排队系统的贝叶斯分析

王颖俐,张丽萍

(1.长治学院 数学系，山西 长治 046011;2.太原师范学院 学报编辑部，山西 晋中 030619)

排队，在我们的日常生活中是如此常见，任何时候，只要“顾客”要求某一设施提供“服务”，就会出现排队系统．排队论在通信理论、制造过程和运输等系统中都有广泛的应用．近年来，随机过程中的统计推断，尤其是排队过程中的统计推断引起了研究者的广泛关注．从队列设计和排队系统性能比较的角度来看，排队过程中到达率、服务率、服务强度等参数的估计假设检验问题是非常重要的．

队列参数估计的最早工作是Clarke(1957)[1]，他得到单服务M/M/l排队中到达率和服务率的MLE估计．Armero和Bayarri(1994)[2]获得了M/M/l队列中服务强度的Bayes估计．Mukherjee和Chowdhury(2005)[3]在平方误差损失函数和线性加指数效用函数下得到了M/M/l队列中服务强度的Bayes估计．Dey(2006)[4]在不同先验假设和一般平方误差损失函数下，得到了服务强度和各种队列特征的贝叶斯估计．

在本文中，我们讨论一个非常简单但经常发生的排队系统，即假定有无限个服务器，因而不会发生拥塞的排队系统．当然，在现实生活中不可能有无限的服务器,从技术上讲，这是一种系统.在这个系统中，客户可以毫不延迟地立即收到服务，通常被建模为具有无限服务器的排队系统．一般的例子是由紧急服务机构(如救护车、警察、消防员等)和任何自助服务机构提供的．无限服务系统也被用来模拟延迟到达，这是根据一个M/G/∞系统的输出是泊松过程的结论得到的(相关实例子见Turnquist和Jordan，1986[5])．对于无限的服务器的排队系统，经常是用有限的、但非常大的、很少发生拥塞的服务器数量来近似队列的行为；这实际上就是上面提到的救护车服务的例子.或者是一个非常重要的例子，其中“客户”是在一个大型通信网络中使用的线路．现实生活中的例子可以在Parikh(1977)[6]和Kao and Tung(1981)[7]中找到．最后，M/M/∞单队列是具有无限个服务器队列的多个网络的输入．这些都是研究和应用的重要课题．Armero和Bayarri(1997)[8]获得了M/M/∞队列的Bayes估计．Ren Haiping和Wang Guofu[9]获得了损失函数熵下的M/M/1排队的贝叶斯估计．本文旨在获得了预防损失函数熵下的M/M/∞排队中到达率与服务率比值的贝叶斯估计．

1 排队系统简介

1.1 M/M/n排队系统简介

在一个M/M/n排队系统中，顾客的到达过程是参数为λ的泊松过程(即到达间隔的时间序列为独立同分布于均值为1/λ的指数分布的随机变量序列)[10]．该系统有n个独立且同分布于B～Γ(1,μ)的服务器．且到达与服务这两个过程是相互独立的．参数λ称为到达率，μ称为服务率．

设X(t)表示系统在t时刻的顾客总数，由排队论基础[10]知{X(t),t≥0}是生灭过程，且生率λi=λ,i=0,1,2,…，灭率

(1)

(2)

其中πk表示系统处于均衡时，有k个顾客的概率．

对于M/M/1，πk=(1-ρ)ρk,k=0,1,2,….

(3)

(4)

对于(4)式取极限可得M/M/∞系统的稳态队长分布为

(5)

1.2 M/M/∞排队系统简介

我们现在讨论n趋于无穷时的情况．这就是M/M/∞排队，也称为无限服务器、响应服务器或有充足服务器队列或无限服务器的队列．假设随机变量X为系统在平稳状态下系统中的顾客数，令θ=λ/μ，则在该系统下0<θ<+∞，且由(5)式可知X的分布律为

(6)

由此可得其似然函数为

(7)

在贝叶斯方法中，我们进一步假设研究人员可以从过去对底层排队系统的经验中获得关于排队参数θ的一些先验知识．先验知识通常可以概括为θ的参数空间上所谓的先验密度．在接下来的讨论中，我们假设

(A)准先验:如果实验前没有关于参数θ的先验信息的情况，可以使用如下式所示的准密度

(8)

当c=0会导致扩散性先验，c=1导致非信息性先验．

(B)贝塔先验:一般情况下，参数θ的先验分布是具有参数a、b的贝塔先验分布，它的密度函数形式为

(9)

2 贝叶斯估计

(10)

(11)

2.1 在准先验下的贝叶斯估计

我们考虑当θ具有准先验密度(8)的情况．

在损失函数(10)下可得M/M/1排队中服务强度θ的后验密度(12)及贝叶斯估计(13)为

(12)

(13)

接下来，我们考虑M/M/∞排队中服务强度θ的先验密度为准先验(8)的情形．由式(7)及(8)，利用Bayes定理可得θ的后验密度为

(14)

在式(10)下参数θ的贝叶斯估计量(11)为

(15)

2.2 在贝塔先验下的贝叶斯估计

在这部分，我们考虑参数θ的先验分布是含有参数a、b的贝塔先验密度(9)．

在损失函数(10)下可得M/M/1排队中服务强度θ的后验密度(16)及贝叶斯估计(17)为

(16)

(17)

接下来，我们考虑M/M/∞排队中服务强度θ的先验密度为准先验(9)的情形．由式(7)及(9)，利用Bayes定理可得θ的后验密度为

(18)

在式(10)下参数θ的贝叶斯估计量(11)为

(19)

在(19)式中当b=1时，其值为

(20)

3 结论

本文在两种不同的先验分布的前提下，分别得到了加权平方误差下关于M/M/∞队列中参数λ/μ的贝叶斯估计．与频率论方法不同，贝叶斯方法具有许多不受欢迎的特性，贝叶斯方法更适合于清晰的分析．在文中，我们仅考虑了在给定先验分布前提下得到参数θ的贝叶斯估计量，是否对于其他先验分布也有类似结论，可作为下一步工作目标．另外，可通过仿真检验估计值是否可靠．