要性.

由引理10知,∃c∈R*,∃有界可逆线性或共轭线性算子U,U+U=c-1I使得Φ(P)=cUPU+对所有的P∈I1(H)成立,或Φ(P)=cUP+U+对所有的P∈I1(H)成立.下面我们证明Φ(A)=cUAU+对所有的A∈Ω成立,或Φ(A)=cUA+U+对所有的A∈Ω成立.

如果Φ(P)=cUPU+对所有的P∈I1(H)成立.定义Ψ:Ω→Ω如下：

Ψ(A)=cU+Φ(A)U,(∀A∈Ω)

则Ψ(P)=cU+cU+PUU=P对所有的P∈I1(H)成立,且Ψ(I)=I.

对任意的A,B∈Ω,

AB+A∈I*(H)⟺Ψ(A)Ψ(B)+Ψ(A)=

cUΦ(A)UcU+Φ(B)+UcU+Φ(A)U=cUΦ(A)Φ(B)+Φ(A)U∈I*(H).

如果Φ(P)=cUP+U+对所有的P∈I1(H)成立.定义Ψ:Ω→Ω如下：

Ψ(A)=cU+Φ(A)+U,(∀A∈Ω)

则Ψ(P)=cU+(cU+P+U)+U=cU+cUPU+U=P对所有的P∈I1(H)成立,

且Ψ(I)=I.对∀A,B∈Ω,

所以无论哪种情形都有Ψ(P)=P对所有的P∈I1(H)成立,Ψ(I)=I.且对∀A,B∈Ω,AB+A∈I*(H)⟺Ψ(A)Ψ(B)+Ψ(A)∈I*(H).即Ψ也满足定理的条件.

由此我们可以看出,为了完成定理的证明,只需要下列几步就可证明对所有的A∈Ω,Ψ(A)=A.

第一步.对∀P∈I1(H),∀α∈C,且α≠0,1,我们有Ψ(αP)=αP.

对每个Q∈I1(H),Q(αP)+Q∈I*(H)⟺Ψ(Q)Ψ(αP)+Ψ(Q)∈I*(H).因为Ψ(Q)=Q,所以,对每个Q∈I1(H),Q(αP)+Q∈I*(H)⟺QΨ(αP)+Q∈I*(H).

由引理11知,Ψ(αP)+=(αP)+,故Ψ(αP)=(αP).

第二步.对∀A∈Ω,且A∉CI,我们有Ψ(A)=A.

对每个P∈I1(H),∀α∈C,αPA+P∈I*(H)⟺Ψ(αP)Ψ(A)+Ψ(P)∈I*(H).

因为Ψ(P)=P,且由第一步知Ψ(αP)=αP,故对每个P∈I1(H),∀α∈C,

αPA+P∈I*(H)⟺αPΨ(A)+P∈I*(H).由引理12可得Ψ(A)+=A+.所以Ψ(A)=A.

第三步.对∀λ∈C,且λ≠0,1, 我们有Ψ(λI)=λI.

由定理1,我们可以得到以下推论1,它刻画了无限维Hilbert空间上保持算子Jordan-*-triple乘积幂等性的映射.

推论1设H为复的无限维的Hilbert空间,Ω⊂B(H)且I∈Ω,C*I1(H)⊂Ω.

Φ:Ω→Ω为满射,Φ(I)=I.则对∀A,B∈Ω,Φ满足

AB*A∈I*(H)⟺Φ(A)Φ(B)*Φ(A)∈I*(H)

⟺∃酉算子或共轭酉算子U∈B(H)使得Φ(A)=UAU*对所有的A∈Ω成立,或Φ(A)=UA*U*对所有的A∈Ω成立.