全国大学生数学竞赛之空间解析几何题的特色解法

黄晴 黄浩 卢卫君

【摘要】在全国大学生数学竞赛中，空间解析几何具有几何直观性，是参赛选手重点攻克并较容易取得分值的题型.由此，保证参赛学生在考试中能够准确切入题目并拿下可观分值，成为指导教师研究的一个重要主题.一个重要的思路是由图形认知题目，利用几何不变量进行刻画.基于此角度，本文针对第八届、第九届全国大学生数学竞赛预赛题的空间解析几何题给出个人特色解答版本，同时与官方解答版本做对比.特色解答是面向读者群体的精细版本，旨在突出解答的想法、思路和解答过程的程序细节，与官方证法相比，优势在于可读性更强、更接近教材，学生更容易看得懂.

【关键词】椭球面;单叶双曲面;隐函数应用;二次曲线的分类;特色解法

【基金项目】广西高等教育本科教學改革工程项目（编号：2017JGA173）;2016广西民族大学教改工程项目（编号：2016XJGY25）.

一、引 言

全国大学生数学竞赛是数学学科极具影响力的全国性高水平竞赛，旨在激发学生学习数学的兴趣及选拔数学创新型人才.赛题的综合性需要学生有扎实的数学功底以及较强的综合分析能力.本文以第八届、第九届全国大学生数学竞赛预赛题的空间解析几何题为例，给出个人特色解答以期推动同学们的学习与思考.在第八届全国大学生数学竞赛预赛的光线照射题[1]中，由于光线照射会出现一个切平面，因而，不考虑采用中学解一元二次方程的方法求出交点，而是利用隐函数在几何上的应用来分析切平面、切点及其走势，用梯度去摆平切平面上的法向量，几何与数学分析的结合使其更容易理解，同学们也便于记忆.在第九届全国大学生数学竞赛预赛的空间平面与曲面相交问题[2]中，我们利用平面上抛物线的不变量特征进行求解，相对官方版本，先求出平面的法向量，再求解法线与z-轴的交角，更为简单易懂.

二、实例分析Ⅰ

下面例题来自第八届全国大学生数学竞赛预赛试卷第一题，属于空间解析几何部分.

四、结 语

通过以上题目的分析，我们知道要灵活解决解析几何问题，需要重视二次曲面、二次曲线的相关知识，同时融合高等代数的矩阵、行列式、特征方程及特征值，数学分析的梯度、偏导数及隐函数（组）的几何应用[3]（包括平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线）.为了保证参赛时有强大的理论知识支撑而不至于巧妇难为无米之炊，同学们首先要夯实基础，注重相关重要知识要点的记忆.分析题目时应注重大学三高课程（高等代数、数学分析和空间解析几何）间知识的互相渗透，通过题目已知条件以及知识点的思考，总结并形成合适的解题方法.

【参考文献】

[1]中国大学大学生数学竞赛资源网——竞赛试题[OL].http：//www.cmathc.cn/article/list_2_2.html.

[2]中国大学大学生数学竞赛资源网——竞赛试题[OL].http：//www.cmathc.cn/article/list_2.html.

[3]华东师范大学数学系.数学分析：第4版[M].北京：高等教育出版社，2001.

[4]吕林根，许子道.解析几何[M].北京：高等教育出版社，2005.

[5]李勇，伍日清，罗群.全国大学生数学竞赛题的分析[J].数学学习与研究，2014（5）：119-120.