以函数为例谈数学知识与数学素养的有机融合

王 嵘

(人民教育出版社 课程教材研究所 100081)

纵观百年发展，我国中学数学课程从传授知识到发展智能再到提升素养，越来越注重数学的育人价值.特别是《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称《标准》)，提出了六大数学核心素养，并给出了明确具体的界定.在教材编写、教学实践和学业评价中，如何处理数学知识与核心素养的关系，达成两者的有机融合，是实现课程目标的关键.本文以函数为例，聚焦教材编写，从体系建构和呈现方式两个方面探讨这个问题.

1 强调逻辑性和关联性的主线建构

《标准》指出，六个数学核心素养既相对独立、又相互关联，是一个有机的整体，而且它们是在数学学习和应用过程中逐步形成和发展的.因此，数学核心素养的培养具有连续性和阶段性.相应地，教材就需要构建一个结构体系，努力处理好知识的整体性和层次性与素养的连续性和阶段性之间的关系.

核心概念位居数学概念体系的中心，它既具有丰富的数学基本特征，又具有很强的自我生长能力和联系纽带作用.因此，无论是对数学知识还是核心素养，它都具有强大的纵向融合贯通、横向紧密联系的组织功能.[1][2]以核心概念的逻辑发展为主线组织相关知识，以其子概念为载体，发展不同主线间的联系，就能形成主线明确、联系通道顺畅的网状教材体系，从而将数学知识的整体构建与核心素养的连续发展融为一体.

1.1 单条主线的纵向贯通

根据函数的逻辑发展，从定义到性质，从一般到具体和特殊，从关系到对象，形成了贯穿高中数学课程的函数主线(图1).首先，基于初中函数定义的变量说，提升抽象程度，研究一般函数的概念，得到函数定义的对应关系说，并系统研究函数的性质；然后基于一般的函数概念，既可以根据变化规律的特点，分析数量关系特征(函数结构)，得到四类基本初等函数，也可以将定义域限制在自然数集，得到一类特殊的函数——数列，并研究这些函数类的性质和应用；最后，将函数作为一种对象，从对函数分类到研究一元函数的导数，进入数学分析的领域.

图1 函数的逻辑发展主线[注] 虚线框为初中学过的知识，仿宋字为渗透使用、延伸到大学将学的知识.

根据这条主线，教材采用相对集中、分段安排的编排方式，以突出知识的逻辑性、整体性和素养的连续性、阶段性.具体做法有：(1)函数的概念、函数的表示法、函数的性质、基本函数类、函数的应用集中于一册，放在高一年级；特殊函数类、一元函数的导数集中于一册，放在高二年级.(2)函数的理解，分为两个阶段：一是理解它的概念本质，即对应关系；二是对函数进行分类，把每一类函数当作一个整体并研究它的结构与共性，即将函数作为一个对象进行操作.例如根据函数结构差异可以分为幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，这些基本初等函数是函数大厦的基石，经过有限次代数运算和复合运算、逆运算(反函数)，以及求极限、导数、积分就可以得到更多的新函数.(3)函数的性质，也分为两个阶段理解：一是介绍四个初等性质：单调性、最值(有界性)、奇偶性和周期性；二是渗透连续性和可导性，这种渗透都是基于直观上的使用，例如结合图象对“连续不断曲线”的感知，以及结合具体函数认识某一点“可导”等.对于分阶段学习和理解的知识，教材通过关注以下两点来加强主线的整体性：(1)从哪里来，延续初中所学，往哪里去，延伸到大学将学，例如章引言、节引言和章小结中的概要说明；(2)阶段性总结，例如函数性质的高一与高二的跨年级总结，特别是单调性的直观理解、代数求解、导数刻画的总结以及相关数学素养的阶段性提升.

1.2 不同主线间的横向联系

除了函数主线，高中数学课程还有三条主线：几何与代数，概率与统计，数学建模活动与数学探究活动[3].以函数的某些子概念为载体，就可以发展出与其他主线的联系(图2).函数是刻画运动变化的数学模型，其类型的多样性和性质的丰富性使得它可以表达丰富的现实世界规律.因此，数学建模活动和函数学习有一种天然的联系，从获得函数概念、每一类函数以及函数的应用，几乎都离不开建模活动.而基本初等函数以及通过运算产生的新函数为概率与统计提供了相应的数学工具，例如用函数模型模拟双变量情形中的趋势，建立回归模型，利用指数函数的图象和性质了解正态分布的特点.进一步，当用代数方法研究几何时，运动、曲线、函数就和谐地联系在一起了，如一次函数与直线，二次函数与抛物线，三角函数与圆、斜率、向量、复数，等等.

图2 函数与其他主线之间的联系

根据主线间的横向联系，教材通过加强联系来突出数学的整体性，主要做法有：(1)强化子概念的桥梁作用.不同主线之间的联系是通过主线核心概念的某些子概念建立的，因此呈现这些子概念时，特别突出了“桥梁”的搭建过程.比如与其他主线建立联系最多的三角函数，关注了两个“对应”的建立：一是，角本身是一个几何对象，引入弧度制，角和实数建立一一对应，符合对应关系的函数定义；二是，将角放在坐标系中，角的变化与单位圆上点的变化建立了对应，再利用圆的几何性质，就可以得到相应的三角函数之间的关系，像诱导公式等.再如一元线性回归模型，借助一次函数建立回归模型，同时通过两者的区别说明了回归模型的含义.(2)绘制关系框图.为了简单、明确地表明知识之间的逻辑发展和相互联系，教材在小结中采用了框图形式.比如图3[注]人民教育出版社中学数学室，普通高中教科书数学必修第二册(送审本)：98.，就表明了复数与实数、有理数，以及和平面向量、三角函数之间的关系.

图3 关系框图

2 展现知识和思维发生发展的双过程

在教材整体结构设计之后，更为具体化、可视化的是教材的呈现，即如何在数学知识的表述中体现数学素养，将知识学习与素养培养融为一体.我们认为，通过数学学习，无论是培养能力还是形成品德，都会具有数学的基本特征，而数学就是思维的科学，只有具有了数学的思维方式，拥有了一定的数学知识，才能以数学的眼光观察和发现问题，才能以数学的思想和方法分析和解决问题，才能在这个过程中养成探索精神和理性精神，才能实现数学在形成人生观、价值观、世界观等方面的独特作用.因此，教材以“展现双过程”为桥梁，基于知识学习，以思维能力的培养为核心，并由此延伸到一般能力和个人品德的培养.

2.1 基于知识的发生发展，体现数学的思维方式

当我们强调数学不只是学习知识，还要学习思想和方法时，我们需要展现知识发生发展的过程，让学生通过经历这个过程，学会知识、掌握方法、理解思想；同样地，如果要培养学生的思维能力，那么就需要让学生使用数学思维方法，经历思考的过程.概括而言，就是让学生以数学的思维方式经历知识的发生发展，既学会了知识，又受到了研究方法的训练，从而培养了学生的思维能力，提升了数学素养.

知识发生发展的过程大致为：从哪里来，即数学对象的背景；如何获得的，即数学对象的产生；具有哪些性质、有何拓展与应用，即数学对象的发展.相应地，实现这个过程的数学思维方式大致为：观察客观现象，分析其主要特征，抽象出概念；然后通过探索，运用直观想象、归纳、比较，做出某种猜想；对猜想进行证明，需要进一步的深入分析、计算和逻辑推理，揭示出事物的内在规律.例如图4，展示了函数的发生发展和数学思维方式之间的一些主要关系，观察背景实例，抽象概括出概念，通过比较归纳获得性质，运用分析与综合进行论证和应用.

图4

2.2 两个案例：指数函数与导数

为了较为直观具体地说明如何通过展开知识和思维发生发展的“双过程”，从而将知识学习和数学素养培养相融合，下面来分析两个案例.

1．指数函数的概念：数学运算素养与数学抽象素养

“指数”最初是多次自乘的一种缩写符号，“指数法则：aman=am+n”也可以看成结合律的一种特殊情形.当“保持指数法则”不变时，逐步地把指数从整数推广到分数、一直到实数后，就得到一个函数，即指数函数.同时，指数函数也是一类自然规律的数学抽象，它刻画的是某类增长率为定值的变化事物，即变化事物的增长速率与其自身成正比，而线性函数的增长速率为定值，所以指数函数是级数增长，也就是通常所说的指数爆炸.

在高中阶段，“无理数指数幂”实现了指数从整数到实数的推广，明确了其意义与运算性质.“指数函数”则是作为刻画某一类自然规律的函数学习，因此，指数函数的概念是从这一类自然规律中抽象获得.但是在抽象过程中，很关键的是对于数量关系、运算特点的分析，通过分析，去掉非本质的，保留本质的属性，获得共同的数学结构.

(1)精选例子：观察—分析

在数学研究中，数学抽象的第一步是发现数学现象，即从纷繁复杂的情景中发现一些反复出现的、预示着某种规律性的数学现象.由于教科书的局限性，不可能呈现这种复杂的情景，因此，教科书一般需要精挑细选作为数学抽象情景的例子.根据指数函数刻画的自然规律类型，教科书精选了两个实例：旅游经济问题和碳14衰减问题.第一个实例有两个特点：一是贴近实际，A，B两地景区的数据均源于真实数据，两地景区的游客人数变化分别呈线性增长和指数增长；二是以表格呈现原始数据，学生需要通过观察、作图、运算等发现数据蕴含的规律.第二个实例是经典的指数函数问题，直接给出了变化规律：生物体死亡后，它体内碳14含量会按确定的比率衰减，学生需要根据这个规律写出碳14含量与死亡年数的关系式.两个实例，一个是指数增长，一个是指数衰减；一个需要观察和分析数据，一个需要观察和分析关系式的变化特点.

(2)恰时恰点设问：分析—抽象—比较—概括—抽象[5]

设问是引导学生独立思考，展现思维过程的重要手段.恰时恰点地设问，是教科书编写的目标之一，也是不断改进的环节之一.对于旅游经济这个实例，通过数据及其图象，学生能观察到数据的变化规律：A地景区的游客人数呈线性增长，B地景区的游客人数呈非线性增长.那么，这种非线性增长的特点是什么？是否可以用数学工具刻画呢？这时，简单的数据和图象趋势的观察和分析，已经不能解决这些问题，需要寻找方法深入分析和比较.因此，教科书设置“探究”栏目提出问题：年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的.能否通过对B地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律？通过这个问题，引导学生思考通过运算精细分析数据间的数量关系，加一加、除一除，会发现B地景区的游客人次的年增长率是一个常数.那么，这一规律的数学属性是什么？是否具有一般性？教科书通过分别分析两个实例中关系式的运算特点(指数幂)，抽象出各自的函数解析式之后，比较这两个函数关系，概括它们的共同属性，区分出本质属性和非本质属性(比如由背景造成的定义域限制等)，抽象出指数函数的概念.

2. 导数的概念：直观想象素养与数学抽象素养

数学概念的获得，一般都通过数学抽象获得.但是在这个过程中，根据知识的特点，运用的思维方式不同，侧重的数学素养培养也不同.比如，指数函数概念的抽象，关键在于对运算特点的分析，因此培养了数学运算素养；而对于导数概念的抽象，其过程大致为：直观的物理概念(速度)和几何概念(切线)—朴素的数学想法—分析方法—符号表示—分析定义.由于高中阶段并不介绍严格的极限定义，因此导数概念的获得更需要对于无限的直观想象和逼近思想的领悟，也就需要较强的直观想象素养.

从历史上来看，导数这样一个概念，其抽象过程也充满了直觉、灵感、困惑、顿悟、质疑等，因此相较于指数函数的“精选例子”和“设问”，对于导数，教科书更加关注“表明想法”和“明确道理”，让学生充分运用直观想象、观察分析、抽象概括等思维方式获得导数的定义，感悟导数的意义.

(1)表明想法

无论是从直观的速度概念还是切线概念出发，都需要想象“无限”是怎么回事.生物学是使用显微镜观察微生物，而数学是用思维的显微镜想象无限.物质的显微镜受倍率限制，而思考的显微镜可以无限.比如，把抛物线f(x)=x2在点(1，1)处放大10倍，100倍，点(1，1)附近的曲线弯曲越来越不明显，这就像我们生活在地球的某一处很难感觉到地球是圆的一样.继续扩大倍数，1000倍，10000倍……运用思维的力量大胆想象，点(1，1)附近曲线的无限小部分变成了直线，而这条直线的无限延长就成了切线.

首先，教科书借助速度概念和切线概念的直观性引导学生开启想象之门.例如，对于跳水运动，直观感受运动员从起跳到入水过程中运动的快慢；对于切线，直观感受圆的切线定义(一条直线与一个圆只有一个公共点)的局限性等.然后，在困惑、顿悟、灵感(思想)之处用一些话语点明想法的源头和实施方法，例如对于跳水运动在某个时间段内远动员的平均速度为0，提出问题“用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题”“如何计算瞬时速度”后，要求学生想象：如果不断地缩短时间段的长度，那么平均速度和瞬时速度有何关系.同时还利用旁注点明：用运动变化的观点研究问题是微积分的重要思想.接下来，在切线研究时，教科书类比瞬时速度，要求学生用这种运动变化的观点想象割线的变化趋势，而且在展示动态的局部放大的图象变化时，又用旁注点明：数学上常用简单的对象刻画复杂的对象.这里，我们用曲线上某点处的切线近似代替这一点附近的曲线，这就是微积分中重要的思想方法——以直代曲.

(2)明确道理

结束语

在教材编写中，“如何将数学知识与数学素养融为一体”这个问题既是重点又是难点.从前期研究到中期实验再到后期编写，我们逐渐认识到二者的相辅相承以及“融合”的自然而然.数学知识具有逻辑性和联系性，数学素养具有连续性和阶段性，因此，都需要站在系统的高度编、教、学，这样才能看到其中的“盘根错节”和“浑然一体”；具体到每一个数学知识，特别是核心知识，侧重的数学素养不同，因此，需要根据知识的特点，分析其蕴含的最突出的数学素养，展开知识和思维发生发展的双过程，才能深入本质，明察秋毫.